6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava ...

44 E. VALKEILA
6. Geometrinen Brownin liike
6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen
tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (St)0≤t≤T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla
tarkoitetaan suuretta
dSt
.
St
Palutetaan mieleen Brownin liikkeen määritelmä. Oletetaan, että todennäköisyysavaruus
(Ω, F, IP) on kiinnitetty ja kaikki prosessit ovat määritelty
tällä todennköisyysavaruudella.
Määritelmä 6.1. Stokastinen prosessi W = (Wt)0≤t≤T on Brownin liike
alkuarvolla 0, jos
• W0 = 0
• Polut t ↦→ Wt ovat jatkuvia.
• Prosessin W lisäykset Wt − Ws ovat riippumattomat ja normaalisti
jakautuneet odotusarvona 0 ja varianssina t − s (s < t ≤ T ).
Huomautus 6.1. Jos oletetaan vain, että Wt − Ws ∼ N(0, t − s), niin jo
tästä oletuksesta seuraa, että
(6.1) IE(Wt − Ws)(Wr − Wq) = 0,
kun q < r ≤ s < t. Koska kyseessä on normaalijakauma, niin tämä tarkoittaa
sitä, että lisäykset ovat riippumattomat. Yhtälön (6.1) todistamiseksi
riittää osoittaa, että IEWtWs = s, jos t > s. Lasketaan:
t − s = IE(Wt − Ws) 2 = IEW 2 T − 2IEWtWs + IEW 2 s = t + s − 2IEWtWs,
mistä saadaan IEWtWs = s, kun s < t.
Brownin liikkeen ja martingaalien välillä on seuraava yhteys:
Lause 6.1 (Lévy). Olkoon X jatkuva-aikanen, jatkuva prosessi, jolle X0 =
0, IEXt = 0 kaikilla t ≤ T ja Var(Xt) < ∞. Prosessi X on standardi Brownin
liike jos ja vain jos X ja X 2 t −t, 0 ≤ t ≤ T ovat (IP, IF X )- martingaaleja.
Jos X on standardi Brownin liike, niin
= Xs + IE[Xt − Xs] = 0,
missä yhtälössä (∗) käytettiin sitä, että Xs ∈ F X s , Xt − Xs
F X
s ja sitä,
IE[Xt|F X s ] = IE[Xt − Xs + Xs|F X s ] (∗)
että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja
on riippumaton ehdosta. Vastaavalla tavalla nähdään, että X 2 t − t
on martingaali, kun X on standardi Brownin liike. Käänteinen väite on syvällisempi
ja sen todistus löytyy useista Brownin liikettä käsittelevistä oppikirjoista.
Brownin liikkeen poluille voidaan todistaa seuraava ominaisuus
lim (Wtk − Wtk−1 )2 IL2 (IP)
→ t,
|π|→0
tk∈π
missä π = {tk : 0 < t1 < · · · < tn = t} on välin [0, t] jako, t ≤ T , |π| =
max(tk − tk−1 : tk ∈ π} ja IL2 (IP) tarkoittaa konvergenssia avaruudessa
IL 2 (Ω, F, IP): jos Xn, X ∈ IL 2 (IP), niin Xn
missä ||Y || 2
IL 2 (IP) = IEX2 .
IL 2 (IP)
→ X, kun ||Xn −X|| IL 2 (IP) → 0,

RAHOITUSTEORIA 45
Käyttämällä Abelin summakaavaa teleskoppisummalle
W 2 T −
(Wtk − Wtk−1 )2 = 2
Wtk−1 (Wtk − Wtk−1 )
saadaan, että
tk∈π
T
0
tk∈π
WsdWs = 1
2 (W 2 T − T ),
missä integraali ymmärretään raja-arvona
(6.2)
T
WsdWs = IL 2 (IP) − lim
0
|π|→0
tk∈π
Yksinkertaisella algebralla saadaan selville, että
(6.3) IL 2 (IP) − lim
|π|→0
tk∈π
Wtk−1 (Wtk − Wtk−1 ).
1
Wtk (Wtk − Wtk−1 ) =
2 (W 2 T + T ).
Palautetaan mieleen, milloin jatkuva funktio f on rajoitetusti heilahteleva:
vart(f) := sup |f(tk) − f(tk−1)| < ∞.
