Restitution d'orbite - W ebtice

La mécanique spatiale
1/78

Le mouvement képlérien
Paramètres orbitaux
Perturbations
Manœuvres orbitales
Observation de la Terre
Orbite géostationnaire
Restitution d’orbite
Traces d’orbites
2/78

Le mouvement képlérien
3/78

Mouvement naturel d'un satellite
Principe fondamental de la dynamique découvert par Newton
..
F m
m r
Problème : évaluation des forces appliquées au centre de gravité du véhicule
Hypothèse : Force provenant uniquement de la terre supposée sphérique homogène
µ
F m
r
... force "centrale" c'est-à-dire colinéaire à
..
r
r r 0
3
r
( F)
4/78

Lois de Kepler
1 ère loi :
Le mouvement du centre de gravité est plan. En effet, la dérivée par rapport
au temps du moment cinétique est nulle :
On peut ensuite montrer que ce mouvement plan est une conique
dont le centre de la Terre est un foyer :
- ellipse
- parabole
- hyperbole
d C
dt
d
( r r ) r r r r 0
dt
0 0
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Lois de Kepler (suite)
2 ème loi :
3 ème loi :
Le vecteur centre Terre-Satellite balaye des aires égales durant des temps égaux :
dA 2
dt
1
r
2
T
1
2
C
3
a
µ
constante
Dans le cas d'une ellipse, la période de révolution s'écrit :
2
(avec a, le demi-grand axe de l'ellipse)
(loi des aires)
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Paramètres orbitaux
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Paramètres de l’orbite
Pour définir le mouvement d'un point dans l'espace, on a besoin de trois positions et
de trois vitesses :
x, y, z, x
, y
, z
Inconvénients : - peu d'interprétations physiques possibles,
- simplifications mathématiques impossibles
autre formalisme : les paramètres orbitaux
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Paramètres orbitaux
Les paramètres orbitaux décrivent la forme de l ’orbite, la position du plan de l ’orbite,
la position de l ’orbite dans le plan et la position du satellite sur l ’orbite.
Forme de l'orbite : a et e
Position du plan de l'orbite : deux angles
Position de l'orbite dans le plan : un angle
Position du satellite sur l'orbite : un angle
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Paramètres orbitaux (suite)
Forme de l’orbite (a,e)
Apogée
2a
a.e
Terre
r a r p
rp a
( 1e)
; ra
a
( 1e)
Périgée
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Paramètres orbitaux (suite)
Position du plan de l'orbite :
i : "inclinaison" par rapport à l'équateur, (i > 90° : orbites rétrogrades)
W : "ascension droite du nœud ascendant" c'est-à-dire l'angle entre l'axe X et la ligne
d'intersection du plan de l'orbite avec l'équateur
Ligne des noeuds
x
ND
z
W
NA
i
NA : nœud ascendant
ND : nœud descendant
y
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Paramètres orbitaux (suite)
Position de l'orbite dans le plan :
w : " argument du périgée " position du périgée par rapport au nœud ascendant.
x
ND
z
W
w
NA
i
y
Ligne des apsides
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Paramètres orbitaux (suite)
Position du satellite sur l'orbite :
angle par rapport au périgée :
v ("anomalie vraie") ou E ("anomalie excentrique")
Apogée
NA
M = E - e sin E et M = Mo + n (t - t 0) avec
E
Satellite
Terre
w
v
n
ou M ("anomalie moyenne")
Périgée
constante
3
µ
a
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Formulaire dans le cas d'une ellipse
r
p
ecos
1 0
C
2
avec p
µ
rp a
( 1e)
; ra
a
( 1e)
V
2
2
V
Vp
µ
r
µ
K
2a
2 1
µ
r a
µ 1e
a 1e
;
Va
constante (conservation de l'énergie)
µ 1e
a 1e
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Perturbations
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En fait, la force résultante s'appliquant au centre de gravité du véhicule n'est pas
seulement composée du terme en 1/r 2 précédemment défini.
Le schéma ci-dessous donne un aperçu des forces perturbatrices existantes ainsi que
leur ordre de grandeur par rapport au terme central.
Pression solaire
Attraction du soleil
Attraction de la lune
Irrégularités de la forme de la terre
Frottement (... Altitudes de 150 à 1000 km)
Aplatissement de la terre
Attraction centrale
10 -12 10 -11 10 -10 10 -9 10 -8 10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 1
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Potentiel terrestre : grad
(U )
n
req
n
U( ,
,
r)
(
)
( Cn,
m cos( m)
Sn,
m sin( m))
Pn
, m(sin(
))
r n0
r m0
req : rayon terrestre équatorial
Cn,m et Sn,m : coefficients harmoniques du potentiel terrestre de degré n et d'ordre m
Pn : polynôme de Legendre de degré n
Pn,m : fonction de Legendre associée
,,r : respectivement la latitude, la longitude et le rayon vecteur.
La formule du potentiel est donc une combinaison linéaire des fonctions sphériques :
F
G
n,
m
n,
m
( ,
)
cos( m)
P
( ,
)
sin( m)
P
n,
m
n,
m
(sin( ))
(sin( ))
- Les harmoniques zonaux sont par définition les fonctions F n,m et G n,m avec m = 0 : ils sont
symétriques de révolution autour de z
- Les harmoniques sectoriels sont par définition les fonctions F n,m et G n,m avec n = m : ils
s'annulent sur les méridiens
- Les harmoniques tesserraux sont par définition ceux pour lesquels m0 et mn
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Potentiel terrestre : équipotentielles
Sectoriel 2,2
Zonal 2,0
Tesseral 2,1
Zonal 3,0
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Potentiel terrestre : équipotentielles
Tesseral 9,6
Zonal 9,0
Sectoriel 9,9
19/78

