Observateur à grand gain pour des systèmes non linéaires avec ...

Prépublication n° 40 | Fascicule n° 2
Observateur à grand gain pour des
systèmes non linéaires avec couplage non
complètement triangulaire
Fenglong Liu, Mondher Farza, Mohammed M’saad
GREYC, UMR 6072 CNRS, Université de Caen Basse-Normandie, ENSICAEN
6 Bd Maréchal Juin, 14050 Caen Cedex, France
fliu@greyc.ensicaen.fr, mfarza@greyc.ensicaen.fr, msaad@greyc.ensicaen.fr
Résumé :
Un observateur de type grand gain est synthétisé pour une classe de systèmes non-linéaires
multi-sorties uniformément observables. Cette classe consiste en des sous-systèmes en cascade
où chaque sous-système est associé à un sous-ensemble des sorties. Deux contributions princi-
pales sont à souligner : la première est liée à la structure considérée qui n’est pas complètement
triangulaire. Autrement dit, la dynamique de certaines variables de chaque sous-système peut
dépendre de non-linéarités impliquant tous les états du système. La deuxième contribution ré-
side dans le gain de l’observateur dont l’expression est donnée et dont le calibrage s’effectue
à travers le choix d’un seul paramètre. Un exemple académique avec les résultats de simulation
sont présentés à titre d’illustration.
Mots-clés : système non-linéaire, observateur à grand gain, couplage non triangulaire.
1 Introduction
En dépit d’une activité de recherche intense et continue sur l’observation des systèmes
non-linéaires (cf. par exemple [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]), ce problème reste encore ouvert pour les
systèmes multi-sorties.
L’objectif de ce papier est de proposer un observateur exponentiel pour une classe de
systèmes non-linéaires multi-sorties qui peuvent se mettre sous la forme suivante :
8
<
:
˙x = Ax + ϕ(u, x)
y = Cx
Fenglong Liu, Mondher Farza, Mohammed M’saad
« Observateur à grand gain pour des systèmes non linéaires avec couplage non complètement triangulaire »
Schedae, 2007, prépublication n° 40, (fascicule n° 2, p. 275-278).
| 275
(1)

276 |
“
où l’état x = x1 x2 . . . xq ”T
∈ IR n , avec xk “
= xk 1 xk 2 . . . xk ”T
∈ IR
λk nk ,
xk i ∈ IRp qX
k , i = 1, . . . , λk, k = 1, . . . , q, nk = n ; la sortie du système
k=1
y =
“
y1 y2 . . . yq
”T
∈ IR p avec yk ∈ IR p qX
k , k = 1, . . . , q et pk = p ; A =
2
3
k=1
h
diag A1 . . . Aq
6
i 6
, Ak = 6
4
0
.
0
Ipk . . .
. ..
0
0
Ipk 7
h
7
7,
C = diag
7
5
C1 . . . Cq
i
, Ck =
h
i
0 . . . 0 0
Ipk 0 . . . 0 et
“
la fonction non-linéaire ϕ(u, x) = ϕ1 (u, x) T ϕ2 (u, x) T . . . ϕq (u, x) T
”T
∈ IR n ; ϕk (u, x) =
“
ϕk 1 (u, x)T ϕk 2 (u, x)T . . . ϕk λ (u, x)
k T
”T
∈ IR nk où chaque fonction ϕk i (u, x) ∈ IR pk ,
k = 1, . . . , q, possède la structure suivante :
• pour 1 ≤ i ≤ λk − 1 :
• pour i = λk :
ϕ k i (u, x) = ϕk i (u; x1 , x 2 , . . . , x k−1 ; x k 1 , . . . , xk i
; xk+1
1
, x k+2
1 , . . . , x q
1 ) (2)
ϕ k λ k (u, x) = ϕ k λ k (u; x 1 , x 2 , . . . , x q ) (3)
Dans ce travail, on montrera, sous des hypothèses appropriées, que l’observateur proposé
est global et que sa convergence est exponentielle. La contribution principale de ce tra-
vail réside dans le fait que la classe de systèmes considérée renferme toutes les classes
de systèmes pour lesquelles un observateur à grand gain a été proposé et pour lesquelles
l’expression du gain a été donnée [1, 4, 8, 6].
