iv kvanttistatistiikan perusteet .................................. 94

IV KVANTTISTATISTIIKAN PERUSTEET .................................. 94
4.1 Monihiukkastilan symmetriaominaisuudet ja statistiikka .................................. 94
4.2 Bose-Einstein jakauma ........................................................................................... 95
4.2.1 Mikrotilojen lukumäärän laskeminen................................................................. 95
4.2.2 Tasapainotilaa vastaava partitio ......................................................................... 95
4.3 Fermi-Dirac jakauma ............................................................................................. 97
4.3.1 Mikrotilojen lukumäärän laskeminen................................................................. 97
4.3.2 Tasapainotilaa vastaava partitio ......................................................................... 99
4.4 Partitiofunktio, sisäenergia ja entropia kvanttistatistiikassa ............................ 101
4.4.1 Hiukkasten lukumäärä systeemissä .................................................................. 101
4.4.2 Sisäenergia ....................................................................................................... 102
4.4.3 Entropia............................................................................................................ 102
4.4.4 Klassinen raja................................................................................................... 103
4.5 Maxwell-Boltzmann jakauma .............................................................................. 104

94 IV Kvanttistatistiikan perusteet
IV Kvanttistatistiikan perusteet
4.1 Monihiukkastilan symmetriaominaisuudet
ja statistiikka
Mikroskooppiset systeemit voidaan jakaa niiden kulmaliikemäärän mukaan
kahteen ryhmään. Ensimmäiseen ryhmään kuuluvat ne hiukkaset (alkeishiukkaset,
atomit tai molekyylit) joiden kulmaliikemäärää kuvaava kvanttiluku
on kokonaisluku (0, 1, 2... ). Näitä hiukkasia kutsutaan bosoneiksi.
Toiseen ryhmään, fermioneihin, kuuluvat ne hiukkaset ne joilla kulmaliikemäärän
kvanttiluku on puolikkaan pariton monikerta (1/2, 3/2, 5/2...) ja
joita kutsutaan fermioneiksi. Voidaan osoittaa, että kulmaliikemäärän itseisarvon
J yhteyden vastaavan kvanttilukuun j määrittelee yhtälö
J = j( j+ 1) (4.1)
missä on Planckin vakio. Yhtälön johtamiseen (4.1) palataan lähemmin
kvanttifysiikan kurssin yhteydessä.
Kulmaliikemäärän arvo liittyy usean mikroskooppisen kappaleen systeemiä
kuvaavan aaltofunktion symmetriaominaisuuksiin. Bosoneilla aaltofunktio
on muuttumaton vaihdettaessa kahden osasen koordinaatit keskenään. Esimerkiksi
fotonit noudattavat bosonien symmetriasääntöä. Fermioneilla aaltofunktio
vaihtaa merkkinsä koordinaattivaihdon seurauksena. Esimerkiksi
elektronit ovat fermioneja.
Symmetriaominaisuuksista seuraa, että kuvattaessa hiukkasten sijoittumista
eri energiatiloille ei samalle kvanttitilalle voida sijoittaa enemmän kuin
yksi fermioni. Bosonien suhteen vastaavaa rajoitusta ei ole.