Potentiel terrestre : géoïde
20/78

Potentiel terrestre : géoïde
21/78

Potentiel terrestre : géoïde
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Potentiel luni-solaire :
Terre : T
Sat : S
Planète : P
Principe fondamental de la dynamique :
T /
S /
Composition des accélérations (repères en translation) : S / T S / T
/
TS
TS
Or : G( MT
m)
GM
3 T 3
TS TS
D'ou : accélération perturbatrice
Terme central
TP
TS
( G. M P G.
m )
3
3
TP TS
SP
ST
( G. M P G.
M )
3 T 3
SP ST
Conséquences: - pas de variation séculaires sur a
(en courte période variations d’environ 1 km en GEO)
- Variations affectant essentiellement e et i
(di/dt moyen = 1 degré par an en GEO)
p
S / T
SP
SP
TP
TP
G. M P(
) G(
M
3 3
T
SP
P
(
SP
TP
3 3
TP
TS
m)
3
TS
)
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Frottement atmosphérique : (en dessous de 1000 km d'altitude)
1 S
p
2 M
C
D
V.
V
: densité de l’atmosphère (varie beaucoup avec l’altitude et l’activité solaire)
S : Surface du satellite
M : Masse du satellite
CD : Coefficient aérodynamique du satellite
V : vitesse du satellite
Conséquences: - décroissance du demi-grand axe (a)
- circularisation de l’orbite (e 0)
Fonction de l’altitude: - h < 200 km durée de vie de quelques jours
- 200 km < h < 500 km contrôle d’orbite (altitude) nécessaire
- h > 500 km effets négligeables sur la durée de vie du satellite
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Pression de radiation solaire (directe): dûe au flux de protons envoyés par le Soleil.
Effet sensible pour des satellites à grands panneaux solaires (e.g. géo-stationnaires, voile solaire)
p
S
M
C
P
P
0
. U
S : Surface du satellite perpendiculaire au flux
M : Masse du satellite
CP : Coefficient de réflectivité
P0 pression de radiation solaire par unité de surface (4,63 10-6 N/m2 )
U : Vecteur unitaire dans la direction Soleil-Terre
Pression de radiation solaire rediffusée par la Terre (25% directe) :
« albédo » terrestre
Conséquences: Modifications de l’excentricité
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Manœuvres orbitales
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Manœuvres orbitales
Pourquoi effectuer des manœuvres ?
MIP
MAP
• Afin de rectifier les paramètres d'orbite après injection par le lanceur
(erreurs à l'injection ou plus simplement parce que celui-ci ne peut délivrer
le satellite directement sur son orbite finale),
• A cause de perturbations dues à un mouvement non parfaitement
keplerien,
• Pour désorbiter afin d'amorcer une rentrée atmosphérique
Ainsi, pour ces manœuvres cherchera-t-on toujours à modifier un ou plusieurs des
paramètres orbitaux précédemment définis.
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Manœuvres orbitales (suite)
Les manœuvres s'effectuent grâce à des moteurs dont les caractéristiques peuvent
être définies par :
F : module de la poussée (Newtons)
I sp: impulsion spécifique (secondes)
V
g I
e 0
dm
q
dt
F
qVe
sp
dm
dt
g
0
I
sp
F
m
g 0 = 9,80665 m/s 2
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Manœuvres orbitales (suite)
Le fait d'introduire des poussées entraîne des perturbations sur l'orbite qu'on peut
traiter par exemple avec les équations de Gauss.
nécessité d'une intégration numérique
Dans le cas où les durées de poussée sont faibles par rapport à la période orbitale, on
peut supposer que la poussée se fait instantanément et donc qu'on a, à un
instant t, une différence de vitesse sans modification de la position :
V finale initiale
( t)
V ( t)
V ( t)
(poussée impulsionnelle)
La masse d'ergols dépensée pendant cette poussée se calcule par la formule:
m
m
0
1
e
0 sp I g
V
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Manœuvres orbitales (suite)
Transfert de Hohmann
Passer d'une orbite circulaire (O 1) à une orbite circulaire (O 2) coplanaire et décrite dans
le même sens que la première, de la manière la plus économique
