Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

More documents

Recommendations

Info

Todistus. Edellisen lemman nojalla funktio x ↦−→ Ln (E ∩ ¯ B(x, r)) r n on jatkuva R n :ssä kiinnitetyllä r > 0. Siis se on myös Borel-mitallinen. Täten myös funktio q(x) := lim sup r→0 L n (E ∩ ¯ B(x, r)) r n = inf sup R>0 00 0
(i) Redusoitu reuna voidaan esittää muodossa ∂ ∗ E = ∞ Kk ∪ N, k=1 missä Kk:t ovat C 1 -hyperpintojen Sk, k ∈ N, kompakteja osajoukkoja, ja ∂E(N) = H n−1 (N) = 0. (ii) Funktio ν ∗ E on jokaisella pinnalla Sk, k ∈ N, kohtisuorassa pintaa vastaan. (iii) Joukon E perimetrimitta on yksinkertaisesti n − 1-ulotteisen Hausdorffin mitan rajoittuma redusoidulle reunalle, toisin sanoen ∂E = H n−1 ∂ ∗ E. Todistus. Korollaarin 2.3.2 kohdissa (i) ja (ii) on yhteensä neljä lauseketta, jotka lähestyvät redusoidulla reunalla arvoja 0 ja 1/2, kun r → 0. Nyt halutaan näyttää, että suppeneminen on tasaista tietyissä redusoidun reunan osajoukoissa. Funktio ν ∗ E on ∂E-mitallinen, ja se voidaan jatkaa koko Rn :ssä määritellyksi määrittelemällä se vaikkapa nollaksi R n \∂ ∗ E:ssä (muistetaan, että ∂E(R n \∂ ∗ E) = 0). Koska ∂E on Radon-mitta, joukko ∂ ∗ E ∩ ¯ B(0, 1) on ∂E-mitallinen ja ∂E(∂ ∗ E ∩ ¯ B(0, 1)) < ∞. Nyt Lusinin lauseen [1, s. 15] mukaan on olemassa kompakti A1 ⊂ ∂ ∗ E ∩ ¯ B(0, 1) s.e. funktio ν ∗ E on jatkuva A1:ssä ja ∂E((∂ ∗ E ∩ ¯ B(0, 1))\A1) < 1. Samalla periaatteella saadaan kompakti A2 ⊂ (∂ ∗ E ∩ ¯ B(0, 2))\A1 s.e. ν ∗ E on jatkuva A2:ssa, ja ∂E(((∂ ∗ E ∩ ¯ B(0, 2))\A1)\A2) < 1/2. Näin jatkaen saadaan indeksillä i ∈ N kompakti joukko Ai ⊂ (∂ ∗ E ∩ ¯ ⎛ ⎞ i−1 B(0, i)) \ ⎝ ⎠ s.e. ν∗ E on jatkuva Ai:ssä ja ⎛ ∂E ⎝(∂ ∗ E ∩ ¯ ⎛ i B(0, i))\ ⎝ j=1 Aj j=1 Aj ⎞⎞ ⎛ ⎛ i ⎠⎠ = ∂E ⎝B(0, ¯ i)\ ⎝ 31 j=1 Aj ⎞⎞ ⎠⎠ < 1 i .
Page 1 and 2: Panu Lahti Aalto-yliopisto Perustie
Page 3 and 4: Aalto University School of Science
Page 5 and 6: Luku 1 Johdanto Tämän diplomityö
Page 7 and 8: eunoihin. Nyt voidaan edellisen luv
Page 9 and 10: Luku 2 Redusoitu reuna Tarkastellaa
Page 11 and 12: että funktio ν ∗ E on funktion
Page 13 and 14: Todistus. Oletetaan, että µ(∂
Page 15 and 16: Alla olevan kaavan (2.6) perusteell
Page 17 and 18: Kohta (iii) on näin todistettu. Lo
Page 19 and 20: Yhtälöt (2.10) ja (2.11) kertovat
Page 21 and 22: saadaan = lim k→∞ lim νEs d∂
Page 23 and 24: jollain ˜ϕ ∈ C1 0(Rn ), ˜ϕ
Page 25 and 26: Todistetusta lauseesta saadaan help
Page 27 and 28: Luku 3 Redusoidun reunan struktuuri
Page 29 and 30: Jos nimittäin näin ei olisi, joll
Page 31 and 32: 3.2 Redusoidun reunan rakenne Ennen
Page 33: Itseisarvomerkkien sisällä oleva
Page 37 and 38: Siis m 2 r → 0 Ai1:ssä tasaisest
Page 39 and 40: Kuva 3.1: Funktiolle q(x, y) tehdyn
Page 41 and 42: Yhteensä siis kaikki hajotelman (3
Page 43 and 44: Huomautus. Tulosta ∂E = H n−1
Page 45 and 46: Määritelmä 4.1.2. Jos on annettu
Page 47 and 48: Todistus. Otetaan mikä tahansa x
Page 49 and 50: voidaan nyt poimia numeroituva koko
Page 51 and 52: Integroimisalue voitiin tässä laa
Page 53 and 54: 226], joten voidaan laskea 1 Ωnrn
Page 55 and 56: Saadaan siis edelleen D((f − M) +
Page 57 and 58: sillä ˆ ∞ ∂Ft(R −∞ n )dt
Page 59 and 60: Tässä ensimmäinen termi menee yh
Page 61 and 62: kaikilla M > max{|λ(x)|, µ(x)}. V
Page 63 and 64: kaikilla ε > 0, ja joukon A ⊂ R
Page 65: Kirjallisuutta [1] Evans, Lawrence

Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?