Cours mathématiques première période - W ebtice

COURS PCSI, Partie introductive Lycée L.G. Damas 

Stéphane Kirsch 

2012-2013

Table des matières 

1 Nombres complexes et géométrie 7 

1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.1 introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.2 Partie réelle, partie imaginaire, conjugaison, module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.3 Module d’un nombre complexe, calcul de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.4 Interprétation géométrique de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.5 Norme, distance, inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.6 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.6.a Le groupe U des nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.6.b Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

1.6.c Le morphisme θ ↦→ e iθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

1.6.d manipulation d’expressions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

1.6.e Argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.7 Exponentielle dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.8 Résolution d’équations du second degré et racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.8.a Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.8.b Équation du second degré dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

1.9 Racines nièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.9.a Racine nième de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.9.b Racine nième d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

1.10 Nombres complexes et géométrie du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

1.10.a angles et distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

1.10.b colinéarité/orthogonalité de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

1.10.c Similitudes directes de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

2 Géométrie élémentaire du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.1 Mode de repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.1.a Bases du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.1.b modes de repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

2.1.c Changement de repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

2.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

2.3 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

2.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

2.4.a Représentation paramétrique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

2.4.b Équation cartésienne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

2.4.c Orthogonalité et équation normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

2.4.d Équation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

2.4.e Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

2.5 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3 Géométrie élémentaire de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.1 Mode de repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.1.a base de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.1.b Modes de repérages dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

3.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

3.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

3.5 Plans de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

3.5.a Équation d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

3.5.b Équation de droite de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

3.6 Distance à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

3.6.a Perpendiculaire commune à deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

3.6.b Distance à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

3

4 TABLE DES MATIÈRES 

3.7 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

2 Fonctions usuelles 49 

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

2 Fonctions trigonométiques circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

2.1 Sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

2.2 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 

2.3 Arcsinus, Arcosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

2.4 Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

3 Fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

3.1 Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

3.2 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

3.3 Logarithme et exponentielle en base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

3.3.a Logarithme en base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

3.3.b exponentielle en base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

3.4 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

3.4.a Racine nième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

3.4.b Puissance d’exposant rationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

3.4.c Fonction puissance d’exposant réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

3.4.d Croissance comparée avec ln et exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

3.4.e Fonction x ↦→ u(x) v(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

4 Fonctions trigonométriques hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

4.1 Cosinus et sinus hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

4.2 Tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

4.3 Argument cosinus/sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

4.4 Argument tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

5 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

5.1 Dérivée d’une fonction à valeurs dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

5.2 Dérivée de t ↦→ e φ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

3 Équations différentielles 71 

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

2 Équation différentielle linéaire d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

2.1 Équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

2.2 Équation avec second membre : (E) y ′ + ay = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

3 EDO d’ordre 2 à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

3.1 Équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

3.2 Équation avec second membre de la forme P (x)e mx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

4 Courbes paramétrées - Coniques 79 

1 Courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

1.1 Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

1.2 Arc paramétré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

1.3 Étude locale en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

1.3.a Tangente en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

1.3.b Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

1.4 Étude globale d’une courbe paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

1.4.a Réduction du domaine d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

1.4.b Variations et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

1.4.c Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

1.4.d Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

1.4.e Points multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

1.4.f Exemples pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

1.5 Étude d’une courbe en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 

1.5.a Réduction du domaine d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 

1.5.b Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 

1.5.c Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

1.5.d Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

1.5.e Points multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

1.5.f Exemples concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

2 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

2.1 Définition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

2.1.a Parabole (e = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

TABLE DES MATIÈRES 5 

2.1.b Ellipse (e < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

2.1.c Hyperbole (e > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

2.2 Paramétrage en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

2.3 Équation d’une courbe du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1 

Nombres complexes et géométrie 

1 Nombres complexes 

1.1 introduction 

Rappel : Les ensembles de nombres 

– L’ensemble des entiers naturels N = {0, 1, 2, 3, ...}. 

– L’ensemble des entiers relatifs Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}. 

p 

– L’ensemble des nombres rationnels Q = ; p ∈ Z, q ∈ N . 

q 

– L’ensemble des nombres réels R. 

Définition 1.1 Groupe 

(G, ∗) est un groupe si les propriétés suivantes sont vérifiées : 

– G est un ensemble 

– ∗ est une loi de composition interne, c’est-à-dire une application de 

G × G −→ G. 

Par exemple l’addition, la multiplication, la composition d’applications, le produit vectoriel dans R 3 ,... 

– ∗ est associative, c’est-à-dire : 

∀(x, y, z) ∈ G 3 , (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) 

– il existe un élément neutre e pour la l.c.i., c’est-à-dire un élément e ∈ G qui vérifie e ∗ g = g ∗ e = g pour 

tout élément g de G. 

– chaque élément g ∈ G admet un symétrique, c’est-à-dire un élément h ∈ G tel que g ∗ h = e et e = h ∗ g. 

– Si de plus la l.c.i. est commutative dans G (i.e. g ∗ h = h ∗ g pour tout (g, h) ∈ G 2 ) on dit que (G, ∗) est un 

groupe commutatif ou encore groupe abelien. 

Exemple 1.1 

(Z, +), (Q, +), (Q\{0}, ×), (Q +∗ , ×), (R, +), (R ∗ , ×), (R +∗ , ×) sont des groupes commutatifs. 

Lorsque qu’il n’y a pas de confusion possible sur la l.c.i. on peut noter abusivement G le groupe (G, ∗). 

Définition 1.2 Corps 

(K, +, ×) est un corps si 

– (K, +) est un groupe abelien/commutatif 

– (K\{0}, ×) est un groupe, où 0 est l’élément neutre de (K, +). 

– × est distributive par rapport à +, i.e. pour tout (a, b, c) ∈ K 3 , 

a × (b + c) = a × b + a × c. 

(b + c) × a = b × a + c × a 

– Si de plus la loi × est commutative, (K, +, ×) est un corps commutatif. 

7

8 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE 

Exemple 1.2 

Q, R sont des corps (commutatifs), N, Z n’en sont pas. 

Définition 1.3 

On définit par C l’ensemble des nombres s’écrivant de manière unique sous la forme a + ib où a, b sont des 

nombres réels et i vérifie i 2 = −1. 

Proposition 1.1 

(C, +, ×) est un corps commutatif. 

1.2 Partie réelle, partie imaginaire, conjugaison, module 

Définition 1.4 Partie réelle/imaginaire 

Si z est un nombre complexe, il existe un unique couple de réels (x, y) tel que z = x + iy. Les réels x et y sont 

appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de z et sont notés : 

x = Re(z) y = Im(z). 

Remarque 1.1 

– L’écriture z = x + iy est appelée la forme algébrique de z. 

– Un nombre complexe z peut toujours s’écrire 

z = Re(z) + iIm(z). 

– Si Im(z) = 0 alors z est réel. Si Re(z) = 0 on dit que z est imaginaire pur. 

Remarque 1.2 

Si on écrit z = a + ib avec a et b complexes, on n’a pas 

Ces égalités ne sont vraies que si a et b sont réels. 

Exemple 1.3 

Re(z) = a , Im(z) = b. 

Soient z1 = 2 − 3i, z2 = 6i + 8, donner les parties réelles et imaginaires de z1et z2. 

Proposition 1.2 Calculs dans C 

Si z1 = a + ib et z2 = c + id, avec a, b, c, d réels, alors on calcule z1 + z2 et z1 × z2 de la façon suivante : 

– Pour faire la somme on ajoute les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles : 

z1 + z2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). 

– Pour faire le produit on développe et on utilise l’identité i 2 = −1 : 

z1 × z2 = (a + ib)(c + id) 

= a × c + ia × d + ib × c + i 2 b × d 

= ac + iad + ibc − bd 

= (ac − bd) + i(ad + bc)

1. NOMBRES COMPLEXES 9 

Exemple 1.4 

Soient z1 = 2 − 5i , z2 = −2 + 3i, calculer z1 + z2 et z1 × z2. 


∀(z1, z2) ∈ C 2 : 

Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2) , Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2). 

∀λ ∈ R, z ∈ C, Re(λz) = λRe(z), et Im(λz) = λIm(z). 

Remarque 1.3 

La deuxième identité est fausse dans le cas où λ est complexe non réel. 

Les applications Re et Im sont des applications dites R-linéaires. 

Définition 1.5 Conjugé d’un complexe 

Soit z = a + ib un nombre complexe sous forme algébrique (a et b sont réels), on appelle comjugué de z, que 

l’on note z le nombre a − ib. 

Proposition 1.4 Propriétés de la conjugaison 

La conjugaison, i.e. l’application 

vérifie les propriétés suivantes 

Corollaire 1.1 

Preuve : Par récurrence sur n. 

c : C −→ C 

z ↦−→ z, 

∀(z1, z2) ∈ C 2 , z1 + z2 = z1 + z2 

∀(z1, z2) ∈ C 2 , z1 × z2 = z1 × z2. 

n 

k=1 

n 

k=1 

∀z ∈ C, z = z. 

zk = 

zk = 

Proposition 1.5 Lien avec partie réelle et imaginaire 

Soit z ∈ C, 

On en déduit les expressions suivantes : 

n 

k=1 

n 

k=1 

zk 

zk 

z + z = 2Re(z) 

z − z = 2iIm(z). 

Re(z) = 

Im(z) = 

z + z 

2 

z − z 

. 

2i


Théorème 1.1 

– Pour que z ∈ C soit réel, il faut et il suffit que z = z. 

– Pour que z ∈ C soit imaginaire pur, il faut et il suffit que z = −z. 

1.3 Module d’un nombre complexe, calcul de l’inverse 

Définition 1.6 Module 

Soit z ∈ C, on appelle module de z, que l’on note |z| le nombre défini par 

Remarque 1.4 

|z| = √ zz. 

– Soit z ∈ C écrit sous forme algébrique z = a + ib avec (a, b) ∈ R 2 , alors 

|z| est toujours bien défini et est positif ou nul. 