2 Synthèse de l’observateur
Comme dans tous les travaux traitant de la synthèse d’observateurs à grand gain [1, 4, 8,
6, 2], nous avons besoin de l’hypothèse suivante :
Hypothèse 1 ϕ(u, x) est une fonction globalement Lipschitzienne en x, uniformément en u.
Avant de donner les équations de l’observateur, nous allons introduire quelques notations
et résultats préliminaires :
• Soit ∆k(θ) une matrice diagonale définie par :
»
∆k(θ) = diag
Ip k ,
1
θδ Ipk , . . .
k
1
θ δ k(λ k−1) Ip k
où θ > 0 est un réel et les δk sont des réels positifs définis comme suit :
8
><
>:
δk =
δq = 1
qY
i=k+1
(λi − 1) pour 1 ≤ k ≤ q − 1;
• Soit S θ δ k la solution unique de l’équation algébrique de Lyapunov suivante :
Schedae, 2007, prépublication n° 40, (fascicule n° 2, p. 275-278).
θ δ k S θ δ k + A T k S θ δ k + S θ δ k Ak = C T k Ck
–
(4)
(5)
(6)

où les Ak et Ck sont définies dans le système (1). Il a été démontré (cf. par exemple [4]) que
la solution de (6) est SDP (Symétrique Définie Positive) pour θ > 0 et que l’on a
Sθδk (i, j) = (−1)(i+j) C j−1
i+j−2
θδk(i+j−1) De plus, on a :
Ip k pour 1 ≤ i, j ≤ nk, où C p n =
n!
(n − p)!p!
Sθδk = 1
θδ ∆k(θ)S1k∆k(θ) (8)
k
où S1k = S θ δ k |θ=1. En particulier, S −1
θ δ k CT k = (θδ k C 1 n k Ip k , θ 2δ k C 2 n k Ip k , . . . , θ n k δ k C n k
nk Ip k ) T
Soit maintenant le système dynamique suivant :
˙ˆx = Aˆx + ϕ(u, ˆx) − S −1
Θ CT (C ˆx − y) (9)
où
“
• ˆx = ˆx 1 ˆx 2 . . . ˆx q
”T
∈ IR n , ˆx k “
= ˆx k 1 ˆx k 2 . . . ˆx k ”T
∈ IR
λk nk ,ˆx k
i ∈
IR p qX
k , i = 1, . . . , λk, k = 1, . . . , q, nk = n.
•
k=1
ˆx k 1 = xk 1 pour k = 1, . . . , q (injection de la sortie).
• u et y sont respectivement les entrées et les sorties du système (1).
h
i
• SΘ = diag Sθδ1 . . . S δq θ
Sθδk sont données par (8) pour k = 1, . . . , q.
Nous énonçons le théorème suivant :
est une matrice diagonale en blocs et les matrices
Théorème 1 Supposons que système (1) satisfait l’hypothèse (1), alors :
∃θ0 > 0; ∀θ ≥ θ0; ∃λθ > 0; ∃µθ > 0,
ˆx(t) − x(t) ≤ λθe − µ θ t
2 ˆx(0) − x(0)
pour toute entrée bornée. De plus, lim
θ→∞ µθ = +∞. Autrement dit, le système (9) est un
observateur exponentiel pour le système (1) pour des entrées bornées.
