Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

ja ottamalla nyt infimum yli avointen joukkojen U ⊃ A saadaan
∂E(A) ≤ ∂(R n \E)(A).
Vastakkainen epäyhtälö voidaan näyttää täsmälleen samaan tapaan, joten yhteensä
∂E(A) = ∂(R n \E)(A),
eli mitat ovat samat.
Todistetaan sitten, että νE = −ν R n \E ∂E-m.k. R n :ssä. Tässä voitaisiin vedota
kaavaan (2.2) ja tulokseen, jonka mukaan merkkinen mitta on nolla, jos
jokaisen C 1 0-funktion integraali merkkisen mitan suhteen on nolla [8, s. 228]. Esitetään
tässä kuitenkin toinen, perimetrimitan määritelmään perustuva todistus.
Tehdään vastaoletus: ∂E({x ∈ R n | νE(x) = −ν R n \E(x)}) > 0. Tästä seuraa
∂E x ∈ B(0, r) | |νE(x) − (−ν R n \E(x))| > 1/k = α > 0 (2.3)
jollain r > 0 ja k ∈ N. Nyt kuitenkin perimetrimitan määritelmän nojalla
voidaan valita jono (ϕi), ϕi ∈ C1 0(B(0, r); Rn ) ja |ϕi| ≤ 1 kaikilla i ∈ N, s.e.
ˆ
ˆ
ϕi · νE d∂E → ∂E(B(0, r)) = νE · νE d∂E,
B(0,r)
B(0,r)
kun i → ∞, ja yhtälön (2.2) nojalla myös (muistetaan, että mitat ovat samat)
ˆ
ˆ
ϕi · (−νRn \E) d∂E → ∂E(B(0, r)) = νRn \E · νRn \E d∂E,
B(0,r)
B(0,r)
kun i → ∞. Koska toisaalta kahden yksikkövektorin sisätulo lähestyy yhtä vain,
kun vektorit lähestyvät toisiaan euklidisen normin mielessä, saadaan
∂E({x ∈ B(0, r) | |ϕi(x) − νE(x)| > 1/(3k)}) → 0,
∂E({x ∈ B(0, r) | |ϕi(x) − (−ν R n \E(x))| > 1/(3k)}) → 0,
kun i → ∞. Tämä on kuitenkin selvästi ristiriidassa yhtälön (2.3) kanssa. Siis
νE = −ν R n \E ∂E-m.k. x ∈ R n . Nyt saadaan redusoidun reunan määritelmän
perusteella, että E:n ja R n \E:n redusoidut reunat koostuvat täsmälleen samoista
pisteistä.
2.2 Epäyhtälöitä
Todistetaan aluksi yksinkertainen lemma, jota tarvitaan jatkossa.
Lemma 2.2.1. Jos µ on Radon-mitta R n :ssä ja x ∈ R n , niin µ(∂ ¯ B(x, L)) = 0
kaikilla paitsi korkeintaan numeroituvan monella L > 0.
8