4.2 Bose-Einstein jakauma 95
4.2 Bose-Einstein jakauma
4.2.1 Mikrotilojen lukumäärän laskeminen
Tarkastelemme energiatasoa E i , joka koostuu esimerkissämme 3 ominaistilasta,
joille sijoitamme 3 hiukkasta. Kuinka monella periaatteessa fysikaalisesti
erotettavissa olevalla tavalla hiukkaset voidaan sijoittaa ominaistiloille
Koska hiukkaset eivät ole yksilöinä erotettavissa, monihiukkastila
on täysin määrätty kun tiedetään, kuinka monta hiukkasta kullakin
alitilalla on:
Taulukko 4. 1
Ominaistila Hiukkasten lukumäärä tilalla
1 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0
2 0 1 0 1 2 0 3 0 2 1
3 0 0 1 1 0 2 0 3 1 2
Huomataan, että saamme
( gi
+ ni
− )
( g −1! ) n !
1!
Pi
= = 10
i i
(4.2)
mahdollisuutta. Toistamme saman jokaiselle energiatasolle. Erilaisten koko
systeemin monihiukkastilojen määrä on tällöin yksittäisille energiatasoille
laskettujen monihiukkastilojen lukumäärien tulo
( gi
+ ni
−1!
)
∏Pi
∏ . (4.3)
( g −1! ) n !
P = =
i
i
4.2.2 Tasapainotilaa vastaava partitio
i
i
Johdamme seuraavaksi termodynaamista tasapainotilaa vastaavan partition.
Käyttämällä Stirlingin kaavaa ln x!
≈ xln
x− x saamme
∑ ⎡( i i ) ( i i ) i i ( i ) ( i ) ⎤. (4.4)
ln P = ⎣ n + g − 1 ln n + g −1 −n ln n − g −1 ln g −1
⎦
i
Entropian logaritmin vastaluvun differentiaaliksi saadaan

96 IV Kvanttistatistiikan perusteet
⎡
− d P = − dn n + g − − n + g −
i ⎢⎣
i
( ln ) ∑ ⎢ i ln ( i i 1) ( i i 1) ( n + g −1
)
dni
⎤
+ dni ln ni + ni
⎥ n i ⎦
∑
( )
= ⎡⎣− ln ni + gi − 1 + ln ni⎤⎦dni
= 0.
i
i
dn
i
(4.5)
Side-ehtoina ovat hiukkasluvun N = ∑ ni
ja sisäenergian U = ∑ niEi
säilyminen.
i
i
Derivoimalla nämä summat saamme dN = ∑ dni
= 0 ja
i
dU = ∑ dniEi
= 0 . Kerrotaan differentiaalit Lagrangen parametreilla α ja β
i
− d ln P 4.5 kanssa:
ja lasketaan yhteen differentiaalin ( )
− d ( ln P) + αdN + βdU = ∑ ⎡⎣− ln ( ni + gi − 1)
+ ln ni + α + βEi⎤⎦dni
= 0 . (4.6)
i
Miehityslukuja n i voidaan nyt pitää riippumattomina muuttujina, joten yhtälö
4.6 toteutuu vain, jos kaikkien miehityslukujen differentiaalien dn i
kertoimet ovat nollia:
eli
( )
− ln ni + gi − 1 + ln ni + α + βEi
= 0
(4.7)
ni
ni
−α−β
ln =−α
−βEi
⇒ = e
ni + gi − 1 ni + gi
−1
E i
. (4.8)
Olettamalla, että miehitysluvut n i ovat suuria voimme approksimoida yhtälössä
4.8 ni + gi −1≈ ni + gi. Ratkaisemalla n i ja merkitsemällä β = 1/kT
voidaan 4.8 esittää muodossa
gi
ni =
Ei
/ kT
e α + − 1
. (4.9)
Lagrangen “määräämättömät” kertoimet α ja β = 1/kT voidaan tämän jälkeen
määrätä side-ehdoista N = ∑ ni
ja U = ∑ niEi
.
i
i