– Si z ∈ R, on a alors z = a, a ∈ R et donc 

zz = (a + ib)(a − ib) = a 2 − (ib) 2 = a 2 + b 2 ≥ 0. 

|z| = √ zz = √ a 2 = |a|. 

Le module coïncide donc avec la valeur absolue lorsque z est réel. 

Proposition 1.6 Propriétés du module 

1. ∀z ∈ C, Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z| , Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|. 

2. ∀z ∈ C, |z| ≥ 0 avec égalité si et seulement si z = 0. 

3. ∀(z1, z2) ∈ C 2 , |z1z2| = |z1||z2|. 

4. ∀z ∈ C, |z| = |z|. 

Proposition 1.7 Calcul de la forme algébrique de 1 

z 

Soit z ∈ C∗ , pour obtenir la forme algébrique de 1 

z , il suffit de multiplier par z le numérateur et le dénominateur 

de 1 

z . On a alors 

1 z z 

= = . 

z zz |z| 2 

En conséquence : 

Exemple 1.5 

Re 

Calculer la forme algébrique de 1 

i , 1 1 

3+2i , 2−i . 

 

1 

= 

z 

Re(z) 

|z| 2 , Im 

 

1 

z 

= −Im(z) 

|z| 2 . 

Remarque 1.5 

Pour calculer un rapport z1 

, on multiplie également le numérateur et le dénominateur par le conjugué du 

z2 

dénominateur : 

z1 

z2 

= z1z2 

|z2| 2


Exemple 1.6 

Calculer la forme algébrique de 3−i 

6−4i et 2i 

8+3i . 


∀(z1, z2) ∈ C × C ∗ : 

z1 

1.4 Interprétation géométrique de C 

z2 

 

= z1 

z2 

, 

 

 

 

 

z1 

z2 

 

 

 

 

= |z1| 

|z2| . 

Un nombre complexe z est uniquement déterminé par sa partie réelle x = Re(z) et sa partie imaginaire y = Im(z). 

Il est donc naturel d’interpréter z comme un point du plan, de coordonnées (x, y), à condition que l’on ait fixé un 

repère. 

y = Im(z) 

−→ j 

O 

−→ i 

•M(x, 

y) 

x = Re(z) 

Dans tout le chapitre, on considère le plan P muni d’un repère orthonormé R = (O, −→ i , −→ j ). 

Définition 1.7 Image/affixe 

Le plan P étant muni d’un repère orthonormé R = (O, −→ i , −→ j ) 

– On appelle image du nombre complexe z = x + iy (où x et y sont réels) le point M de coordonnées (x, y) 

dans R. 

– On appelle affixe d’un point M de coordonnées (x, y) dans R le nombre complexe z = x + iy. 

– On appelle affixe d’un vecteur α −→ i + β −→ j le nombre complexe z = α + iβ. 

On identifie ainsi P à C en associant au point M de coordonnées (x, y) son affixe x + iy. 


– Soient −→ v , −→ w deux vecteurs du plan, muni du repère orthonormé R = (O, −→ i , −→ j ), et soient z−→ v et z−→ w leur 

affixe respectif. Soit z−→ v + −→ w l’affixe de −→ v + −→ w , alors 

– 

z−→ v + −→ w = z−→ v + z−→ w . 

De même, si A, B, C sont trois points du plan, on aura 

z−→ 

AC = z −→ 

AB + z −→ 

BC . (Relation de Chasles). 

z −→ 

AB = zB − zA ( car zB = z −→ 

OB et zA = z −→ 

OA ). 

Remarque 1.6 

Il ne faut pas que la notion d’affixe fasse confondre points et vecteurs. On peut additionner des vecteurs, mais 

pas des points du plan.


1.5 Norme, distance, inégalité triangulaire 

En identifiant C au plan P muni d’un repère R, le module |z| d’un nombre complexe z est la norme du vecteur 

dont z est l’affixe. 


– La norme d’un vecteur d’affixe z et |z|. 

– La distance entre deux points d’affixes z1 et z2 est |z2 − z1| = |z1 − z2|. 

Si A est un point du plan, a son affixe, on sait que le cercle C de centre A et de rayon r ≥ 0 est l’ensemble des points 

M tels que AM = r. 

Les points M sur C ont donc pour affixe les complexes z vérifiant 

|z − a| = r. 

Le disque fermé de centre A et de rayon r, quant à lui est l’ensemble des points M vérifiant 

Les affixes de ces points M vérifient donc |z − a| ≤ r. 

AM ≤ r. 

Définition 1.8 Disque ouvert/fermé 

Soit a ∈ C, r > 0. 

– On appelle disque ouvert de centre a et de rayon r l’ensemble des nombres complexes vérifiant |z − a| < r : 

{z ∈ C; |z − a| < r} . 

– On appelle disque fermé de centre a et de rayon r l’ensemble des nombres complexes vérifiant |z − a| ≤ r. 

Proposition 1.10 Inégalité triangulaire 

Soient (z1, z2) ∈ C 2 , alors : 

{z ∈ C; |z − a| ≤ r} . 

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (1.1) 

||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2| (1.2) 

Géométriquement, si z1 est l’affixe de −→ 

AB et z2 est l’affixe de −→ 

BC, cela donne 

A 

AC ≤ AB + BC. 

On a égalité dans (1.1) si et seulement si z1 et z2 sont positivement colinéaires, i.e. ∃λ ∈ R + tel que z1 = λz2 

ou z2 = λz1. 

1.6 Argument d’un nombre complexe 

1.6.a Le groupe U des nombres complexes de module 1 

Puisque (C, +, ×) est un corps commutatif, par définition on sait que (C ∗ , ×) est un groupe commutatif. 


On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1, c’est-à-dire : 

B 

U = {z ∈ C; |z| = 1} . 

C



(U, ×) a une structure de groupe commutatif héritée de celle de (C ∗ , ×). En effet 

– 1 ∈ U 

– (z1, z2) ∈ U 2 ⇒ z1z2 ∈ U car |z1z2| = |z1||z2|. 

– Si z ∈ U alors z −1 = z ∈ U. 

1.6.b Cercle trigonométrique 

Définition 1.10 Cercle trigonométrique 

Dans le plan P muni d’un repère orthonormé R = (O, −→ i , −→ j ), on appelle cercle trigonométrique le cercle C de 

centre O et de rayon 1. C’est l’image de l’ensemble U des nombres complexes de module 1. 

−→ j 

O 

−→ i 

θ 

M(x, y) 

Si R est un repère orthonormé direct (c’est-à-dire que l’on se donne un sens de rotation) on sait que tout point M 

sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées (cos θ, sin θ), où θ est une mesure de l’angle orienté 

( −→ i , −−→ 

OM). 

Cet angle va nous permettre d’écrire les éléments de U sous forme exponentielle. 

1.6.c Le morphisme θ ↦→ e iθ 

Soit z = a + ib ∈ U, avec (a, b) ∈ R 2 . Puisque a 2 + b 2 = 1, il existe θ ∈ R tel que 

Donc z = cos θ + i sin θ. On note alors 

Remarque 1.7 

a = cos θ 

b = sin θ 

z = e iθ = cos θ + i sin θ. 

– Lorsque θ = 0, on retrouve e i0 = cos 0 + i sin 0 = 1 + 0i = 1 = e 0 . 

– On vérifie qu’avec cette définition on a bien 

En effet 

e i(θ1+θ2) = e iθ1 e iθ2 . 

e i(θ1+θ2) = cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2) 

= cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 + i (sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1) 

= (cos θ1 + i sin θ1) (cos θ2 + i sin θ2) 

= e iθ1 e iθ2 .


Définition 1.11 Morphisme 

Soient (G, ⋆) et (H, ×) 2 groupes. On dit que φ : G −→ H est un morphisme de groupe si ∀(g, h) ∈ G 2 on a 


L’application 

φ(g ⋆ h) = φ(g) × φ(h). 

f : R −→ U 

θ ↦−→ e iθ 

est un morphisme du groupe (R, +) dans le groupe (U, ×). 


Soit (a, b, c) ∈ R × R × R ∗ . On dit que a est congru à b modulo c, que l’on note 

s’il existe d ∈ Z tel que a − b = cd. 


Soit (θ1, θ2) ∈ R 2 , alors 

Proposition 1.14 Formules d’Euler 

a ≡ b [c] 

e iθ1 = e iθ2 ⇔ θ1 ≡ θ2 [2π] 

∀θ ∈ R, cos θ = eiθ + e −iθ 

Proposition 1.15 Formule de Moivre 

2 

, sin θ = eiθ − e −iθ 

∀n ∈ Z, ∀θ ∈ R, (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ. 

Preuve : Par récurrence pour n ≥ 0 ; 

pour n < 0 remarquer que (cos θ + i sin θ) −1 = cos θ − i sin θ et se ramener au cas n ≥ 0. 

Remarque 1.8 

Sous forme exponentielle la formule de Moivre s’écrit : 

e iθn = e inθ , 

ce qui justifie une fois de plus la notation exponentielle. 

1.6.d manipulation d’expressions trigonométriques 

On peut être amené à vouloir transformer une expression trigonométrique, par exemple pour calculer une intégrale. 

linéarisation : 

Comment passer d’une expression telle que cosn θ ou sin n θ à une expression ne contenant que des cosinus ou des 

sinus à la puissance 1 ? Cela s’appelle la linéarisation et s’effectue à l’aide des formule d’Euler. Par exemple pour cosn θ 

on écrit 

cos n n 

iθ −iθ e + e 

θ = 

2 

puis on développe le second membre de cette égalité à l’aide de la formule du binôme de Newton. On regroupe enfin les 

termes pour faire apparaître des cosinus et des sinus. 

2i 

.


Exemple 1.7 Linéarisation de cos 5 θ et sin 4 θ 

cos 5 θ = 

e iθ + e −iθ 

2 

5 

= e5iθ + 5e 3iθ + 10e iθ + 10e −iθ + 5e −3iθ + e −5iθ 

25 = 1 

 

5iθ −5iθ e + e 

+ 

16 2 

5 

 


+ 

16 2 

5 

 

iθ −iθ e + e 

8 2 

= cos 5θ 5 cos 3θ 5 cos θ 

+ + 

16 16 8 

sin 4 θ = 

e 4iθ − e −4iθ 

2i 

4 

= e4iθ − 4e 2iθ + 6 − 4e −2iθ + e −iθ 

16 

= 1 

 


− 

8 2 

1 

 


+ 

2 2 

3 

8 

= cos 4θ cos 2θ 3 

− + 

8 2 8 . 

