Master's Thesis - Matematiikan ja systeemianalyysin laitos - Aalto ...

Lemman 3.2.2 perusteella funktio
x ↦−→ Ln (Ft ∩ ¯ B(x, r))
r n
on jatkuva kiinnitetyillä t ∈ R ja r > 0. Siis funktio
qt(x) := lim sup
r→0
r∈Q
L n (Ft ∩ ¯ B(x, r))
r n
on Borel-mitallinen jokaisella t ∈ R. Koska toisaalta funktio
r ↦−→ Ln (Ft ∩ ¯ B(x, r))
r n
on jatkuva kiinnitetyllä x ∈ R n ja t ∈ R, niin qt(x) = 0 täsmälleen silloin, kun
L
lim
r→0
n (Ft ∩ ¯ B(x, r))
rn = 0.
Koska lisäksi qt on vähenevä funktio t:n suhteen, saadaan kaikilla s ∈ R
{x ∈ R n | µ(x) ≤ s} =
∞
{x ∈ R n | qs+1/k(x) = 0}.
k=1
Siis µ on Borel-mitallinen funktio. Funktion λ Borel-mitallisuus saadaan näytettyä
samaan tapaan.
Määritellään nyt joukko, jossa approksimatiivista raja-arvoa ei ole olemassa:
J := {x ∈ R n | λ(x) < µ(x)}.
Koska funktio f ∈ BV (R n ) kuuluu myös avaruuteen L 1 (R n ), f on approksimatiivisesti
jatkuva L n -m.k. x ∈ R n , ja pätee siis κ(x) = λ(x) = µ(x) = f(x) ∈ R
L n -m.k. x ∈ R n [1, s. 47]. Voidaan täten todeta, että
−∞ < λ(x) = µ(x) < ∞
L n -m.k. x ∈ R n . Tätä tulosta vahvennetaan seuraavissa lauseissa.
Lause 4.1.5. Jos f ∈ BV (R n ), niin joukolle J pätee
J ⊂
∞
∂∗Ft = Kk ∪ N,
t∈A
missä A ⊂ R on numeroituva, R:ssä tiheä joukko; jokaisella tasojoukolla Ft ⊂
R n , t ∈ A, on äärellinen perimetri R n :ssä; joukot Kk ovat C 1 -hyperpintojen
kompakteja osajoukkoja ja H n−1 (N) = 0.
42
k=1