4.3 Fermi-Dirac jakauma 97
Esimerkki 4.1. Laske esimerkin 3.1 partitiot, niihin kuuluvien mikrotilojen
lukumäärät ja energiatasojen keskimääräiset miehitysluvut olettaen, että
hiukkaset ovat nyt bosoneja. Oleta g i = 1 kaikille energiatasoille.
j n j
1 2,818181
2 1,727272
3 0,727272
4 0,363636
5 0,181818
6 0,090909
7 0,090909
Σ 6
Sallitut makrotilat ovat samat kuin MB-jakaumassa, (ks. Kuva
3-2) yhteensä 11 kpl. Mikrotilojen lukumäärät lasketaan nyt
kuitenkin yhtälöstä 4.3. Koska g i = 1 , saamme P k = 1 , ts. kaikkiin
makrotiloihin liittyy vain yksi mikrotila ja kaikki makrotilat
ovat näin ollen yhtä todennäköisiä. Keskimääräiset miehitysluvut
saadaan laskemalla kunkin energiatason miehityslukujen
summa ja jakamalla se makrotilojen lukumäärällä. Tulokset
ovat oheisessa taulukossa. Huomataan, että BE-jakauma painottaa alimpia
energioita.
Lasketaan vielä sama esimerkki tapaukselle g i = 3 BE statistiikassa. Makrotilat
ovat samat kuin yllä ja esimerkissä 3.1. Mikrotilojen lukumäärät on
annettu alla olevassa taulukossa.
Makrotila 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
P 63 135 135 180 90 270 180 100 216 135 28
k
Huomaamme, että makrotila 6 vastaa nyt termodynaamista tasapainoa.
Sen normitettu todennäköisyys on 0,176. MBjakaumassa
tämän makrotilan todennäköisyys oli 0,260. Energiatasojen
keskimääräiset miehitysluvut on annettu oheisessa
taulukossa. Voidaan osoittaa, että kun g i kasvaa, BE-jakauman
makrotilojen normitetut todennäköisyydet ja miehitysluvut lähestyvät
MB-jakauman vastaavia arvoja
4.3 Fermi-Dirac jakauma
j
n j
1 2,83
2 1,60
3 0,830
4 0,410
5 0,205
6 0,088
7 0,041
Σ 6
4.3.1 Mikrotilojen lukumäärän laskeminen
Laskemme seuraavaksi mielivaltaisen fermionipartition todennäköisyyden
ja tilastollista tasapainoa vastaavat miehitysluvut. Oletamme jälleen, että
kukin energiataso E i jakautuu g i ominaistilaan, joilla kaikilla on sama
energia. Kuinka monella tavalla eräälle tasolle E i voidaan sijoittaa n i

98 IV Kvanttistatistiikan perusteet
hiukkasta Selvästikin pätee rajoitus ni
≤ gi
, sillä muuten samalle ominaistilalle
tulee 2 hiukkasta mikä on kiellettyä.
Tarkastelemme aluksi samaa esimerkkitapausta, kuin Bose-Einstein jakauman
kohdalla. Sijoitamme 3 hiukkasta ( n i = 3) energiatasolle, johon
kuuluu 3 ominaistilaa ( g i = 3). Koska monihiukkastila on täysin määrätty,
kun tiedetään, kuinka monta hiukkasta kullakin ominaistilalla on, saadaan
nyt seuraava taulukko:
Taulukko 4. 2
Hiukkasten lukumäärä
Ominaistila
tilalla
1 1
2 1
3 1
Saamme siis vain yhden mahdollisen monihiukkastilan. Tästä voidaan päätellä,
että mahdollisten monihiukkastilojen määrä sijoitettaessa n i hiukkasta
g i ominaistilalle on
gi
!
Pi
=
. (4.10)
ni! ( gi − ni)
!
Huomaa, että 0! = 1. Koska lukija voi tässä vaiheessa käydä epäluuloiseksi
yhtälön 4.10 yleispätevyydestä, osoitamme sen pätevän vielä toisessakin
erityistapauksessa. Olkoon nyt g i = 4 ja n i = 2. Saamme taulukon 4.3 esittämät
tilat. Saimme yhteensä 6 monihiukkastilaa, eli mikrotilaa. Sijoitta-
Taulukko 4. 3
Ominaistila Hiukkasten lukumäärä tilalla
1 1 1 1 0 0 0
2 1 0 0 1 1 0
3 0 1 0 1 0 1
4 0 0 1 0 1 1
malla annetut degeneraatiot ja miehitysluvut yhtälöön 4.10 voimme todeta
sen antavan yhteensä 6 mikrotilaa sopusoinnussa taulukkomme kanssa.
Yleisemmin voimme perustella yhtälön 4.10 seuraavasti. Ensimmäinen
hiukkanen voidaan sijoittaa mille tahansa alitiloista. Saamme g i eri mahdollisuutta.
Seuraava voidaan sijoittaa jäljellä oleville gi
− 1 tyhjälle alitilalle
jne. Yhteensä saadaan siis