Les orbites étant non sécantes, cela n'est pas possible en une seule manœuvre
Le transfert optimal en terme de consolation d'ergols consiste à passer sur une orbite de
transfert (O T) elliptique bitangente à (O 1) et (O 2)
V 2
Terre
(o 1)
V 1
(o 2)
V
V
1
2
r
1
2r
2
r1 r2
r1
r
2
2r
1
r1 r2
r2
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Manœuvres orbitales (suite)
Modification de l'inclinaison
Si on ne veut modifier aucun autre paramètre que l'inclinaison, il est nécessaire de
pousser à un des nœuds (cf. équations de Gauss, sin (w + v) = 0)
V
i 2
V
2V
2
NA i 1
V
V
1
Ligne des nœuds
i2 i
sin
2
Équateur
1
0 V0 V1
V2
Note :manœuvre très coûteuse en ergols comme toute manœuvre hors-plan de l'orbite
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ARTEMIS : Juillet 2001: Semi échec de l’injection et « sauvetage »
• Panne du 2eme étage d’Ariane 5 au
lancement
• Apogée à l’injection de 17000 km au lieu
de 36000 km
• Utilisation des moteurs classiques pour
atteindre une orbite d’attente circulaire à
31000 km (> ceintures de Van Allen)
• Déploiement panneaux solaires et test sur
orbite
• Re programmation de 20% du SW bord de
contrôle d’ARTEMIS et chargement depuis
FUCINO
• Utilisation des moteurs ioniques pour
attendre l’orbite finale
• Z de15 km par jour. Phase de 18 mois
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ARABSAT 4A: Échec de l’Injection par PROTON (28/02/2006) et
désorbitation
A la suite de l'échec au lancement d'ARABSAT4A le 28 février 2006 par le lanceur
Proton-M (anomalie de poussée), celui-ci avait été placé sur une orbite de 500
km de périgée et 15000 km d'apogée et une inclinaison de 51°.
A cette altitude le satellite ne pouvait rejoindre son orbite géostationnaire à
36000 km et 26° Est.
Avec l'accord du client ARABSAT, le satellite a été "désorbité" dans la nuit du
jeudi 24 mars 2006, pour retomber dans l'Océan Pacifique.
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Express AM11 : Collision avec débris spatial et mise sur orbite
cimetière (30/03/2006)
Durant la nuit du 29 au 30 mars à 3:41 du matin (heure de Moscou) le satellite
Express AM11(96.5° Est) a subi une brutale dépressurisation du système de
contrôle thermique.
Le satellite s'est mis en mode sauvegarde, mais a souffert de la perte du
système de régulation thermique. Cet accident est survenu suite à une collision,
semble-t-il, avec un débris spatial. Pour préserver l'environnement orbital,
Express AM11 est désorbité ce vendredi 31 mars et placé ainsi sur une orbite
cimetière. Tout le trafic assuré par le Satellite EXPRESS AM11 a été re-alloué, en
trois heures, à EXPRESS A2 (103° Est), EXPRESS AM2 (80° Est) et EXPRESS
AM3 (140°Est).
Débris spatiaux:
• 9 000 objets > 10cm (catalogués)
• 200 000 objets entre 1 et 10 cm (non catalogués)
•35 000 000 objets entre 0,1 et 1 cm (non catalogués)
Distribution orbitale des
débris spatiaux:
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Observation de la Terre
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Les contraintes mission
La notion d ’héliosynchronisme
L ’orbite SPOT
Le phasage
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Les contraintes mission
La qualité des prises de vue
- altitude
- excentricité
L ’éclairement solaire
orbite héliosynchrone
La répétitivité du cycle de prise de vues
orbite phasée
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L’héliosynchronisme
N’
22,5°
11 h 12 h
13 h
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L’héliosynchronisme (suite)
N
N’
N
N’
N’
N
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L’héliosynchronisme, l’orbite SPOT
Héliosynchronisme
• Orbites quasi-polaires
• Orbites rétrogrades
L’orbite SPOT
• Heure locale au nœud descendant = 10h30
• Demi-grand axe = 7200,55 km
• Inclinaison = 98,723 deg
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Le phasage
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Le phasage (suite)
42/78