π
tk∈π
Mikäli toistetaan edellinen päättely saadaan silloin kun funktio f on jatkuva
ja rajoitetusti heilahteleva, niin havaitaan, että
f 2 t = 2
(ftk − ftk−1 ) + (ftk − ftk−1 )2 t
→ 2 fsdfs,
tk∈π
ftk−1
tk∈π
sillä
(ftk − ftk−1 )2 ≤ max
tk∈π |ftk − ftk−1 |vart(f) → 0,
tk∈π
kun |π| → 0. Helposti nähdään, että integraalin arvo ei riipu siitä, miten
integroitavan funktion approksimointipite valitaan väliltä [tk−1, tk]. Voidaan
tehdä seuraavat johtopäätökset:
• Brownin liikkeen polut ovat rajoittamasti heilahtelevia. Perustelu:
(Wtk − Wtk−1 )2 ≤ varT (W ) max |Wtk − Wtk−1 | → 0,
tk∈π
tk∈π
jos varT (W ) < ∞.
• Stokastinen integraalin arvo riippuu siitä, kuinka integroitavaa stokastista
prosessia approksimoidaan.
• Stokastisen inetrgaalin arvo saadaan määriteltyä raja-arvona, kun
|π| → 0, mutta raja-arvo määritellään avaruudessa IL 2 (IP), ei poluittain.
• Rajoitetusti heilahteleville jatkuville funktioille f pätee f 2 (T ) =
f(s)df(s), mutta Brownin liikkeelle tämä kaava ei päde.
2 T
0
Kumpi approksimaatioista (6.2) vai (6.3) sitten tulee valita. Approksimaatiota
(6.2) puoltaa se tosiasia, että jos tarkastellaan disreettiaikaista proses-
sia
Yk :=
k
Wti−1 (Wti − Wti−1 )
i=1
0

46 E. VALKEILA
historian Gk := Ftk suhteen, niin Y on (IP, IG) martingaali. Voidaan osoittaa,
että tämä ominaisuus säilyy, kun mennään rajalle.
Palataan osakkeen tuoton mallintamiseen. Asetetaan
Tällöin
Stk − Stk−1
Stk
Stk−1
= S0
= σ(Wtk − Wtk−1 ) + µ(tk − tk−1).
k
(1 + σ(Wti − Wti−1 ) + µ(ti − ti−1)).
i=1
Huomaa, että näin määritelty Stk voi olla myös negatiivinen. Voidaan osoittaa,
käyttäen Brownin liikkeen ominaisuuksia että
Stk → St := exp{σWt − σ2
t + µt},
2
missä konvergenssi on stokastista konvergenssia. Perustelut ovat samantapaiset
kuin kohdassa 3.3.1, ja nyt ne sivuutetaan.
Olkoon f = n
k=1 akI [tk−1,tk), missä ak ∈ IR; selvää on, että ainoa järkevä
tapa määritellä integraali T
0 fsdWs on asettaa
T
0
fsdWs =
n
ak(Wtk − Wtk−1 );
k=1
tämä on yksinkertainen esimerkki Wiener-integraalista Brownin liikkeen suhteen.
Havaitaan, että
ja
T
IE( fsdWs)
0
2 =
T
IE fsdWs = 0
0
n
a
k=1
2 k (tk
T
− tk−1) = f
0
2 s ds
[tämä seuraa esimerkiksi siitä, että muuttujat ak(Wtk − Wtk−1 ) ovat riippu-
), niin edelleen
mattomia ja normaalisti jakautuneita; jos ak ∈ IL2 (IP, Ftk−1
pätee IE T
0 fsdWs = 0, mutta nyt
T
IE( fsdWs)
0
2 T
= IE f
0
2 s ds.
Tarkastellaan jatkuvaa prosessia H. Oletetaan, että se on mitallinen Brownin
liikkeen historian IF W suhteen. Mikäli IE T
0 H2 s ds < ∞, niin stokastinen
integraali YT := T
0 HsdWs voidaan määritellä seuraavasti. Oletetaan
aluksi, että H ≥ 0 ja H on rajoitettu. Tällöin jono Hn , missä Hn t = Hn tk−1 ,
kun t ∈ (tk−1, tk] approksimoi dominoidun konvergenssin lauseen perusteella
prosessia H avaruudessa IL 2 (IP ⊗ Leb):
T
IE
0
(H n 2
s − Hs) ds → 0;

RAHOITUSTEORIA 47
saadaan, että jono H n on c-jono avaruudessa IL 2 (IP ⊗ Leb). Olkoon Y n
neliöintegroituva satunnaismuuttuja:
Y n :=
T
0
H n s dWs =
tk∈π
Htk−1 (Wtk − Wtk−1 ).