4.3 Fermi-Dirac jakauma 99
Pi = gi( gi −1)( gi −2) ⋅⋅⋅⋅( gi − ni
+ 1) =
gi
!
( g − n )
i
i
!
(4.11)
eri tapaa sijoittaa n i fermionia g i alitilalle. Yllä tehty tarkastelu ei ottanut
huomioon sitä, että fermioneilla ei kvanttimekaanisina hiukkasina ole
identiteettiä. Ainoastaan ne monihiukkastilat, joissa ominaistilojen miehitysluvut
ovat erilaiset, ovat aidosti toisistaan riippumattomia. Tämä otetaan
huomioon jakamalla yhtälö (4.11) hiukkasten mahdollisten permutaatioiden
lukumäärällä eli tekijällä n i !. Näin saamme yhtälön 4.10.
Kuten BE jakaumankin kohdalla partition kokonaistodennäköisyys on kullekin
energiatasolle laskettujen eri monihiukkastilojen lukumäärien tulo:
g !
i
∏Pi
∏ . (4.12)
n !( g − n )!
P = =
i
i
i i i
Tämäkään jakauma ei ole normitettu. Siksi partitioiden todennäköisyyksien
summa ole 1.
4.3.2 Tasapainotilaa vastaava partitio
Määrätään ne miehitysluvut n i , joilla todennäköisyys 4.12 saa maksimiarvon.
Sovelletaan samoja menetelmiä, kuin MB-jakauman johtamisen yhteydessä.
P maksimi vastaa ln P :n maksimiarvoa. Käyttämällä Stirlingin
kaavaa saadaan
∑ ⎡ i i i i ( i i) ( i i)
⎤ . (4.13)
ln P = ⎣g ln g −n ln n − g −n ln g −n
i
Differentiaaliksi (kerrottuna -1:llä) saadaan
⎦
⎡
dn
−dn
− d P = dn n + n + g −n −dn g −n
i ⎢⎣
ni gi − ni
i
i
( ln ) ∑ ⎢ i ln i i ( i i) ln ( )
( )
i i i
∑
( )
= ⎡⎣ln ni −ln gi − ni ⎤⎦dni
= 0
i
⎤
⎥⎦
(4.14)
Side-ehtoista saadaan jälleen dN = ∑ dni
= 0 ja dU = ∑ dniEi
= 0 . Kerrotaan
i
nämä Lagrangen parametreilla α ja β ja lasketaan yhteen differentiaalin
( ln P)
− d kanssa:
i

100 IV Kvanttistatistiikan perusteet
− d ( ln P) + αdN + βdU = ∑ ⎡⎣ln ni −ln ( gi − ni)
+ α + βEi⎤⎦dni
= 0 (4.15)
i
Miehityslukuja n i voidaan nyt pitää riippumattomina muuttujina, joten yhtälö
4.15 toteutuu vain jos kaikille energiatasoille i pätee
eli
( )
ln n −ln g − n + α + βE
= 0
(4.16)
i i i i
ni
−α−βE
g
i
i
= e ⇒ ni
=
g − n + α+
βE
e
i
+ 1
. (4.17)
i
i
Merkitsemällä
β = 1/kT ja µ =− αkT
voidaan (4.11) esittää muodossa
n
i
=
e
g
i
( Ei
−µ )/ kT
. (4.18)
+ 1
Yhtälössä 4.18 µ on kemiallinen potentiaali eli systeemin energian lisäys
kun siihen tuodaan yksi elektroni lisää systeemin termodynaamisen tilan
säilyessä muuten muuttumattomana. Lämpötila ja kemiallisen potentiaalin
arvo voidaan määrätä hiukkasmäärän sisäenergian arvoista side-ehtojen
kautta. Yleisesti tämä on mahdollista vain numeerisesti. Vastaavasti, jos
lämpötila tunnetaan, voidaan kemiallisen potentiaalin arvo laskea hiukkasmäärän
ja lämpötilan avulla. Kemiallisen potentiaalin raja-arvoa matalissa
lämpötiloissa kutsutaan fermienergiaksi ja sitä merkitään usein suureella
E F . Useissa oppikirjoissa myös kemiallista potentiaalia merkitään
suureella , mikä on edellä kerrotun perusteella harhaanjohtavaa.
E F