Développement de cos nθ ou sin nθ en puissance de sin et cos : 

On cherche à faire ici l’opération inverse de la linéarisation. Pour cela on utilise la formule de Moivre que l’on 

développe à l’aide de la formule du binôme de Newton en écrivant 

Exemple 1.8 Calcul de cos 4θ et sin 3θ 

cos 4θ = Re (cos θ + i sin θ) 4 

cos nθ = Re ((cos θ + i sin θ) n ) 

sin nθ = Im ((cos θ + i sin θ) n ) 

= Re(cos 4 θ + 4i cos 3 θ sin θ − 6 cos 2 θ sin 2 θ − 4i cos θ sin 3 θ + sin 4 θ) 

= cos 4 θ − 6 cos 2 sin 2 θ + sin 4 θ. 

sin 3θ = Im (cos θ + i sin θ) 3 

= Im(cos 3 θ + 3i cos 2 θ − 3 cos θ sin 2 θ − i sin 3 θ) 

= 3 cos 2 θ sin θ − sin 3 θ 

On peut par la suite utiliser l’identité cos 2 θ + sin 2 θ = 1 pour exprimer tout en fonction de cos θ uniquement ou 

sin θ uniquement, ce qui donne ici 

cos 4θ = 8 cos 4 θ − 8 cos 2 θ + 1 , sin 3θ = −4 sin 3 θ + 3 sin θ.


1.6.e Argument d’un nombre complexe non nul 

Définition 1.13 Argument 

est bien défini et appartient à U, donc il existe θ ∈ R tel que 

Soit z ∈ C ∗ , alors z 

|z| 

z 

|z| = eiθ . 

– θ est appelé un argument de z. 

– L’argument principal de z ∈ C ∗ est l’unique réel θ0 ∈] − π, π] tel que 

On le note Arg(z). 

z 

|z| = eiθ0 . 

Soit z ∈ C ∗ , r = |z|, et θ un argument de z, l’écritue z = re iθ est appelée écriture polaire/exponentielle/trigonométrique 

de z. 

Relation entre forme algébrique et forme exponentielle : 

x = r cos θ 

y = r sin θ 


z = x + iy = re iθ , (x, y) ∈ R 2 , r > 0, θ ∈ R 

r = 

x 2 + y 2 

x 

θ tel que cos θ = √ 

x2 +y2 et sin θ = 

Soient z1 = r1e iθ1 et z2 = r2e iθ2 deux nombres complexes non nuls sous forme polaire, alors 

z1z2 = r1r1e i(θ1+θ2) 

z1 

= 

z2 

r1 

e 

r2 

i(θ1−θ2) 

√ y 

x2 +y2 On voit donc ici que la forme polaire est bien adaptée pour la multiplication et la division alors que la forme algébrique 

est mieux adaptée pour l’addition et la soustraction. 


Soient z1et z2 deux nombres complexes non nuls, alors 

1.7 Exponentielle dans C 

Arg(z1z2) ≡ Arg(z1) + Arg(z2) [2π] 

 

z1 

Arg ≡ Arg(z1) − Arg(z2) [2π]. 

z2 

Définition 1.14 Exponentielle complexe 

Soit z ∈ C, écrit sous forme algébrique z = x + iy avec (x, y) ∈ R 2 . On définit alors l’exponentielle de z par 

e z = e x × e iy = e x (cos y + i sin y). 

Remarque 1.9 

Cette définition coïncide avec les définitions que l’on connait déjà lorsque z ∈ R et lorsque z ∈ iR. 

On a les propriétés suivantes pour l’exponentielle complexe :



1. |e z | = e Re(z) 

2. Arg(e z ) ≡ Im(z) [2π] 

3. ez+z′ = ezez′ 4. e −z = (e z ) −1 


L’application 

exp : C ↦−→ C ∗ 

est un morphisme du groupe (C, +) dans le groupe (C ∗ , ×). 

Remarque 1.10 

Il est impossible de définir une fonction réciproque de type logarithme à la fonction exp de C ∗ −→ C qui vérifie 

ln(z1z2) = ln(z1) + ln(z2). 

1.8 Résolution d’équations du second degré et racines carrées 

1.8.a Racines carrées 


Soit a ∈ C ∗ , l’équation z 2 = a, d’inconnue complexe z a exactement 2 solutions opposées. 

Définition 1.15 Racine carrée d’une complexe 

Soit a ∈ C ∗ , on appelle racine carrée de a tout nombre complexe z non nul vérifiant z 2 = a. 


Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées opposées distinctes. 0 est le seul 

nombre complexe à n’avoir qu’une seule racine carrée. 

Exemple 1.9 

– 1 a pour racines carrées 1 et -1. 

– -1 a pour racines carrées i et -i. 

– -2 a pour racines carrées i √ 2 et -i √ 2. 

Remarque 1.11 

La notation √ a n’a de sens que si a ∈ R +∗ . On appelle alors √ a La racine carrée de a qui est la solution 

positive de z 2 = a. 

Calcul pratique des racines carrées d’un nombre complexe : 

Soit z = a + ib un nombre complexe écrit sous forme algébrique, donc (a, b) ∈ R 2 . Soit z ′ = x + iy une racine carrée 

de z, alors z ′2 = z et donc 

x 2 − y 2 + 2ixy = a + ib. 

En identifiant partie réelle et partie imaginaire on obtient le système suivant : 

x 2 − y 2 = a 

2xy = b


Ce système suffit à trouver x et y, mais pour faciliter la résolution, on utilise l’égalité des modules de z et z ′2 , ce qui 

donne 

|z ′ | 2 = |z| ⇔ x 2 + y 2 = a 2 + b 2 . 

On obtient donc le système 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x 2 + y 2 = √ a 2 + b 2 

x 2 − y 2 = a 

2xy = b 

Les deux premières équations permettent de déterminer x 2 et y 2 et la dernière équation donne le signe de xy ce qui 

donne bien deux solutions au final. 

1.8.b Équation du second degré dans C 

Soit l’équation (E) az 2 + bz + c = 0 avec a ∈ C ∗ et (b, c) ∈ C 2 , d’inconnue z ∈ C. Pour résoudre cette équation, on 

met sous forme canonique le trinôme : 

az 2 

+ bz + c = a z 2 + b 

a 

= a z + b 

= a 

 

c 

z + 

a 

2a 

 

z + b 

2a 

2 

2 

− b2 c 

+ 

4a2 a 

− b2 − 4ac 

4a 2 

On note ∆ = b 2 − 4ac le discriminant du trinôme. (E) est alors équivalente à 

 

z + b 

2 2a 

– premier cas : ∆ = 0, l’ensemble des solutions S vaut 

S = 

− ∆ 

= 0. 

4a2 

− b 

 

. 

2a 

– deuxiéme cas : ∆ = 0, ∆ admet alors une racine carrée non nulle δ. (E) est alors équivalente à 

Donc l’ensemble S des solutions vaut 


 

z + 

 

z + b 

b + δ 

2a 

2a 

2 

 

z + 

 

−b − δ 

S = , 

2a 

−b + δ 

2 δ 

− 

2a 

b − δ 

2a 

 

 

. 

2a 

= 0 

= 0 

Toute équation du second degré dans C a deux solutions, éventuellement confondues (racine double). 

(E) : az 2 + bz + c = 0 

Les solutions sont z1 = −b−δ 

2a 

z2 = −b+δ 

2a 

où δ est une racine carrée de ∆ = b 2 − 4ac. 

Cas particulier : (a, b, c) ∈ R∗ × R × R. Le discrimant ∆ = b2 − 4ac est ici réel et a donc un signe. On a alors 3 cas : 

√ 

−b− ∆ 

1. ∆ > 0, auquel cas il y a deux racines réelles : S = 2a , −b+√ 

∆ 

2a . 

2. ∆ = 0, auquel cas il y a une racine double : S = − b 

2a 

3. ∆ < 0, auquel cas il y a deux racines complexes conjuguées : 

S = 

. 

−b−i √ −∆ 

2a 

, −b+i√ −∆ 

2a 

.


Somme et produit des racines d’une équation du second degré : 

On considère l’équation (E) : az 2 + bz + c = 0, avec a ∈ C ∗ et (b, c) ∈ C 2 . La somme s des racines vaut alors 

s = z1 + z2 = − b 

a 

et le produit p des racines vaut 

p = z1z2 = − c 

a . 

Réciproquement, soient s et p deux nombres complexes donnés, existe-t-il (z1, z2) ∈ C2 tels que 

 

z1 + z2 = s 

z1z2 = p. 

La réponse est : oui 


Soit (s, p) ∈ C 2 , alors il existe un unique couple (z1, z2) ∈ C 2 , à permutation près, qui vérifie le système : 

z1 + z2 = s 

Il s’agit des deux racines du trinôme 

z1z2 = p. 

z 2 − sz + p. 

1.9 Racines nièmes d’un nombre complexe 

1.9.a Racine nième de l’unité 

Définition 1.16 Racine nième de l’unité 

Soit n ∈ N ∗ , on appelle racine nième de l’unité tout nombre complexe ω vérifiant 


Soit n ∈ N ∗ , alors 

ω n = 1. 

1. Il existe exactement n racines nièmes de l’unité distinctes. On note Un l’ensemble des racines nièmes de 

l’unité. 

2. (Un, ×) est un groupe commutatif (sous-groupe de U). 

Remarque 1.12 

Un = ω k ; 0 ≤ k ≤ n − 1 , 

pour un ω bien choisi. Par exemple ω = e 2iπ 

n . On a alors 

 

Un = e 2ikπ 

 

n ; 0 ≤ k ≤ n − 1 . 


Soit n ≥ 2. Si ω est racine nième de l’unité différente de 1, alors 


1 + ω + ω 2 + ... + ω n−1 = 0. 

