Joukko-opin alkeet Harjoitus 2 3.2.2005

Joukko-opin alkeetHarjoitus 23.2.20051. helmikuuta 2005Tehtävissä komplementit muodostetaan joukon X suhteen, josta oletetaanainoastaan, että se on epätyhjä. Ts. −A merkitsee joukkoa X \ A.1. Olkoon ∅ ≠ A ⊆ P(X). Osoita, että⋂A ⊆ X,⋃A ⊆ X.2. Olkoon ∅ ≠ A ⊆ P(X). Osoita tosiksi yleistetyt de Morganin lait:− ⋂ A = ⋃ {−A | A ∈ A},− ⋃ A = ⋂ {−A | A ∈ A}.3. Määritellään järjestetty pari seuraavalla vaihtoehtoisella tavalla:〈x, y〉 ′ = {x, {x, y}}.Osoita, että tämä määritelmä toimii, ts. että jos 〈x, y〉 ′ = 〈u, v〉 ′ , niinx = u ja y = v.4. Osoita, ettei seuraava määritelmä järjestetylle kolmikolle toimi:〈x, y, z〉 = {{x}, {x, y}, {x, y, z}}.Etsi siis sellaiset x, y, z, u, v, w, että 〈x, y, z〉 = 〈u, v, w〉, vaikka jokinyhtälöistä x = u, y = v, z = w ei ole voimassa.

5. Osoita, ettei kaikkien järjestettyjen parien luokka ole joukko. (Vihje:tee vastaoletus ja muodosta kaikkien joukkojen joukko. Käytä unionioperaatiota.)6. Osoita, että jos A ≠ ∅ ja A × B = A × C, niin B = C.2