Koska Hn on c-jono avaruudessa IL 2 (IP ⊗ Leb), niin on olemassa n, m ≥ nɛ
siten, että
Nyt
IE
IE(Yn − Ym) 2 = IE
T
(H
0
n s − Hm s )2ds < ɛ.
T
(H
0
n s − Hm s )2ds < ɛ.
Siis Yn on c-jono avaruudessa IL 2 (IP) ja asetetaan Y = IL 2 (IP) − lim Yn.
Merkitään
Y =
T
0
HsdWs
ja sanotaan, että Y on prosessin H stokastinen integraali Brownin liikken
suhteen.
Sille on voimassa
• Asetaan Yt := T
0 HsI [0,t](s)dWs; tällöin prosessi Y on jatkuva neliöintegroituva
(IP, IF W )- martingaali.
• Integraali voidaan ymmärtää raja-arvona:
T
0
HsdWs = IL 2 (IP) − lim Htk−1 (Wtk − Wtk−1 ).
|π|→0
Koska Y on martingaali, niin on voimassa isometria
T
(6.4) IE( HsdWs)
0
2 T
= IE H
0
2 s ds.
Palataan seuraavaksi kaavaan W 2 T = 2 T
0 WsdWs + T . Olkoon f(x) = x2 ja
kirjoitetaan kaava uudestaan funktion f avulla f(WT ) = f(0)+ T
0 fx(Ws)+
1 T
2 0 fxx(Ws)ds. Voidaan osoittaa, että tämä kaava pätee kaikilla f ∈ C2(IR).
Lause 6.2 (Iton kaava). Olkoon f ∈ C2; tällöin on voimassa
(6.5) f(Wt) = f(0) +
t
0
fx(Ws)dWs + 1
2
t
0
fxx(Ws)ds.
Jos IE T
0 (fx(Ws)) 2ds < ∞, niin stokastinen integraali t
0 fx(Ws)dWs on
martingaali.
Integraali t
0 fxx(Ws)ds ymmärretään jatkuvan funktion tavallisena integraalina,
ts. se voidaan integroida poluittain, erotuksena stokastisesta integraalista.
Jos g on jatkuva ja rajoitetusti heilahteleva funktio ja f ∈ C1, niin
f(gt) = f(g0) +
t
0
fx(gs)dgs.
Iton kaava voidaan todistaa funktion f Taylorin sarjakehitelmällä; toditus ei
sinänsä ole vaikea, mutta se on pitkä ja uuvuttava. Toinen todistus perustuu

48 E. VALKEILA
osittaisintegrointikaavaan: jos UT = U0 + T
0 HsdWs + ˜ Hsds ja VT = V0 +
T
0 KsdWs + T
(6.6)
0 ˜ Ksds, niin
T
UT VT = U0V0 +
0
T
+ Us
0
˜ T
Ksds +
0
T
UsKsdWs +
0
Vs ˜ Hsds.
T
VsHsdWs + HsKsds
0
Esimerkki 6.1. Olkoon Zt = eWt ; nyt f(x) = ex = fx = fxx. Iton kaavalla
saadaan
Zt = e Wt t
= 1 + e
0
Ws dWs + 1
t
e
2 0
Ws ds;
tämä voidaan kirjoittaa myös seuraaavsti
t
Zt = 1 +
0
ZsdWs + 1
2
tai stokastisena differentiaaliyhtälönä
t
0
Zsds
dZt = ZtdWt + 1
2 Ztdt.
Usein käytetään seuraavaa Iton kaavan yleistystä: jos f(t, x) ∈ C1,2, niin
(6.7)
f(t, Wt) = f(0, W0)+
t
0
ft(s, Ws)ds+
t
0
fx(s, Ws)dWs+ 1
2
t
0
fxx(s, Ws)ds.
1
σx− Esimerkki 6.2. Olkoon f(t, x) = e 2 σ2t+µt , nyt fx = σf, fxx = σ2f, ft = (µ − 1
2σ2 )f; sijoittamalla kaikki tämä informaatio kaavaan (6.7) saa-
daan
f(t, Wt) = 1 +
Jos f(t, Wt) = St
S0
= 1 + σ
t
0
t
fx(s, Ws)dWs +
0
t
f(s, Ws)dWs + µ
(ft(s, Ws) + 1
2 fxx(s, Ws))ds
0
t
0
f(s, Ws)ds.
niin edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa
dSt = σStdWt + µStdt.