Pour n ≥ 2, la somme des racines nièmes de l’unité est égale à 0.


Remarque 1.13 

Géométriquement, l’ensemble des racines nièmes de l’unité a pour image les sommets d’un polygone régulier 

inscrit dans le cercle trigonométrique. 

1.9.b Racine nième d’un nombre complexe non nul 

Définition 1.17 Racine nième 

Soit z ∈ C, r = |z| > 0 et θ un argument de z. On a alors 

z = re iθ . 

Montrons que z admet une racine nième. Soit u = r 1 θ 

n i e n , alors 

u n = r 1 n θ n 

n i 

e n 

= re iθ = z. 

Soit maintenant v une racine nième de z, alors vn = un et donc v 

u ∈ Un. 


Soit z ∈ C∗ , z admet exactement n racines nièmes distinctes. Si u est une de ces racines nièmes alors l’ensemble 

des racines nièmes de z est donné par 

{uω, ω ∈ Un} = 

Exemple 1.10 

– Racines nièmes de l’unité pour n=2,3,4. 

– Racines cubiques de 9. 

– Racines 4ièmes de -1. 

1.10 Nombres complexes et géométrie du plan 

 

r 1 

 

θ+2kπ 

n i 

e n , k ∈ {0, 1, 2, .., n − 1} . 

Les nombres complexes sont bien adaptés aux problèmes de géométrie plane impliquant les distances et les angles. 

1.10.a angles et distances 

Rappel : Si A et B sont deux points du plan, d’affixe respectif a et b alors 


AB = |b − a|. 

Soient −→ u et −→ v deux vecteurs du plan P, d’affixe respectif z−→ 

u et z−→ 

v , alors l’angle orienté ( −→ u , −→ v ) vérifie : 

( −→ u , −→ v ) ≡ 

 

z−→v 

Arg 

z−→ 

u 

[2π] 

≡ Arg(z−→ v ) − Arg(z−→ u ) [2π]


1.10.b colinéarité/orthogonalité de vecteurs 


Soient −→ u et −→ v deux vecteurs non nuls du plan, muni d’un repère orthonormé R, et z−→ u , z−→ v leur affixe respectif, 

alors 

– −→ u et −→ v sont colinéaires si et seulement si z−→ v ∈ R ⇔ z−→ 

z−→ v ¯z−→ 

u ∈ R, 

u 

– −→ u et −→ v sont orthogonaux si et seulement si z−→ v ∈ iR ⇔ z−→ 

z−→ v ¯z−→ 

u ∈ iR, 

u 


Soient A, B, M trois points distincts du plan P muni d’un repère orthonormé R, d’affixe respective a, b, z. Alors 

A, B, M sont alignés si et seulement si 

z − a 

∈ R. 

z − b 

1.10.c Similitudes directes de C 

Définition 1.18 Similitude directe 

On appelle similitude directe de C toute application définie par 

avec a ∈ C ∗ et b ∈ C. 


f : C −→ C 

z ↦−→ az + b, 

Soit S l’ensemble des similitudes directes de C, alors (S, ◦) est un groupe - non commtatif - appelé groupe des 

similitudes directes. 

Définition 1.19 Translation 

On appelle translation de C toute application de la forme 

f : C −→ C 

z ↦−→ z + b, 

où b ∈ C. Notons T l’ensemble des translations de C, alors (T , ◦) est un groupe commutatif. 

Interprétation géométrique de similitudes : 

– Translations (a = 1) : 

C −→ C 

z ↦−→ z ′ = z + b 

Soit M le point d’affixe z, M ′ le point d’affixe z ′ et −→ u le vecteur d’affixe b, alors 

z ′ = z + b ⇔ −−−→ 

MM ′ = −→ u 

et donc M ′ est l’image de M par la translation de vecteur −→ u . 

– a = 1. Dans ce cas, la similitude fa,b définie par 

fa,b : C −→ C 

z ↦−→ az + b 

admet un unique point fixe, c’est-à-dire un nombre complexe ω vérifiant fa,b(ω) = ω. On a ω = b 

1−a . 

Soit maintenant z ∈ C et z ′ = fa,b(z), on a alors 

z ′ = az + b 

ω = aω + b


Donc 

z ′ − ω = a(z − ω) (1.3) 

Soit M le point d’affixe z, Ω le point d’affixe ω et M ′ le point d’affixe z ′ . Soit α un argument de a,on a alors 

a = |a|eiα . (1.3) est alors équivalente à : 

 

′ |z − ω| = |a||z − ω| 

 

(i, −−→ 

ΩM ′ ) ≡ α + 

(i, −−→ 

ΩM) [2π] 

ce qui correspont géométriquement à 

 

ΩM ′ = |a|ΩM 

 

( −−→ 

ΩM, −−→ 

ΩM ′ ) ≡ α [2π] 

M ′ est donc l’image de M par une rotation de centre Ω et d’angle α, puis d’une homothétie de centre Ω et de 

rapport |a|. 

Application : Soient A, B, C trois points du plan muni d’un repère orthonormé R, d’affixe respectif a, b, c. Montrer 

que le triangle ABC est équilatéral si est seulement si 

où j = e 2iπ 

3 . 

a + bj + cj 2 = 0 ou a + bj 2 + cj = 0,

2. GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE DU PLAN 23 

2 Géométrie élémentaire du plan 

Dans toute cette partie, P désigne le plan affine euclidien (i.e. le plan muni d’un produit scalaire et par conséquent 

d’une distance). P est un ensemble de points, et l’introduction d’un repère orthonormé va permettre d’identifier P à 

R 2 ou C. 

Notation 2.1 

On note P le plan affine euclidien, et −→ P le plan vectoriel euclidien, c’est-à-dire l’ensemble des vecteurs du plan 

P. 


Soient −→ u et −→ v deux vecteurs de −→ P , on dit que −→ u et −→ v sont colinéaires, ou encore linéairement dépendants, s’il 

existe λ ∈ R tel que 

−→ u = λ −→ v ou −→ v = λ −→ u . 

On se donne une unité de mesure dans le plan, et on définit la norme d’un vecteur comme sa longueur dans 

cette unité. 

– On note −→ v la norme du vecteur −→ v . 

– Le vecteur −→ v est dit unitaire si −→ v = 1. 

– −→ u et −→ v sont dit orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. 

2.1 Mode de repérage 

2.1.a Bases du plan 


Si deux vecteurs −→ u et −→ v sont non colinéaires, ou encore linéairement indépendants, ( −→ u , −→ v ) est appelée base de 

−→ P . Tout vecteur de −→ P peut alors s’écrire de manière unique comme combinaison linéaire de −→ u et −→ v : 

∀ −→ x ∈ −→ P , ∃!(α, β) ∈ R 2 tel que −→ x = α −→ u + β −→ v . 

α et β sont alors appelées coordonnées de −→ x dans la base ( −→ u , −→ v ). 

La donnée d’une base ( −→ u , −→ v ) permet d’identifier −→ P à R 2 . 


Soit E un ensemble, on dit que (E, +, ·) est un R-espace vectoriel si E vérifie les propriétés suivantes : 

– (E, +) est un groupe commutatif (abélien). 

– La loi externe · : R × E −→ E vérifie les propriétés suivantes : 

1. Associativité : ∀(λ, µ) ∈ R 2 , ∀x ∈ E, λ · (µ · x) = (λµ) · x 

2. Distributivité : ∀λ ∈ R, ∀(x, y) ∈ E 2 , λ · (x + y) = λ · x + λ · y et 

∀(λ, µ) ∈ R 2 , ∀x ∈ E, (λ + µ) · x = λ · x + µ · x. 

3. Invariance par le neutre : ∀x ∈ E, 1R · x = x. 

Exemple 2.1 

R, C, R 2 sont des R-espaces vectoriels. 


−→ P est un R-espace vectoriel.



– Une base ( −→ u , −→ v ) est dite orthogonale si −→ u et −→ v sont orthogonaux. 

– Une base ( −→ u , −→ v ) est dite orthonormée si elle est orthogonale et −→ u et −→ v sont unitaires. 

Définition 2.5 Base directe/indirecte 

L’ensemble des bases orthonormées du plan se sépare en deux parties, dans lesquelles chaque base se déduit à 

partir d’une autre par rotation. On choisit arbitrairement un de ces deux ensembles et on dit que les bases qu’il 

contient sont orthonormées directes. Lorsqu’un tel choix a été fait, on dit que le plan est orienté. 

2.1.b modes de repérage dans le plan 

−→ v 

+ ou 

−→ u 

Soit ( −→ u , −→ v ) une base de −→ P . On fixe un point Ω ∈ P. Pour tout M ∈ P, le vecteur −−→ 

ΩM s’écrit de manière unique 

−−→ 

ΩM = x −→ u + y −→ v . 

La donnée d’un point Ω ∈ P et d’une base ( −→ u , −→ v ) de −→ P permet donc de repérer tout point M ∈ P par les coordonnées 

de −−→ 

ΩM dans la base ( −→ u , −→ v ). 

Coordonnées cartésiennes : 

Définition 2.6 Repère cartésien 

On appele repère cartésien de P tout triplet (Ω, −→ u , −→ v ) où Ω ∈ P et ( −→ u , −→ v ) est une base de −→ P . 

– Ω est appelé origine du repère (point de coordonnées (0,0)). 

– Les coordonnées (x, y) de −−→ 

ΩM dans la base ( −→ u , −→ v ) sont appelées coordonnées cartésiennes de M dans le 

repère (Ω, −→ u , −→ v ). 


– Un repère cartésien R = (Ω, −→ u , −→ v ) est orthonormé si ( −→ u , −→ v ) est une base orthonormée de −→ P . 

– Un repère cartésien R = (Ω, −→ u , −→ v ) est orthonormé direct si ( −→ u , −→ v ) est une base orthonormée directe de −→ P . 

Dans la suite, P sera muni d’un repère orthonormé R = (O, −→ i , −→ j ). Les coordonnées (x, y) d’un point M ∈ P seront 

exprimées dans ce repère. 

