Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

Määrittelyn perusteella Ai:t ovat pistevieraita, ν∗ E on jatkuva jokaisessa Ai:ssa,
ja
⎛
∂E ⎝R n ⎛ ⎞⎞
⎛
⎞
∞
\ ⎝ ⎠⎠
= lim
∞
⎝B(0, ¯ i)\ ⎠
j=1
Aj
i→∞ ∂E
≤ lim
i→∞ ∂E
⎛
1
≤ lim = 0.
i→∞ i
⎝ ¯ B(0, i)\
Näin on siis saatu ∂∗E ”hajotettua” erillisiksi kompakteiksi joukoiksi Ai, joissa
jokaisessa ν∗ E on jatkuva. Määritellään nyt korollaaria 2.3.2 seuraten funktiot
m 1 r(x) := Ln (E ∩ H− (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn ,
m 2 r(x) := Ln (E ∩ H + (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn ,
m 3 r(x) := Ln ((Rn \E) ∩ H− (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn ,
m 4 r(x) := Ln ((Rn \E) ∩ H + (x) ∩ ¯ B(x, r))
Ωnrn .
Lemman 3.2.2 perusteella nämä kaikki ovat kiinteällä r > 0 jatkuvia jokaisessa
joukossa Ai, i ∈ N. Jos funktiot kuvittelee jatketuksi koko Rn :ssä jatkuviksi
funktioiksi, kuten voidaan tehdä [1, s. 13], ne ovat tietenkin Rn :ssä Borelmitallisia
ja siten ∂E-mitallisia. Määritellään nyt jono rl = 1/l, l ∈ N. Korollaarin
2.3.2 perusteella funktiot m1 rl ja m4rl lähestyvät pisteittäin arvoa puoli,
ja funktiot m2 rl ja m3rl lähestyvät pisteittäin arvoa nolla jokaisessa joukossa Ai,
kun l → ∞. Lisäksi todetaan, että ∂E(Ai) < ∞ jokaisella i ∈ N. Siis Egoroffin
lauseen [1, s. 16] perusteella mielivaltaisella i ∈ N on olemassa ∂E-mitalliset
joukot A1 i1 , . . . , A4i1 ⊂ Ai s.e.
∂E(Ai\A 1 i1), . . . , ∂E(Ai\A 4 i1) < 1/4,
ja kunkin funktion m1 rl , . . . , m4rl suppeneminen on tasaista vastaavalla yläindeksillä
merkityssä joukossa A1 i1 , . . . , A4i1 . Määrittelemällä
Ai1 := A 1 i1 ∩ . . . ∩ A 4 i1
saadaan tietenkin, että funktiot m1 rl , . . . , m4rl suppenevat kaikki tasaisesti kohti
raja-arvojaan joukossa Ai1, ja lisäksi ∂E(Ai \Ai1) < 1. Tässä (rl) on tosin
vain yksi nollaa lähestyvä jono. Kuitenkin, jos r ∈ [rl+1, rl], niin kaikilla x ∈ Ai
m 2 r(x) ≤ Ln (E ∩ H + (x) ∩ ¯ B(x, rl))
Ωnrn n l + 1
= m
l+1
l
2 rl (x).
32
j=1
i
j=1
Aj
Aj
⎞
⎠