Le phasage (suite)
43/78

Le phasage (suite)
44/78

Orbite géostationnaire
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L'orbite géostationnaire
• La période de l'orbite est égale à la période de
rotation de la Terre :
T = 86164 s
Le demi-grand axe géosynchrone est donné par la
troisième loi de Kepler
• Orbite circulaire : e = 0
Orbite équatoriale : i = 0
T 2 a 3
a s = 42164,2 km
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L'orbite de transfert GTO (type Ariane 4 ou 5)
Vue dans le plan équatorial :
Périgée
Nœud
descendant
Terre
Orbite de
transfert
Orbite
géostationnaire
Apogée
Nœud
ascendant
Vue de l'apogée vers la Terre :
Terre
7° Apogée
Plan de l'orbite
de transfert
Plan
équatorial
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Stratégie de mise à poste
i = 7 deg
T = 10,5 h
Terre
200 km
6200 km
29950 km
35326 km
DV1
DV2
i = 0,145 deg
T = 21,5 h
DV3
i = 3,58 deg
T = 12,5 h
i = 0,06 deg
T = 23,3 h
48/78

Restitution d’orbite
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Trajectographie
Le calcul d ’une trajectoire nécessite :
• La prévision de la trajectoire à l ’aide de modèles mathématiques
(extrapolation)
• La réalisation de mesures de localisation
(informations sur la trajectoire réelle)
• L ’ajustement de la trajectoire supposée (restitution d’orbite)
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Restitution d’orbite
Prévision de la trajectoire
• Conditions initiales : position et vitesse (orbite prévue à l’injection,
résultat d’une extrapolation d’orbite, orbite attendue après manœuvre)
• Modèles de forces (perturbations)
• Relation fondamentale de la dynamique
• Intégration numérique : extrapolation
F
m
• erreurs sur les conditions initiales et les modèles = dégradation de la
connaissance de l'orbite dans le temps
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Restitution d’orbite
Réalisation de mesures de localisation
• Recherche d’informations sur la trajectoire réelle
• mesures à partir de stations dont on connaît la position (localisation) et
la vitesse (rotation de la Terre) ou de satellites dont on connaît l’orbite
(GPS, TDRS)
• Ces mesures dépendent de la position du satellite et sont entachées
d’erreur
• Ecarts entre les mesures observées et les mesures attendues : résidus
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Restitution d’orbite
Ajustement de la trajectoire
• Dérivées partielles : sensibilité des mesures aux erreurs sur les
conditions initiales et les modèles (dynamiques et mesures)
• Restitution d’orbite : correction des conditions initiales et des modèles
de manière à réduire les écarts entre mesures observées et prédites
• Lot de mesures : moindres carrés
• Mesure par mesure : filtre de Kalman
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Mesures
Types de mesures et leur utilisation
• Mesures angulaires
• Mesure de la direction du satellite vu de la station
• 10 -3 – 10 -4 radian
• Orbite mal connue (lancement, manœuvre)
• Mesures de distance
• Mesure du temps de propagation aller-retour d’un signal