Coordonnées polaires : 

Notation 2.2 

Soit θ ∈ R, on note 

−→ u (θ) = cos θ −→ i + sin θ −→ j 

−→ v (θ) = − sin θ −→ i + cos θ −→ j . 

−→ u 

+ 

−→ v


−→ v (θ) 

−→ j 

O 

−→ u (θ) 

−→ i 

Remarque 2.1 

−→ u (θ) et −→ v (θ) sont orthogonaux et unitaires, donc ( −→ u (θ), −→ v (θ)) est une base orthonormée de −→ P . De plus, cette 

base se déduit de la base ( −→ i , −→ j ) par une rotation d’angle θ, il s’agit donc d’une base orthonormée directe. 

Définition 2.8 Repère polaire 

Pour tout θ ∈ R, le repère (O, −→ u (θ), −→ v (θ)) est appelé repère polaire. O est appelé pôle et la droite (O, −→ i ) (la 

droite passant par O et dirigée par −→ i ) l’axe polaire. 

On remarque qu’à tout couple (r, θ) ∈ R 2 , on peut faire correspondre le point M ∈ P tel que −−→ 

OM = −→ r (θ). 

Réciproquement, on a : 


Étant donné un point M ∈ P, tout couple (r, θ) ∈ R 2 tel que 

−−→ 

OM = r −→ u (θ) = r cos θ −→ i + r sin θ −→ j 

est appelé système de coordonnées polaires de M par rapport au repère R = (O, −→ i , −→ j ). 

Remarque 2.2 

– Contrairement aux coordonnées cartésiennes, il n’y a pas unicité. 

– Les affixes de −→ u (θ) et −→ v (θ) sont respectivement eiθ et ieiθ π iθ+ = e 2 . 


– Si M = O, les systèmes de coordonnées polaires de M sont tous les couples (0, θ), avec θ ∈ R. 

– Si M = 0, et si z désigne l’affixe de M, (r, θ) est un système de coordonnées polaires de M si et seulement si : 

r = |z| et Arg(z) ≡ θ [2π] 

r = −|z| et Arg(z) ≡ θ + π [2π] 

– Tout point M ∈ P\{0} admet un unique système de coordonnées polaires 

Changement de coordonnées : 

(r, θ) ∈ R +∗ ×] − π, π]. 

Le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes découle directement de la définition. Si (r, θ) est 

un système de coordonnées polaires de M, les coordonnées cartésiennes sont 

x = r cos θ 

θ 

x = r sin θ. 

Réciproquement, si M est un point du plan P de coordonnées cartésiennes (x, y), on obtient les coordonnées polaires 

par


– r = x 2 + y 2 , 

– Si r = 0 n’importe quel θ fait l’affaire, 

– Si r = 0, on trouve θ à l’aide de son sinus et de son cosinus : 

cos θ = 

2.1.c Changement de repère orthonormé 

x 

x 2 + y 2 

, sin θ = 

y 

x 2 + y 2 . 

Soit Ω de coordonnées (a, b) dans le repère orthonormé direct R = (O, −→ i , −→ j ). Un repère orthonormé direct R ′ de 

centre Ω pourra toujours s’écrire 

R ′ = (Ω, −→ u (θ), −→ v (θ)), θ ∈ R. 

Soit M ∈ P, de coordonnées (x, y) dans R, et (x ′ , y ′ ) dans R ′ . Comment passe-t-on des coordonnées (x, y) aux 

coordonnées (x ′ , y ′ ) et inversement ? 


Changement de repère orthonormé direct. Avec les notations précédentes, on obtient les formules de changement 

de repère suivantes : x = a + x ′ cos θ − y ′ sin θ 

2.2 Produit scalaire 

y = b + x ′ sin θ + y ′ cos θ 

x ′ = (x − a) cos θ + (y − b) sin θ 

y ′ = −(x − a) sin θ + (y − b) cos θ. 


Soient −→ u et −→ v deux vecteurs non nuls du plan. On note θ la mesure de l’angle non orienté formé par ces deux 

vecteurs. On appelle produit scalaire de −→ u et −→ v , noté −→ u · −→ v le réel défini par 

Remarque 2.3 

−→ u · −→ v = −→ u −→ v cos θ. 

– Si −→ u = −→ 0 ou −→ v = −→ 0 , bien que θ ne soit pas défini, on définit −→ u · −→ v par −→ u · −→ v = 0. 

– −→ u et −→ v sont orthogonaux si et seulement si −→ u · −→ v = 0. 

– ∀ −→ u ∈ P, 

−→ u · −→ u = −→ u 2 . 


Muni de la base orthonormée directe ( −→ i , −→ j ), le plan vectoriel −→ P se ramène alors à C. Soient deux vecteurs −→ u 

et −→ v d’affixe respective z−→ u et z−→ v , alors 

−→ u · −→ v = Re(z−→u z−→ v ). 

Proposition 2.6 Expression dans une base orthonormée 

On se munit de la base orthonormée usuelle ( −→ i , −→ j ). 

1. Soient −→ 

x1 

u et −→ 

x2 

v , alors on a 

y1 

y2 

−→ u · −→ v = x1x2 + y1y2. 

2. Les coordonnées d’un vecteur −→ u ∈ −→ P sont données par 

 

x = −→ u · −→ i (abscisse) 

y = −→ u · −→ j (ordonnée)


Remarque 2.4 

Ces formules ne sont valables que si ( −→ i , −→ j ) est une base orthonormée. 


Le produit scalaire dans −→ P est une application 

– bilinéaire, c’est-à-dire que ∀λ ∈ R et ∀( −→ u 1, −→ u 2, −→ v ) ∈ −→ P 3 on a 

et ∀λ ∈ R et ∀( −→ u , −→ v 1, −→ v 2) ∈ −→ P 3 on a 

– symétrique, c’est-à-dire que ∀( −→ u , −→ v ) ∈ −→ P 2 , on a 

– définie positive, c’est-à-dire que 

et 

(λ −→ u 1 + −→ u 2) · −→ v = λ( −→ u 1 · −→ v ) + −→ u 2 · −→ v 

−→ u · (λ −→ v 1 + −→ v 2) = λ( −→ u · −→ v 1) + −→ u · −→ v 2. 

−→ u · −→ v = −→ v · −→ u . 

∀ −→ u ∈ −→ P , −→ u · −→ u ≥ 0 (positif) 

∀ −→ u ∈ −→ P , −→ u · −→ u = 0 ⇔ −→ u = −→ 0 . (définie) 

Remarque 2.5 

De façon plus générale, on définit un produit scalaire sur un R-espace vectoriel E comme une application 

E × E −→ R qui est bilinéaire, symétrique et définie positive. Nous verrons dans un chapitre plus tard dans le 

cours. 

Exemple 2.2 

E = C([0, 1]) et < f, g >= 1 

0 fg. 


Soit −→ u et −→ v deux vecteurs du plan formant un angle non orienté de mesure θ, alors : 

Preuve : On développe ( −→ u + −→ v ) · ( −→ u + −→ v ). 

Remarque 2.6 

−→ u + −→ v 2 = −→ u 2 + −→ v 2 + 2 −→ u −→ v cos θ. 

– Comme | cos θ| ≤ 1, on retrouve l’inégalité triangulaire. 

– Soient A, B, C trois points du plan, θ une mesure de l’angle non orienté BAC, on a alors : 

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB · AC · cos θ 

que l’on appelle formule de Pythagore généralisée ou formule d’Al-Kashi 

B 

A 

θ 

C


Proposition 2.9 Inégalité de Cauchy-Schwarz 

Soit ( −→ u , −→ v ) ∈ P 2 , alors on a l’inégalité suivante : 

Projection sur une droite : 


| −→ u · −→ v | ≤ −→ u −→ v . 

Soit D une droite de P. Un vecteur −→ u ∈ −→ P est dit directeur de la droite D s’il existe (A, B) ∈ D 2 tel que 

−→ 

AB = −→ u . 

– La direction de D est alors l’ensemble des vecteurs colinéaires à −→ u . 

– D a exactement deux vecteurs directeurs unitaires. Le choix d’un vecteur directeur unitaire définit une 

orientation de D. 

– Supposons D orientée par −→ u unitaire, on appelle mesure algébrique AB, où (A, B) ∈ D 2 l’unique réel λ tel 

que 


−→ 

AB = λ −→ u . 

Soit D une droite de P, alors ∀A ∈ P\D, ∃!A ′ ∈ D tel que 

(AA ′ ) ⊥ D. 

– Ce point A ′ est appelé projeté orthogonal de A sur D. 

– C’est le point de D le plus proche de A. 

– La distance AA ′ est appelée distance de A à D et se note d(A, D). 


Soit D une droite de P, orientée par −→ u , avec −→ u = 1. Pour tout point A, B de P, de projetés orthogonaux 

respectifs A ′ et B ′ sur D, on a 

A ′ B ′ = −→ 

AB · −→ u . 

A 

B 

A ′ B ′ 

Cela permet d’interpréter le produit scalaire en terme de projection. 

2.3 Déterminant 

Étant donné un vecteur unitaire −→ u = α −→ i + β −→ v , le vecteur −β −→ i + α −→ j est un vecteur orthogonal à −→ u et les 

vecteurs orthogonaux à −→ u sont tous les λ −→ v , avec λ ∈ R. Il y a donc deux bases orthonormées de premier vecteur −→ u , 

i.e. : 


( −→ u , −→ v ) et ( −→ u , − −→ v ). 

Dans le plan −→ P , orienté par la base orthonormée ( −→ i , −→ j ), on dit qu’une base ( −→ u , −→ v ) est orthonormée directe 

si les vecteurs −→ u et −→ v sont de la forme 

−→ u = α −→ i + β −→ j et −→ v = −β −→ i + α −→ j , (α, β) ∈ R 2 , α 2 + β 2 = 1. 

−→ u


Remarque 2.7 

– Une base ( −→ u , −→ v ) est indirecte si on a : 

−→ −→ −→ 

u = α i + β j et 

−→ −→ −→ 

v = β i − α j . 

– Si −→ u = 0, on dit que −→ v = 0 est directement orthogonal à −→ −→u 

u si 

−→ u , 

−→ 

v 

−→ 

est une base orthonormée 

v 

directe. 