Tarkastellaan seuraavaksi stokastista differentiaaliyhtälöä
(6.8) dXt = µ(t, Xt)dt + σ(t, Xt)dWt, X0 = x0, t ∈ [0, T ];
tällä tarkoitetaan itse asiassa integraaliyhtälöä
t
Xt = x0 +
0
µ(s, Xs) +
t
0
σ(s, Xs)dWs.
Tässä W on Brownin liike, joka on määritelty kentällä (Ω, F, IP). Kertoimista
µ, σ oletetaan, että
(6.9) |µ(t, x) − µ(s, y)| 2 + |σ(t, x) − σ(t, y)| 2 ≤ K|x − y| 2
ja
(6.10) |µ(t, x)| 2 + |σ(t, x)| 2 ≤ K(1 + x 2 ),

RAHOITUSTEORIA 49
missä x, y ∈ IR ja K > 0 on jokin vakio. Ehto (6.9) on Lipschits- ehto
tila-argumentille x ja ehto (6.10) on kasvuehto tila-argumentille.
Voidaan todistaa seuraava lause:
Lause 6.3. Olkoon W Brownin liike ja kertoimet µ, σ toteuttavat ehdot
(6.9) ja (6.10). Tällöin yhtälöllä (6.8) on yksikäsitteinen ratkaisu X, jolla
on ominaisuudet:
• X on jatkuva.
• X on IF W sopiva.
• X on rajoitettu avaruudessa IL 2 (IP): sup s≤T IEX 2 s
< ∞.
1
σWt− Tämän jälkeen tiedetään, että St = S0e 2 σ2t+µt on stokastisen differentialiyhtälön
dSt = St(σdWt + µdt),
alkuarvona S0, yksikäsitteinen jatkuva ja IL 2 (IP)- rajoitettu ratkaisu.
Jatkossa käytetään Iton kaavaa myös prosessin S. Voidaan osoittaa, että se
on muotoa
f(t, St) = f(0, S0) +
+
t
0
t
0
fx(s, Ss)σSsdWs
fx(s, Ss)µSsds +
t
0
ft(s, Ss)ds + 1
2
t
fxx(s, Ss)σ
0
2 S 2 s ds.
6.2. Esityslause. Olkoon W Brownin liike kentällä (Ω, IF, IP); nyt oletetaan
vain, että IF W
⊂ IF; Brownin liike on nyt prosessi, jolle Wt − Ws Fs ja
Wt − Ws ∼ N(0, t − s). Jos H ∈ IF on jatkuva neliöintegroituva prosessi,
niin tiedetään, että
Mt :=
t
0
HsdWs
on neliöintegroituva (IP, IF)- martingaali.
Merkintöjä: H2 (IF) = {H : H ∈ IF ja IE T
0 H2 s ds < ∞} ja M2 (IF) on
kaikkien neliöintegroituvien (IP, IF)- martingaalien joukko. Jos H ∈ H2 (IF)
ja W on (IP, IF)- Brownin liike, niin Mt = t
0 HsdWs ∈ M2 (IF).
Olkoon kääntäen M (IP, IF)- martingaali. Olkoon MW niiden neliöintegroituvien
(IP, IF)- martingaalien joukko, jotka voidaan esittää stokastisina integraaleina
Brownin liikkeen suhteen. Voidaan osoittaa, että tällöin mielivaltaisella
neliöintegroituvalla martingaalilla M on esitys
t
Mt = M0 +
0
H M s dWs + Lt,
missä neliöinteroituva martingaali on ’ortogonaalinen’ avaruutta M W kohtaan;
tämä perustuu siihen, että avaruus M W on suljettu normin ||M||M :=
IEM 2 T suhteen.
Esimerkki 6.3. Olkoon IF W Brownin liikkeen historia ja N Poissonin prosessi,
joka on riippumaton Brownin liikkeestä. Olkoon IF = IF W,N historia,
missä sisältää infomraation sekä Brownin liikken poluista että Poissonin
prosessin poluista hetkeen t asti.

50 E. VALKEILA
Tiedetään, että nt = Nt −t on martingaali oman historiansa IF N suhteen, ja
koska N W , niin voidaan osoittaa, että n on martingaali myös historian
IF suhteen. Koska prosessin n polut ovat epäjatkuvia, niin sillä ei voi olla
integraaliesitystä Brownin liikkeen suhteen.