4.4 Partitiofunktio, sisäenergia ja entropia kvanttistatistiikassa 101
4.4 Partitiofunktio, sisäenergia ja entropia
kvanttistatistiikassa
Kvanttistatistiikassa partitiofunktio määritellään yhtälöllä
( − −E
i / kT
)
Z =± ∑ gi
ln 1±
e α , (4.19)
i
missä plusmerkki pätee fermioneille ja miinusmerkki bosoneille. Johdamme
seuraavassa hiukkasten kokonaismäärän, sisäenergian ja entropian lausekkeet
bosoneille. Fermioneille johtaminen suoritetaan yksityiskohtia lukuun
ottamatta samaan tapaan.
4.4.1 Hiukkasten lukumäärä systeemissä
Hiukkasluku saadaan partitiofunktiosta derivoimalla parametrin α suhteen
⎛∂
Z ⎞
N =− ⎜ ⎟
⎝∂α
⎠ . (4.20)
T
Yhtälö 4.20 voidaan johtaa Bose-Einstein jakaumasta seuraavasti. Miehitysluvut
ovat
gi
ni =
Ei
/ kT
e α + − 1
,
joten
gi
N = ni =
Ei
/ kT
i i e α + −1
∑ ∑ .
Toisaalta yhtälön 4.20 mukaan
−α
−Ei
/ kT
( − e )
⎡
Z
∂ ln 1
⎤
⎛∂
⎞
− g
⎢ ⎥
⎜ ⎟ = ∑ i
⎝∂α
⎠ ⎢
T i
∂α ⎥
⎢⎣
⎥⎦T
gi
−α
−Ei
/ kT gi
= ∑
e = N.
−α− E / /
1
i kT ∑
=
α+
Ei
kT
i −e
i e −1

102 IV Kvanttistatistiikan perusteet
4.4.2 Sisäenergia
Bosonisysteemin sisäenergia saadaan yhtälöstä
2 ⎛∂
Z ⎞
U = kT ⎜ ⎟
⎝∂
T ⎠ . (4.21)
α
Tulos johdetaan seuraavasti. Sisäenergialle saadaan määritelmän perusteella
gi
U = niEi = Ei Ei
/ kT
i i e
α +
−1
∑ ∑ .
Toisaalta yhtälöstä 4.21 saadaan
−α
−Ei
/ kT
( − e )
⎡∂
gi
ln 1
⎤
2⎛∂
Z ⎞ ⎢
⎥
2 i
U = kT ⎜ ⎟ = −kT
⎢ ⎥
⎝∂T
⎠α
⎢ ∂T
⎥
⎢⎣
⎥⎦
α
4.4.3 Entropia
∑
2
=−kT ∑
gi −α
−E
/ kT ⎛ Ei ⎞ gi
e − = ∑
Ei
= U.
i
i
−α− E / 2
/
( 1
i kT
⎜ ⎟
Ei
kT
e ) kT
α+
−
⎝ ⎠ i ( e −1)
Kvanttisysteemin entropia saadaan yhtälöstä
⎛∂
Z ⎞
U
S = kT⎜
⎟ + αkN + kZ = + αkN + kZ
⎝∂
T ⎠α
T
. (4.22)
Todistamme tämän lähtien entropian määritelmästä
S = kln
P , missä
( gi
+ ni
−1!
)
∏Pi
∏ .
( g −1! ) n !
P = =
i
i
Käyttämällä Stirlingin kaavaa saadaan
i
i
∑ ⎡( i i ) ( i i ) i i ( i ) ( i ) ⎤.
kln P = k ⎣ n + g − 1 ln n + g −1 −n ln n − g −1 ln g −1
⎦
i
Ryhmittämällä termejä saadaan edelleen