Si −→ u ∈ −→ P est une vecteur unitaire d’affixe z, le vecteur unitaire directement orthogonal à −→ u a pour affixe iz. 

Définition 2.12 Angle orienté 

Soient ( −→ u , −→ v ) deux vecteur unitaires. En notant −→ u ′ le vecteur unitaire directement orthogonal à −→ u , on appelle 

mesure de l’angle orienté des vecteurs ( −→ u , −→ v ) tout réel θ tel que 

On note alors 

Remarque 2.8 

−→ v = cos θ −→ u + sin θ −→ u ′ 

−→ u ′ 

−→ v 

−→ u 

θ 

 

( −→ u , −→ v ) ≡ θ [2π]. 

– Si −→ v = x −→ u + y −→ u ′ , alors x 2 + y 2 = 1, et le nombre complexe z = x + iy est de module 1. Les réels θ vérifiant 

la propriété précédente sont donc les arguments de z. 

– Cela justifie l’existence et l’unicité modulo 2π de la mesure de l’angle des vecteurs −→ u et −→ v . 

– Lorsque −→ u et −→ v sont unitaires, on a 

−→ u · −→ v = cos 

( −→ u , −→ v ). 

Définition 2.13 Mesure d’un angle orienté 

Soit ( −→ u , −→ v ) ∈ −→ P 2 deux vecteurs non nuls. On appelle mesure de l’angle orienté des vecteurs ( −→ u , −→ v ) toute 

mesure θ de l’angle orienté 

−→u 

−→ u , 

−→ 

v 

−→ 

. 

v 

Remarque 2.9 

Si θ est une mesure de l’angle orienté 

( −→ u , −→ v ), alors |θ| est une mesure de l’angle non orienté. 


Deux vecteur −→ u et −→ v du plan sont colinéaires si 

 

( −→ u , −→ v ) ≡ 0 [π].


Définition 2.14 Déterminant 

Soient −→ u et −→ v deux vecteurs non nuls du plan. On note θ une mesure de l’angle orienté 

( −→ u , −→ v ). On appelle 

déterminant de −→ u et −→ v le réel, noté det( −→ u , −→ v ), défini par 

Si −→ u = −→ 0 ou −→ v = −→ 0 , on pose det( −→ u , −→ v ) = 0. 


det( −→ u , −→ v ) = −→ u −→ v sin θ. 

Deux vecteurs du plan −→ u et −→ v sont colinéaires si et seulement si det( −→ u , −→ v ) = 0. 


Trois points A, B, C du plan P sont alignés si et seulement si det( −→ 

AB, −→ 

AC) = 0. 

Remarque 2.10 

– Si −→ u ⊥ −→ v alors det( −→ u , −→ v ) = ± −→ u −→ v . 

– Si de plus, ( −→ u , −→ v ) est directe, alors det( −→ u , −→ v ) = −→ u −→ v . 

– Si au contraire, ( −→ u , −→ v ) est indirecte, alors det( −→ u , −→ v ) = − −→ u −→ v . 


Soit −→ u 1 et −→ u 2 deux vecteurs du plan, d’affixe respectif z1 et z2, alors 

det( −→ u 1, −→ u 2) = Im(z1z2) = −Im(z1z2). 

Proposition 2.16 Expression dans une base orthonormée directe 

On muni −→ P de la base orthonormée directe usuelle ( −→ i , −→ j ). On considère deux vecteurs −→ 

x 

u et 

y 

−→ 

′ x 

v 

y ′ 

 

. On 

a alors 


det( −→ u , −→ v ) = xy ′ − x ′ y. 

Le déterminant est une application bilinéaire et antisymétrique de −→ P × −→ P ↦−→ R. C’est d’ailleurs la seule 

application bilinéaire, antisymétrique de −→ P × −→ P −→ R qui vaut 1 sur les base orthonormées directes. 

Notation 2.3 

Le déterminant de deux vecteurs de coordonnées 


 

 

 

x1 x2 

y1 y2 

x1 

y1 

 

et 

x2 

y2 

 

se note 

 

 

 

= x1y2 − x2y1. 

Si θ est une mesure de l’angle orienté des vecteurs unitaires −→ u et −→ v , on a : 

cos θ = −→ u · −→ v et sin θ = det( −→ u , −→ v ).


Remarque 2.11 

– Pour tout couple ( −→ u , −→ v ) ∈ −→ P 2 , on a 

On retrouve alors l’inégalité de Cauchy-Schwarz. 

– L’aire d’un parallélogramme ABCD est donnée par 


( −→ u · −→ v ) 2 + det( −→ u , −→ v ) 2 = −→ u 2 −→ v 2 . 

| det( −→ 

AB, −→ 

AC)|. 

Relation de Chasles pour les angles orientés : Pour tous vecteurs non nuls du plan −→ u 1, −→ u 2, −→ u 3 : 

Exemple 2.3 

Soient A, B, C trois points distincts du plan, alors 

2.4 Droites du plan 

( −→ u 1, −→ u 2) + ( −→ u 2, −→ u 3) ≡ ( −→ u 1, −→ u 3) [2π]. 

 

( −→ −→ −→ −→ 

−→ 

−→ 

AB, AC) + ( BC, BA) + ( CA, CB) ≡ π [2π]. 

Définition 2.15 Vecteur normal 

Un vecteur non nul −→ v est dit orthogonal à une droite D s’il est orthogonal à tous ses vecteurs directeurs. −→ v est 

alors appelé vecteur normal à D. 

2.4.a Représentation paramétrique : 

La droite D passant par le point M(x0, y0) et de vecteur directeur −→ u (α, β) = −→ 0 est paramétrée par 

2.4.b Équation cartésienne : 


−→ v 

x = x0 + αt 

y = y0 + βt 

t ∈ R. 

– Toute droite D du plan a au moins une équation cartésienne (équation faisant intervenir les coordonnées 

cartésiennes) de la forme : 

ax + by + c = 0 avec (a, b) = (0, 0). 

– Deux équations représentent la même droite si et seulement si elle sont proportionnelles. 

– Réciproquement, toute équation de la forme ax + by + c = 0 représente une droite dont un des vecteurs 

directeurs est (−b, a), et donc orthogonale à (a, b). 

D


Remarque 2.12 

– Si b = 0, on peut écrire l’équation sous la forme 

y = mx + d. 

m et d sont alors uniques ; m est appelé coefficient directeur de D et d l’ordonnée à l’origine. 

– Soit D une droite passant par M1(x1, y1) et M2(x2, y2) deux points distincts de P ; alors un point M(x, y) ∈ P 

appartient à la droite D si et seulement si det( −−−→ 

M1M, −−−−→ 

M1M2) = 0, ou encore 

 

 

 

x − x1 

 

x2 − x1 

 

y − y1 y2 − y1 = 0. 

Cela donne l’équation cartésienne de la droite passant par M1 et M2. 


– Soit −→ u ∈ −→ P un vecteur non nul, A ∈ P et k ∈ R, alors l’ensemble des points M ∈ P vérifiant 

det( −→ u , −−→ 

AM) = k 

est une droite dirigée −→ u . 

– Dans le cas particulier ou k = 0, cet ensemble est la droite dirigée par −→ u passant par A. 

2.4.c Orthogonalité et équation normale 


– Soit −→ u ∈ −→ P un vecteur non nul, A ∈ P et k ∈ R, alors l’ensemble des points M ∈ P vérifiant 

−→ u · −−→ 

AM = k 

est une droite orthogonale à −→ u . 

– Dans le cas particulier ou k = 0, cet ensemble est la droite orthogonale à −→ u passant par A. 


Soit −→ u ∈ −→ P un vecteur non nul de coordonées (a, b), alors les droites orthogonales à −→ u sont les droites d’équation 

ax + by + c = 0, c ∈ R. 

En particulier, la droite orthogonale à −→ u passant par M0(x0, y0) a pour équation 

a(x − x0) + b(y − y0) + c = 0


Remarque 2.13 

Si −→ u = 1, ses composantes (ou coordonnées) sont de la forme (cos θ, sin θ). Soit H le projeté orthogonal de O 

sur D, où −→ u est orthogonal à D. H a un système de coordonnées polaires (ρ, θ), ρ ∈ R. 

On a alors −→ u · −−→ 

OH = ρ. L’équation −→ u · −−→ 

OM = −→ u · −−→ 

OH s’écrit alors 

Cette équation est appelée équation normale de D. 

2.4.d Équation polaire 


−→ u 

H 

ρ 

O 

M 

θ 

x cos θ + y sin θ = ρ 

Une droite passant par le pôle a au moins une équation polaire (c’est-à-dire une équation faisant intervenir les 

coordonnées polaires) de la forme 

θ = θ0. 

Réciproquement, une telle équation est l’équation d’une droite passant par le pôle. 

2.4.e Distance d’un point à une droite 


La distance d’un point M(x0, y0) à une droite D d’équation cartésienne ux + vy + w = 0 est 

2.5 Cercle 

d(M, D) = |ux0 + xy0 + w| 

√ . 

u2 + v2 Définition 2.16 

Soit A ∈ P et r ≥ 0. Le cercle de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M vérifiant AM = r : 

C = {M ∈ P; AM = r}. 

D



Équation cartésienne d’un cercle. 

Soit A(x0, y0) ∈ P et r ≥ 0, alors le cercle de centre A et de rayon r a pour équation 

(x − x0) 2 + (y − y0) 2 = r 2 . 

Réciproquement toute équation de cette forme est l’équation d’un cercle dont le centre a pour coordonnées (x0, y0) 

et de rayon r. 

Remarque 2.14 

Lorsqu’on a l’équation cartésienne d’un cercle sous forme développée 

x 2 + y 2 + ax + by + c = 0, 

on met sous forme canonique les termes en x et les termes en y pour trouver le centre et le rayon du cercle 

Exemple 2.4 


x 2 − 2x + y 2 + 4y = 15 

Soit C un cercle de diamètre [AB], où A et B sont deux points du plan, alors M ∈ P est un point du cercle si 

est seulement si 

−−→ 

MA · −−→ 

MB = 0 

Remarque 2.15 

Cela donne une autre méthode pour trouver l’équation cartésienne d’un cercle, connaissant deux points antipodaux. 