3 Exemple
Soit le système dynamique suivant,
8
><
>:
˙z1 = z3 − 0.01u1tanh(z1z2z5) − z1
˙z2 = z4 − 0.01u2tanh(z1z2z5) − z2
˙z3 = −z3 3 −
u1z6
1 + (z1z2z3z4z5z6z7) 2
u2z7
˙z4 = −z4 +
2 + tanh(z1z2z3z4z5z6z7)
˙z5 = z6 + 0.01z1z2z3z4z5u1
˙z6 = z7 − z6 + (1 − z2 1 )z2z5
u1 tanh(u2)
+
+
1 + (z3z4) 2 1 + z2 ˙z7 =
6
−z7 + (1 − z2) 2z1z5 + tanh(u1) u2
+
1 + (z6z7) 2 1 + (z3z4) 2
y =
“
”T
z1 z2 z5
Il est clair que le système (10) est sous la forme (1). En considérant les valeurs initiales
0
zi(0) = 1, i = 1, . . . , 7 et les entrées @ u1
1 0
A = @
u2
sin(0.3t)
1
A, les trajectoires du système
cos(0.3t)
(10) sont bornées et l’hypothèse (1) est donc satisfaite (les plans de phase ne sont pas
reproduits par manque de place). En conséquence, un observateur de type (9) permettant
| 277
(7)
(10)
Schedae, 2007, prépublication n° 40, (fascicule n° 2, p. 275-278).

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d’estimer les états non mesurés du système (10) peut être synthétisé. Pour la raison de
manque des espaces, nous ne montrons pas les équations d’observateur.
La simulation a été effectuée avec les conditions initiales zi(0) = 1, et ˆzi(0) = −1, i =
1, . . . , 7. La valeur de paramètre θ utilisée au cours de la simulation est égale à √ 5. Les ré-
sultats obtenus (cf. figures 3 montrent bien la convergence rapide des trajectoires estimées
vers leurs vraies trajectoires issues de la simulation du modèle.
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0 5 10 15
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
Estimation
Simulation
−4
0 5 10 15
4 Conclusion
Estimation
z 3
z 6
Simulation
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
Estimation
Simulation
−1.5
0 5 10 15
4
2
0
−2
−4
−6
Estimation
−8
0 5 10 15
z 7
Simulation
Fig. 1: Comparaison des états estimés et simulés pour zi,i = 3, 4, 6, 7.
Dans cette contribution, nous avons proposé un observateur de type grand gain pour une
classe de systèmes non-linéaires multi-sorties uniformément observables. Cette classe in-
clut toutes les classes de systèmes considérées jusqu’ici et pour lesquelles le gain de l’ob-
servateur est explicitement donné. Toutefois, beaucoup d’autres systèmes uniformément
observables n’appartiennent pas à cette classe et nous travaillons pour élargir la synthèse
de l’observateur à de tels systèmes.
Références
[1] G. Bornard and H. Hammouri. A high gain observer for a class of uniformly observable systems. In
Proc. 30th IEEE Conference on Decision and Control, volume 122, Brighton, England, 1991.
[2] M. Farza, M. M’Saad, and L. Rossignol. Observer design based on triangular form generated by
injective map. Automatica, 40 :135–143, 2004.
[3] J.P. Gauthier and G. Bornard. Observability for any u(t) of a class of nonlinear systems. IEEE Trans.
on Aut. Control, 26 :922–926, 1981.
[4] J.P. Gauthier, H. Hammouri, and S. Othman. A simple observer for nonlinear systems - application
to bioreactors. IEEE Trans. on Aut. Control, 37 :875–880, 1992.
[5] J.P. Gauthier and I. A. K. Kupka. Observability and observers for nonlinear systems. SIAM J. Control.
Optim., 32 :975–994, 1994.
[6] H Hammouri and M. Farza. Nonlinear observers for locally uniformly observable systems. ESAIM J.
on Control, Optimisation and Calculus of Variations, 9 :353–370, 2003.
[7] M. Hou and A. C. Pugh. Observer with linear error dynamics for nonlinear multi-output systems.
Syst. Contr. Lett., 37 :1–9, 1999.
[8] G. Bornard and H. Hammouri. A graph approach to uniform observability of nonlinear multi output
systems. In Proc. of the 41st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, Nevada, USA,
December 2002.
Schedae, 2007, prépublication n° 40, (fascicule n° 2, p. 275-278).
z 4