4.4 Partitiofunktio, sisäenergia ja entropia kvanttistatistiikassa 103
⎡ ⎛n + g − 1⎞ ⎛n + g −1⎞⎤
kln P = k n ln + g −1 ln
i ⎢⎣
⎝ ni
⎠ ⎝ gi
−1
⎠⎥⎦
∑
i i i i
⎢( i) ⎜ ⎟ ( i ) ⎜ ⎟⎥
.
Oletamme, että n , g >> 1, jolloin voimme jättää yhtälössä esiintyvät ykköset
huomiotta ja saamme
i
i
⎡ ⎛n + g ⎞ ⎛ g ⎞⎤
kln P = k n ln − g ln
i ⎢⎣
⎝ ni ⎠ ⎝ni + gi
⎠⎥⎦
∑
i i i
⎢( i) ⎜ ⎟ ( i)
⎜ ⎟⎥
.
Sijoitamme lopuksi Bose-Einstein miehitysluvut (4.9), jolloin sieventämällä
⎡ α + E /
ln ( ) ln
i kT ⎛ ni gi
⎞⎤
k P = k∑
ni
( e ) −( gi)
ln ⎜ ⎟
i ⎢⎣
⎝ni + gi ni
⎠⎥⎦
1
= ∑nE i i + kα∑ni −k∑
gi
ln 1−e
T
i i i
U
= + k α N + kZ .
T
4.4.4 Klassinen raja
−α
−Ei
/ kT
( )
i
Tarkastelemalla MB-, FD- ja BE-miehityslukujen lausekkeita huomataan,
että jälkimmäiset lähestyvät MB-statistiikan miehityslukuja, kun tekijä e α
E /
kasvaa. Samalla MB-miehitysluvut
i kT
ni
= gie −α
− pienenevät, ja voimme
olettaa, että n

104 IV Kvanttistatistiikan perusteet
Merkitään
−α
E /
Z = e ZMB
, missä
i kT
ZMB
= ∑ gie − on MB-jakauman partitiofunktio.
i
Sijoittamalla tämä partitiofunktio yhtälöön 4.22
saadaan
U
−α
S = + αkN + ke ZMB
. (4.24)
T
−α
Toisaalta MB jakaumalle e = N / ZMB
(Luku III) ja vastaavasti
α Z
α kN = kN ln e = kN ln MB .
N
Sijoittamalla nämä tulokset yhtälöön 4.24 saamme MB entropian (3.44).
Vastaavasti voidaan todistaa muiden kvanttistatistiikan tilanfunktioiden
saavan rajalla e α →∞ MB-statistiikan mukaiset raja-arvot.
4.5 Maxwell-Boltzmann jakauma
Olemme johtaneet MB jakauman jo aikaisemmin, mutta johdamme sen vielä
kerran tavalla, joka havainnollistaa eroa kvanttistatistiikan ja klassisen
statistiikan välillä. Tarkastellaan jälleen aluksi energiatasoa E i , jonka
miehitysluku olkoon n i = 2 ja degeneraatio g i = 3. Koska hiukkasilla on nyt
identiteetti merkitsemme niitä kirjaimilla a ja b.
Taulukko 4. 4
Ominaistila Hiukkasten jakautuminen ominaistiloille
1 a,b a a b b 0 0 0 0
2 0 b 0 a 0 a,b a b 0
3 0 0 b 0 a 0 b a a,b
ni
Saamme yhteensä 9 = g i monihiukkastilaa. Edellisiä kvanttistatistiikan
tarkasteluja mukaillen voisi luulla, että partition todennäköisyys olisi
i
n i
P = ∏ g . (4.25)
i
Näin ei kuitenkaan ole. Hiukkaset a ja b voidaan sijoittaa myös muille
energiatasoille kuin tasolle E i ilman, että n i muuttuu, jos vastaavasti
muilta energiatasoilta tuodaan kaksi hiukkasta (esimerkiksi c ja d) tasolle
E . Näin päädytään uuteen monihiukkastilaan, joka kuitenkin liittyy sa-
i