Lause 6.4 (Ito-Clark– esityslause). Olkoon W Brownin liike, IF = IF W ja
olkoon X ∈ IL2 (IF W T ). Tällöin on olemassa prosessi H X ∈ H2 siten, että
(6.11) X = IEX +
T
H
0
X s dWs.
Ennen lauseen todistamista eräitä huomautuksia: mikäli X ∈ IL 1 (IP), niin
esitys (6.11) on voimassa, mutta tällöin ei stokastinen integraali välttämättä
enää ole martingaali. Esitettävä todistus on olemassaolotoditus. Malliavin–
laskennan avulla voidaan antaa sisällöllisempi tapa löytää prosessi H X 10 .
Todistus Tarkastellaan aluksi stokastista differentiaalityhtälöä
dYt = σYtdWt;
tiedetään, että tällä yhtälöllä on ratkaisu YT = e σWT − 1
2 σ2 T . Lisäksi havai-
taan, että kaikilla 0 < t < T on voimassa
e σWt = e 1
2 σ2 t + σ
t
0
1
−
e 2 σ2 (u−t)+σWudWu. Koska Ws+h−Ws, h ≥ 0 on myös Brownin liike, niin saadaan, kun s < t ≤ T :
e σ(Wt−Ws) = e 1
2 σ2 (t−s) σ
t
s
1
−
e 2 σ2 (u−t+s)+σWudWu. Siis jokainen muuttuja Z = eσ(Wt−Ws) voidaan esittää stokastisena integraalina
T
Z = IEZ +
0
H Z u dWu,
missä prosessi H = 0 välin [s, t] ulkopuolella.
Nyt jos satunnaismuuttuja Z ∈ IL 2 (FT ) on muotoa
n
Z = exp{σk(Wtk − Wtk−1 )},
k=1
niin voidaan osoittaa, että myös tällaiselle muuttujalle Z on voimassa
Z = IEZ +
T
H
0
Z s dWs
jollain HZ . Yksityiskohtaiset perustelut jätetään harjoitustehtäväksi VI/6.
Tästä seuraa puolestaan, että (kompleksiarvoisilla) muuttujilla
n
˜Z = exp{iσk(Wtk − Wtk−1 )},
k=1
on myös vastaava integraaliesitys.
10 Tommi Sottinen aloittaa luennot Malliavin laskennasta yliopistolla 29.10:
http://www.math.helsinki.fi/∼tsottine/teaching.html

RAHOITUSTEORIA 51
Osoitetaan seuraavaksi, että muuttujat ˜ Z ovat tiheässä kompleksiarvoisten
satunnaismuutujien avaruudessa ĨL2 (IP). Olkoon IE ˜ Y ˜ Z = 0 kaikilla ˜ Y ∈
ĨL 2 (IP). Lausekeet IE ˜ Y ˜ Z määrittelevät merkkisen mitan
µ ˜ Y
(C) = IEY˜ I{(Wt1 − Wt0 , . . . , Wtn − Wtn−1 ) ∈ C)}
karakteristisen funktion yksikäsitteisesti, joten koska karaktristinen funktio
on identtisesti 0, niin IE ˜ Y IC = 0 kaikilla mitallisilla sylintereillä C. LAajentamalla
mitta µ ˜ Y koko sigma-algebralle F W
T saadaan, että IE ˜ Y IA = 0,
mistä seuraa helposti, että ˜ Y = 0. Tästä seuraa, että kaikilla Z ∈ IL 2 (F W T )
on integraaliesitys (6.11).
Lause 6.5. Olkoon W Brownin liike ja M neliöintegroituva (IP, IF W ) martingaali.
Tällöin M on jatkuva ja sillä on integraaliesitys
Todistus Nyt MT ∈ IL 2 (F W T
t
Mt = M0 +
0
H M s dWs.
), ja lauseen 6.4 nojalla on voimassa esitys
MT = IEMT +
T
H
0
M s dWs;
koska M on martingaali, niin IEMT = M0 ja stokastinen integraali on martingaali,
joten
T
Mt = IE[MT |Ft] = M0 + IE[ H M s dWs|Ft]
= M0 +
0
t
H
0
M s dWs.
Koska stokastiset integraalit ovat jatkuvia, niin martingaali M on myös jatkuva.
Ensi viikolla Girsanovin lause ja Black & Scholes– hinnoittelumallin käsittely.
19.-20.10. 2004