Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

lokaalisti äärellinen perimetri U:ssa, jos χE ∈ BVloc(U). Voidaan näyttää, että
jos f ∈ BVloc(U), on olemassa Radon-mitta Df U:ssa ja Df-mitallinen
funktio σ : U → Rn s.e. |σ(x)| = 1 Df-m.k. x ∈ U ja
ˆ
ˆ
f∇ · ϕdx = − ϕ · σdDf
U
kaikilla ϕ ∈ C1 0(U; Rn ). Tätä kutsutaan BV-funktioiden struktuurilauseeksi.
Radon-mittaa Df kutsutaan f:n variaatiomitaksi. Silloin, kun f = χE, missä
E:llä on lokaalisti äärellinen perimetri U:ssa, vaihdetaan merkintöjä seuraavasti:
Df ↩→ ∂E, −σ ↩→ νE. Radon-mittaa ∂E kutsutaan E:n perimetrimitaksi.
Jos f ∈ BVloc(U), pätee
ˆ
Df(V ) = sup f∇ · ϕdx | ϕ ∈ C 1 0(V ; R n
), |ϕ| ≤ 1 .
V
kaikilla avoimilla V ⊂ U. Lopulta BV-normi määritellään funktiolle f ∈ BV (U)
seuraavasti:
f BV (U) := f L 1 (U) + Df(U).
4
U