4.5 Maxwell-Boltzmann jakauma 105
maan partitioon. Todellisuudessa tiettyyn partitioon kuuluvien monihiukkastilojen
määrä on paljon suurempi kuin 4.25, sillä jos hiukkasten kokonaismäärästä
valitaan mitkä tahansa kaksi hiukkasta tasolle E , saadaan
kutakin erilaista kahden hiukkasen valintaa kohden 9 monihiukkastilaa tasolle
E . Näin ollen saamme yhtälön 4.25 ilmoittaman määrän monihiuk-
i
kastiloja jokaiselle erilaiselle tavalle jakaa N identifioitavissa olevaa
hiukkasta tasoille E 1 , E 2 , E 3, .. miehityslukujen ollessa kiinteät n 1 , n 2 , n 3, ...
N !
Ensimmäiselle energiatasolle voidaan n 1 molekyyliä valita
tavalla
seuraavalle n 2 molekyyliä
tavalla jne. Tämä on sama
n1!( N − n1)!
( N − n1
)!
n2!( N −n1−n2)!
kuin se mahdollisten sijoitustapojen määrä, jonka johdimme MBjakaumalle
luvussa III. Erilaisten sijoitustapojen lukumäärä (eri energiatasojen
kesken) on
i
1
N ! ∏
n !
.
i
i
Kaikkien tiettyyn partitioon liittyvien monihiukkastilojen kokonaismäärä
on siis
n i
gi
N ! ∏ , (4.26)
n !
i
i
eli sama kuin jo aiemmin luvussa III johtamamme tulos.
Miksi fermionien ja bosonien kohdalla ei tarvinnut ottaa huomioon hiukkasten
vaihtamista eri energiatasoihin kuuluvien ominaistilojen kesken
Siksi, että se ei tuo fysikaalisesti erotettavissa olevia uusia monihiukkastiloja.
Kvanttistatistiikassa ominaistiloilla olevien hiukkasten lukumäärä
määrää yksikäsitteisesti ominaistilan.
Esimerkki 4.2. Osoita, että BE-jakaumafunktio P = Pi
=
i i
n
g i
i
lähestyy "normitettua" MB-funktiota∏ kun gi
>> ni.
i ni
!
Tarkastellaan energiatasoon
( gi
+ ni
− )
∏ ∏
( g −1! ) n !
E i liittyviä tekijöitä. BE-jakaumalle saadaan
i
1!
i

106 IV Kvanttistatistiikan perusteet
( )
( − )
( )( ) ( )
gi + ni − 1 ! gi gi + 1 gi + 2 × ... × gi + ni
−1
Pi
= =
gi 1! ni! ni!
.
Jaettavassa on siis n i termiä. Jos, ni > ni
, nähdään myös
kirjoittamalla miehitysluvut seuraavaan muotoon:
gi
g
E /
1
i kT
n
i
i = α +
e
α −Ei
/ kT
e −1
⇒ n
+ =
i
gi
g
E /
1
i kT
n
i
i = α +
e
α −Ei
/ kT
e + 1
⇒ n
− =
i
(Bose - Einstein) (4.27)
(Fermi - Dirac) (4.28)
−α− Ei/ kT gi
α+
Ei/
kT
ni
gie e
ni
= ⇒ = (Maxwell - Boltzmann). (4.29)
Kun yhtälöissä 4.27 ja 4.28 jätetään tekijät +1 ja -1 pieninä pois ja ratkaistaan
yhtälöt n i :n suhteen saadaan raja-arvona MB-jakauma.