Intersection d’un cercle et d’une droite : 

L’intersection d’un cercle C et d’une droite D est soit vide, soit réduit à un point (si la droite est tangente au cercle) 

soit deux points (si la droite est sécante). 

D 

C 

Pour trouver les coordonnées des points d’intersections, on utilise l’équation cartésienne de la droite pour exprimer 

x en fonction de y (ou l’inverse) et éliminer ainsi les x (ou les y) dans l’équation cartésienne du cercle. Il reste alors une 

équation du second degré en x (ou en y) qui selon le signe du discriminant aura 0, 1 ou 2 solutions. On réutilise ensuite 

l’équation de la droite pour trouver la coordonnée manquante. 

Exemple 2.5 

Cercle (x − 1) 2 + (y − 2) 2 = 9 

Droite x + 2y = 5 

Intersection de deux cercles : 

Soient C et C ′ 2 cercles du plan 

– Si C et C ′ sont concentriques, leur intersection est vide si leurs rayons sont différents, et égale à chacun des cercles 

si le rayon est le même (et donc les deux cercles sont identiques). 

D 

C 

D 

C


– Si les deux cercles ne sont pas concentriques, on peut se ramener au cas de l’intersection d’un cercle et d’une 

droite. En effet en soutrayant l’équation du premier cercle à celle du deuxième on obtient l’équation d’une droite 

D. Lorsque les cercle sont sécants, il s’agit de la droite passant par les deux points d’intersection. 

Exemple 2.6 

C C ′ C 

Cercle x 2 + (y + 1) 2 = 16 

Cercle (x − 1) 2 + (y + 2) 2 = 9 

D 

C ′


3 Géométrie élémentaire de l’espace 

Dans toute cette partie, E désigne l’espace affine euclidien usuel à trois dimensions, c’est-à-dire l’ensemble des points 

de l’espace, et −→ E désigne l’espace vectoriel euclidien associé, c’est-à-dire l’ensemble des vecteur de l’espace. 

Tout comme la partie précédente, on s’appuie sur les notions de norme et d’orthogonalité déjà connues. 

Définition 3.1 Vecteurs coplanaires 

Soit ( −→ u , −→ v , −→ w ) ∈ −→ E 3 , on dit que −→ u , −→ v et −→ w sont coplanaires (ou linéairement dépendants) s’il existe (α, β, γ) ∈ 

R 3 , (α, β, γ) = (0, 0, 0) tel que 

α −→ u + β −→ v + γ −→ w = −→ 0 . 

Dans le cas contraire, on dit qu’ils sont linéairement indépendants. 

3.1 Mode de repérage dans l’espace 

3.1.a base de l’espace 


Si −→ u , −→ v −→ w sont trois vecteurs de l’espace non coplanaires, alors ( −→ u , −→ v , −→ w ) est une base de −→ E . Tout vecteur de 

−→ E peut alors s’écrire de manière unique comme combinaison linéaire de −→ u , −→ v , −→ w : 


−→ E est un R-espace vectoriel. 


∀ −→ x ∈ −→ E , ∃!(α, β, γ) ∈ −→ R 3 tel que −→ x = α −→ u + β −→ v + γ −→ w . 

– Une base ( −→ u , −→ v , −→ w ) de −→ E est dite orthogonale si les vecteurs ( −→ u , −→ v , −→ w ) sont orthogonaux 2 à 2. 

– Une base ( −→ u , −→ v , −→ w ) de −→ E est dite orthonormée si elle est orthogonale et −→ u , −→ v et −→ w sont unitaires. 

Définition 3.4 Base directe/indirecte 

L’ensemble des bases orthonormées ( −→ u , −→ v , −→ w ) de l’espace se sépare lui aussi en 2 parties, dans chacune desquelles 

on passe d’une base à une autre par une rotation. On choisit arbitrairement une de ces deux parties et on dit 

que les bases qu’elle contient sont orthonormées directe. L’autre partie contient alors les bases orthonormées 

indirectes. Lorsqu’on a fait ce choix, l’espace est dit orienté. 

3.1.b Modes de repérages dans l’espace 

Repères cartésiens de l’espace : 

De la même façon que dans le plan, fixer un point Ω dans l’espace permet de repérer un point M ∈ E par les coordonnées 

du vecteur −−→ 

ΩM dans une base de −→ E . 

Définition 3.5 Repère cartésien 

On appelle repère cartésien de E tout quadruplet (Ω, −→ i , −→ j , −→ k ), où Ω ∈ E, et ( −→ i , −→ j , −→ k ) est une base de −→ E . 

Les coordonnées (x, y, z) de −−→ 

ΩM dans la base ( −→ i , −→ j , −→ k ) sont appellées coordonnées cartésiennes de M dans le 

repère (Ω, −→ i , −→ j , −→ k ). 


– Un repère cartésien R = (Ω, −→ u , −→ v , −→ w ) est orthonormé si ( −→ u , −→ v , −→ w ) est une base orthonormée de −→ E . 

– Un repère cartésien R = (Ω, −→ u , −→ v , −→ w ) est orthonormé direct si ( −→ u , −→ v , −→ w ) est une base orthonormée directe 

de −→ E . 

[Coordonnées cylindriques] Dans la suite, E sera muni d’un repère orthonormé R = (O, −→ i , −→ j , −→ k ). Les coordonnées

3. GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE DE L’ESPACE 37 

(x, y, z) d’un point M ∈ E seront exprimées dans ce repère. 

Coordonnées cylindriques : 


Étant donné un point M ∈ E, tout triplet (r, θ, z) ∈ R 3 tel que 

−−→ 

OM = r −→ u (θ) + z −→ k = r cos θ −→ i + r sin θ −→ j + z −→ k 

est appelé système de coordonnées cylindriques de M par rapport au repère R = (O, −→ i , −→ j , −→ k ). 

−→ j 

z 

−→ k 

θ 

−→ i 

Remarque 3.1 

De la même manière que pour un point du plan, il n’y a pas unicité d’un système de coordonnées polaires dans 

le plan, pour un point de l’espace, il n’y a pas unicité d’un système de coordonnées cylindriques. Il y a unicité si 

M /∈ (O, k) et si l’on prend le triplet (r, θ, z) ∈ R +∗ ×] − π, π] × R. 

Coordonnées sphériques : 

Remarque 3.2 

Soit M un point de coordonnées cylindriques (ρ, φ, z). On a 

−−→ 

OM = ρ −→ u (φ) + z −→ k 

et donc r = −−→ 

OM = ρ 2 + z 2 . Il existe donc θ tel que 

z = r cos θ 

ρ = r sin θ 

Les coordonnées cartésiennes vérifient donc 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

r 

• M 

x = ρ cos φ = r cos φ sin θ 

y = ρ sin φ = r sin φ sin θ 

z = r cos θ 

Définition 3.8 Coordonnées sphériques 

Étant donné M ∈ E de coordonnées cartésiennes (x, y, z) dans le repère R = (O, −→ i , −→ j , −→ k ), on appelle système 

de coordonnées sphériques tout triplet (r, θ, φ) ∈ R 3 tel que r ≥ 0, θ ∈ [0, π] et 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x = r sin θ cos φ 

y = r sin θ sin φ 

z = r cos θ 

•


−→ j 

Remarque 3.3 

On appelle r le rayon, φ la longitude, θ la colatitude et π 

2 − θ la latitude (coordonnées terrestres). 

3.2 Produit scalaire 

−→ k 

φ 

−→ i 

Le produit scalaire se définit de manière similaire dans R 3 et dans R 2 . Si ( −→ u , −→ v ) ∈ −→ E 2 , et θ est l’angle non orienté 

entre −→ u et −→ v , alors 

θ 

r 

• M 

−→ u · −→ v = −→ u −→ v cos θ. 

Tous les repères que l’on considère par la suite sont des repère orthonormés. 


– Le produit ⎛ ⎞scalaire⎛dans 

⎞l’espace 

comme dans le plan est une application bilinéaire, symétrique définie positive. 

– Si −→ u ⎝ 

x1 

y1 

z1 

⎠ et −→ v ⎝ 

x2 

y2 

z2 

⎠ alors en coordonnées on a 

−→ u · −→ v = x1x2 + y1y2 + z1z2. 

– Les coordonnées de −→ u dans R(O, −→ i , −→ j , −→ k ) sont données par 

– L’inégalité de Cauchy-Schwarz reste valide : 

x = −→ u · −→ i , y = −→ u · −→ j , z = −→ u · −→ k . 

∀( −→ u , −→ v ) ∈ −→ E 2 , | −→ u · −→ v | ≤ −→ u −→ v . 

Remarque 3.4 

Les points 2 et 3 dans la proposition précédente ne sont valides que si les coordonnées sont prises dans un repère 

orthonormé. 

Projection sur une droite : 

La projection sur une droite, ainsi que l’interprétation du produit scalaire en terme de projection est exactement la 

même que dans le plan. 

•


3.3 Produit vectoriel 


−→ −→ −→ −→ −→ −→ 

i + y1 j + z1 k et u2 = x2 i + y2 j + z2 k . 

−→ 

u 1 et −→ u 2 sont colinéaires si et seulement si 

 

 

 

= 

 

 

 

= 

 

 

 

= 0. 

Soient −→ u 1 = x1 

x1 x2 

y1 y2 

x1 x2 

z1 z2 

y1 y2 

z1 z2 

Ces trois déterminants vont nous permettre de définir le produit vectoriel de deux vecteurs de −→ E . 


Soient −→ −→ −→ −→ 

u 1 = x1 i + y1 j + z1 k et 

−→ −→ −→ −→ −→ 

u 2 = x2 i + y2 j + z2 k deux vecteur de E . On appelle produit vectoriel 

de −→ u 1 et −→ u 2 le vecteur dont les coordonnées dans la base orthonormée ( −→ i , −→ j , −→ k ) sont 

y1 y2 

z1 z2 

On le note −→ u 1 ∧ −→ u 2 (lire −→ u 1 vectoriel −→ u 2). 


