Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

yleiselle joukolle E ⊂ R n . Seuraavaksi kuitenkin oletetaan taas, että E:llä on
lokaalisti äärellinen perimetri R n :ssä, ja selvitetään redusoidun reunan ja mittateoreettisen
reunan välinen yhteys.
Lause 3.1.2. Joukon E redusoitu reuna on mittateoreettisen reunan osajoukko,
ja niiden erotuksen n − 1-ulotteinen Hausdorffin mitta on nolla, toisin sanoen
(i) ∂ ∗ E ⊂ ∂∗E,
(ii) H n−1 (∂∗E\∂ ∗ E) = 0.
Todistus. Väite (i) saadaan suoraan lemman 2.2.3 kohdista (i) ja (ii). Katsotaan
sitten väitettä (ii). Jokaista x ∈ ∂∗E kohti on mittateoreettisen reunan
määritelmän perusteella olemassa luku β ∈ (0, 1/2), β = β(x) s.e.
ja
lim sup
r→0
lim sup
r→0
L n (E ∩ ¯ B(x, r))
Ωnr n
L n ((R n \E) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnr n
> β
> β.
Tämän perusteella on olemassa jonot ri → 0 ja ˜ri → 0 s.e.
ja
L n (E ∩ ¯ B(x, ri))
Ωnr n i
L n ((R n \E) ∩ ¯ B(x, ˜ri))
Ωn˜r n i
> β (3.1)
> β (3.2)
kaikilla i ∈ N. Siirtymällä tarpeen mukaan osajonoon voidaan myös olettaa, että
˜ri ≥ ri kaikilla i ∈ N. Nyt epäyhtälö (3.2) voidaan edelleen kirjoittaa muodossa
L n (E ∩ ¯ B(x, ˜ri))
Ωn˜r n i
< 1 − β (3.3)
kaikilla i ∈ N, sillä E on L n -mitallinen joukko. Koska β ∈ (0, 1/2) ja kuvaus
r ↦−→ Ln (E ∩ ¯ B(x, r))
Ωnr n
on jatkuva, jokaista i ∈ N kohti on pakko olla ˜ri ∈ [ri, ˜ri] s.e.
β ≤ Ln (E ∩ ¯ B(x, ˜ri))
Ωn˜r n i
24
≤ 1 − β.