• Laser : cm, radar : m, par tons (réseau 2 Ghz) 15 m
• Tous types d’orbites, en particulier géostationnaire
• Mesures Doppler
• Modification de la fréquence reçue d’un mobile (vitesse radiale)
• DORIS : 0,3 mm/s, réseau 2 Ghz : 2 cm/s
• Orbites défilantes
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55/78

56/78

Traces d’orbites
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Traces au sol
Définition : lieu des points survolés
Le mouvement apparent est la combinaison
• Du mouvement de satellite sur son orbite
• Du mouvement de rotation de la terre
Le calcul de la trace au sol est nécessaire pour la communication
avec le satellite depuis la terre :
• Télémesures envoyés vers le satellites à partir des stations sols
• Zone de réception des signaux Satellites par les usagers (Eg:
Telecom) ou zone observée (Observation de la terre)
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Traces au sol
En terre fixe, la trace serait un grand cercle
Terre
X
Z
Y
59/78

Traces au sol
En terre fixe, la trace serait un grand cercle
Terre
X
Z
Y
60/78

Traces au sol
En terre fixe, la trace serait un grand cercle
Terre
X
Z
Y
61/78

Traces au sol
En terre fixe, la trace serait un grand cercle
Terre
X
Z
Y
62/78

Traces au sol
La terre tourne !
X
t
t0
Terre
Z
0
Y
63/78

Traces au sol
La terre tourne !
X
t t0
Terre
Z
t
Y
0 w
t
Terre
64/78

Traces au sol
La terre tourne !
X
t t0
Terre
Z
t
Y
0 w
t
Terre
65/78

Traces au sol
La terre tourne !
X
t
t
0
Terre
Tsatellite
Z
2
0
Y
w
Terre
T
satellite
2
66/78

Traces au sol
La terre tourne !
X
t t0
Z
Terre
t
Y
0 w
t
Terre
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Traces au sol
La terre tourne !
Le mouvement apparent est la combinaison
> Du mouvement de satellite sur son orbite
> Du mouvement de rotation de la terre
X
t t0
Z
Terre
Tsatellite
Y
w
0
Terre satellite T .
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Exemple 1 de trace au sol
69/78

Exemple 1 de trace au sol
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Exemple 2 de trace au sol : Orbite Molnya
Orbite très excentrée et inclinée
Période ~12h
Optimisation visibilité sur Ex URSS
(plusieurs heures) :
Apogée sur Ex URSS
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Exemple 2 de trace au sol : Orbite Molnya
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Exemple 3 de traces au sol: Satellite géosynchrone excentrique
Orbite très excentrée et inclinée
Période 24h
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Exemple 3 de traces au sol: Satellite géosynchrone excentrique
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Exemple 4 de traces au sol : Satellite GPS
Période de 12 h
Inclinaison 55°
Trajectoire ~circulaire
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Exemple 4 de traces au sol : Satellite GPS
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Exemple 5 de traces au sol:
Analyse de la mission EXOSAT
Orbite scientifique
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Exemple 5 de traces au sol: Analyse de la mission EXOSAT
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