Méthode d'Euler : Trouver la courbe approchée d'une ... - GeoGebra

Méthode d’Euler : Trouver la courbe approchée d’une fonction en
connaissant un point et la fonction dérivée.
On a l’approximation affine f(a+h) ≈ h f ’(a) +f(a), on va donc construire successivement des
points dont les coordonnées suivent le processus :
x est augmenté de h
y est augmenté de h fois le nombre dérivé
Créer un point A ;
Créer un curseur h de minimum 0,07, de maximum 3, d’incrément 0,01
Saisir la fonction dérivée. f ’(x)=-2x+4 (Ne pas afficher l’objet ?)
Amorcer la construction :
Saisir : B=(x(A)+h,y(A)+h*f ’(x(A))) et Segment [AB]
Utiliser la fonctionnalité « Replay » du champ de saisie, en utilisant la touche « Flèche haut »
Modifier la saisie précédente pour définir un point C et le segment [BC].
(Les points A,B et C sont-ils alignés ? Ne pas avoir peur de déplacer A, de faire varier h)
On ne va pas construire les points l’un après l’autre, effacer B
on va utiliser le TABLEUR (Affichage)
A B C D
1 Abscisse Ordonnée NbDérivé Pas
2 = x(A) = y(A) = f ’ (A2) = h
3 ………….. …………………
Réfléchir aux formules à saisir en A3 et B3,
C3 n’est qu’une recopie incrémentée de C2.
Lorsque la plage A3:C3 est correcte, l’ « étendre vers le bas » jusqu’à A22:C22.
Sélectionner la plage A3:B22, et clic droit « Créer liste de points »
Si la condition initiale est f(1)=0,on admet que la solution cherchée est :
x ⏐⎯⎯→ f(x) = – x² + 4x – 3
Saisir cette fonction.
Placer votre point A initial en (1,0), que se passe t’il pour la queue de la comète ?
Faire varier aussi h.
Pour ne pas afficher les étiquettes P1, P2 …. Menu Éditer > Propriétés, sélectionner l’item
Points et Décocher Afficher l’étiquette, éventuellement après sélectionner A, et cocher pour
lui Afficher l’étiquette.
Pour joindre « à la règle »les points, valider :
Segment[A,P_1], puis
Séquence[Segment[Elément[L_1, i], Elément[L_1, i + 1]], i, 1, Longueur[L_1] - 1]
(la liste de points créée par le tableur devant avoir été nommée L1, si ce n’est pas le cas,
adapter à votre situation)

Modifier f ’ en validant f ’(x)=1/x, toujours avec f(1) = 0 soit A(1,0), bien sûr le « f »
précédent n’est plus valable,
il s’agit maintenant de la fonction logarithme népérien au programme de terminale :
x ⏐⎯⎯→ Ln(x) .
===================================================================
On cherche finalement une fonction f dérivable qui soit égale à sa dérivée f = f ’, avec comme
condition initiale f(0) = 1, soit A(0,1),. Plus question donc de saisir f ’!
(Ne l’effacer pas tout de suite, pour ne pas avoir de problème dans le tableur)
Modifier dans le tableur la cellule C2 par =B2, puis recopier jusqu’en B22.
La fonction cherchée est la fonction exponentielle
au programme de terminale :
x
⏐⎯⎯→ exp(x) = ex