iv kvanttistatistiikan perusteet .................................. 94

102 IV Kvanttistatistiikan perusteet
4.4.2 Sisäenergia
Bosonisysteemin sisäenergia saadaan yhtälöstä
2 ⎛∂
Z ⎞
U = kT ⎜ ⎟
⎝∂
T ⎠ . (4.21)
α
Tulos johdetaan seuraavasti. Sisäenergialle saadaan määritelmän perusteella
gi
U = niEi = Ei Ei
/ kT
i i e
α +
−1
∑ ∑ .
Toisaalta yhtälöstä 4.21 saadaan
−α
−Ei
/ kT
( − e )
⎡∂
gi
ln 1
⎤
2⎛∂
Z ⎞ ⎢
⎥
2 i
U = kT ⎜ ⎟ = −kT
⎢ ⎥
⎝∂T
⎠α
⎢ ∂T
⎥
⎢⎣
⎥⎦
α
4.4.3 Entropia
∑
2
=−kT ∑
gi −α
−E
/ kT ⎛ Ei ⎞ gi
e − = ∑
Ei
= U.
i
i
−α− E / 2
/
( 1
i kT
⎜ ⎟
Ei
kT
e ) kT
α+
−
⎝ ⎠ i ( e −1)
Kvanttisysteemin entropia saadaan yhtälöstä
⎛∂
Z ⎞
U
S = kT⎜
⎟ + αkN + kZ = + αkN + kZ
⎝∂
T ⎠α
T
. (4.22)
Todistamme tämän lähtien entropian määritelmästä
S = kln
P , missä
( gi
+ ni
−1!
)
∏Pi
∏ .
( g −1! ) n !
P = =
i
i
Käyttämällä Stirlingin kaavaa saadaan
i
i
∑ ⎡( i i ) ( i i ) i i ( i ) ( i ) ⎤.
kln P = k ⎣ n + g − 1 ln n + g −1 −n ln n − g −1 ln g −1
⎦
i
Ryhmittämällä termejä saadaan edelleen