 

 

 

, 

 

 

 

−→ u 1 ∧ −→ u 2 = 

z1 z2 

x1 x2 

⎛ 

⎝ 

 

 

 

, 

 

 

 

x1 x2 

y1 y2 

y1z2 − y2z1 

z1x2 − z2x1 

x1y2 − x2y1 

– On a −→ u 1 ∧ −→ u 2 = −→ 0 si et seulement si −→ u 1 et −→ u 2 sont colinéaires. 

– Le vecteur −→ u 1 ∧ −→ u 2 est orthogonal à −→ u 1 et −→ u 2. 


⎞ 

⎠ . 

 

 

 

. 

– Le produit vectoriel est une application bilinéaire et antisymétrique. 

– Si ( −→ u , −→ v ) ∈ −→ E 2 , alors 

−→ u ∧ −→ v + ( −→ u · −→ v ) 2 = −→ u 2 −→ v 2 . 

Bases orthonormée directes 


Soit ( −→ u , −→ v ) ∈ −→ E 2 , alors 

– Si −→ u et −→ v sont orthogonaux, on a : 

−→ u ∧ −→ v = −→ u −→ v . 

– Si −→ u et −→ v sont des vecteurs orthogonaux et unitaires, alors 

est une base orthonormée. 

( −→ u , −→ v , −→ u ∧ −→ v ) 


Une base orthonormée ( −→ u , −→ v , −→ w ) est directe si −→ w = −→ u ∧ −→ v . Elle est indirecte si −→ w = − −→ u ∧ −→ v . 

Remarque 3.5 

Si ( −→ u , −→ v , −→ w ) est une base orthonormée directe, toute autre base obtenue par permutation circulaire est orthonormée 

directe, c’est-à-dire les bases 

( −→ v , −→ w , −→ u ) et ( −→ w , −→ u , −→ v ).


Exemple 3.1 

Démontrer la formule du double produit vectoriel : 

Remarque 3.6 

∀( −→ u , −→ v , −→ w ) ∈ −→ E 3 , ( −→ u ∧ −→ v ) ∧ −→ w = ( −→ u · −→ w ) −→ v − ( −→ v · −→ w ) −→ u . 

Le produit vectoriel n’est ni commutatif, ni associatif, l’écriture −→ u ∧ −→ v ∧ −→ w n’a donc aucun sens puisque 

l’on ne sait pas quel produit faire en premier. 

Interprétation géométrique : 


Si θ est une mesure de l’angle non orienté des vecteurs −→ u et −→ v , (0 ≤ θ ≤ π, à 2π près, donc sin θ ≥ 0), alors 

−→ u ∧ −→ v = −→ u −→ v sin θ. 

−→ u ∧ −→ v 

θ 

Remarque 3.7 

C’est une façon alternative de définir le produit vectoriel de deux vecteurs −→ u et −→ v , en le définissant comme le 

vecteur orthogonal à −→ u et −→ v , tel que ( −→ u , −→ v , −→ u ∧ −→ v ) soit une base directe (règle du tire-bouchon ou règle des 

trois doigts) et que sa norme soit égale à −→ u −→ v sin θ. 

Exemple 3.2 

– L’aire d’un parallélogramme formé sur les vecteurs −→ u et −→ v est égal à la norme de leur produit vectoriel. 

– l’aire d’un triangle ABC est données par 

3.4 Déterminant 

Définition 3.11 Déterminant 

Aire(ABC) = 1 −→ −→ 1 −→ −→ 1 

AB ∧ AC = BC ∧ BC = 

2 2 2 −→ CA ∧ −→ 

CB. 

Le produit mixte, ou déterminant de trois vecteurs ( −→ u , −→ v , −→ w ) ∈ −→ E 3 vaut 

−→ u 

det( −→ u , −→ v , −→ w ) = ( −→ u ∧ −→ v ) · −→ w . 

−→ v



Le déterminant est une application trilinéaire et antisymétrique de −→ E 3 −→ R. On a donc pour tout triplet 

( −→ u , −→ v , −→ w ) ∈ −→ E 3 

det( −→ u , −→ v , −→ w ) = − det( −→ v , −→ u , −→ w ) 

= det( −→ v , −→ w , −→ u ) 

= − det( −→ w , −→ v , −→ u ) 

= det( −→ w , −→ u , −→ v ) 

= − det( −→ u , −→ w , −→ v ). 

Proposition 3.9 Expression dans une base orthonormée 

Soient ( −→ u , −→ v , −→ w ) ∈ −→ E 3 , dont les coordonnées dans une base orthonormée sont 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

−→ 

u ⎝ 

alors le déterminant de ces trois vecteurs vaut : 

On le note en coordonnées : 

x1 

y1 

z1 

⎠ , −→ v ⎝ 

x2 

y2 

z2 

⎠ , −→ w ⎝ 

x3 

y3 

z3 

⎠ , 

det( −→ u , −→ v , −→ w ) = x1y2z3 + x2y3z1 + x3y1z2 

− x1y3z2 − x2y1z3 − x3y2z1. 

det( −→ u , −→ v , −→ 

 

 

w ) = 

 

 

x1 x2 x3 

y1 y2 y3 

z1 z2 z3 

Remarque 3.8 Règle de Sarrus 

Pour calculer de manière simple un déterminant 3 × 3, on peut utiliser la règle de Sarrus qui consiste à partir de 

chaque terme de la première ligne et de les multiplier avec les deux termes suivants en descendant en diagonale 

à droite et à les compter positivement, et refaire la même chose mais en descendant en diagonale à gauche et à 

les compter négativement. 

x1 x2 x3 

y1 y2 y3 

z1 z2 z3 


positivement puis 

Le volume d’une parallélipipède formé par −→ u , −→ v et −→ w est égal à : 

 

 

 

 

 

 

x1 x2 x3 

y1 y2 y3 

z1 z2 z3 

V olume = | det( −→ u , −→ v , −→ w )|. 

Rappel : Trois vecteurs sont coplanaires si l’un est combinaison linéaire des deux autres. 

négativement 


Un plan P est dirigé par deux vecteurs non colinéaires −→ u et −→ v s’il existe (A, B, C) ∈ P 2 tel que 

−→ u = −→ 

AB et −→ v = −→ 

AC. 

La direction du plan P, notée −→ P est alors l’ensemble des combinaisons linéaires de −→ u et −→ v .



Soit ( −→ u , −→ v , −→ w ) ∈ −→ E 3 , alors les quatre assertions suivantes sont équivalentes : 

1. −→ u , −→ v , −→ w sont coplanaires. 

2. −→ u , −→ v , −→ w sont dans la direction d’un même plan. 

3. ∃ −→ x ∈ −→ E orthogonal aux trois vecteurs −→ u , −→ v et −→ w . 

4. det( −→ u , −→ v , −→ w ) = 0. 

3.5 Plans de l’espace 

3.5.a Équation d’un plan 


– Tout plan P de l’espace a au moins une équation cartésienne de la forme 

ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) = (0, 0, 0). 

– Deux équations représentent le même plan si et seulement si elles sont proportionnelles. 

– Réciproquement, toute équation de la forme 

ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) = (0, 0, 0) 

représente un plan, dont un vecteur normal est (a, b, c). 


Soit P un plan de E. On appelle direction de P, notée −→ P l’ensemble des vecteurs directeurs de P. Un vecteur 

−→ n est dit normal à P s’il est non nul et orthogonal à tout vecteur directeur de P. 

Remarque 3.9 

Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires. 

Proposition 3.13 Équation d’un plan défini par un point et deux vecteurs indépendants 

Soit A un point de E, −→ u et −→ v deux vecteurs non colinéaires de −→ E , alors il existe un unique plan P passant par 

A, dirigé par −→ u et −→ v . 

Pour en trouver une équation cartésienne, on considère M(x, y, z) ∈ P. Les vecteurs −−→ 

AM, −→ u et −→ v doivent être 

coplanaires donc : 

det( −−→ 

AM, −→ u , −→ v ) = 0. 

Le calcul de ce déterminant donne une équation cartésienne du plan P. 

Exemple 3.3 

Trouver une équation cartésienne du plan passant par A(1, 6, −1) et dirigé par −→ ⎛ 

u ⎝ 1 

⎞ 

0⎠ 

et 

2 

−→ ⎛ 

u ⎝ 3 

⎞ 

−1⎠ 

1


Proposition 3.14 Équation d’un plan défini par un point et un vecteur normal 

Soit A un point de E et −→ n ∈ −→ E , alors il existe un unique plan passant par A, de vecteur normal −→ n . 

Pour en trouver une équation cartésienne, on considère M(x, y, z) ∈ P. Les vecteurs −−→ 

AM et −→ n sont orthogonaux 

donc 

−−→ 

AM · −→ n = 0. 

Le calcul de ce produit scalaire donne une équation cartésienne du plan P. 

Exemple 3.4 

Trouver une équation cartésienne du plan passant par le point A(6, 2, 1) et de vecteur normal −→ ⎛ ⎞ 

1 

n ⎝ 0 ⎠ 

−1 

Proposition 3.15 Équation d’un plan défini par trois points non alignés 

Soient A, B et C trois points de E non alignés, alors il existe un unique plan passant par ces trois points. 

Pour en trouver une équation, on se ramène au cas d’un plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires, 

en utilisant par exemple le point A et les vecteurs −→ −→ 

AB et AC qui sont non colinéaires puisque les points ne sont 

pas alignés. 

Exemple 3.5 

Trouver une équation du plan passant par les points A(1, 1, 0), B(4, 5, −1) et C(5, −2, 7). 

3.5.b Équation de droite de l’espace 

Remarque 3.10 

Dans l’espace, contrairement au plan, on ne peut pas caractériser une droite à l’aide d’une seule équation 

cartésienne. On peut cependant utiliser une équation paramétrique, comme dans le plan. 


Paramétrage d’une droite définie par un point et un vecteur directeur. 

Soit D une droite de P, A(x0, y0, z0) ∈ D et −→ ⎛ 

u ⎝ α 

⎞ 

β⎠ 

un vecteur directeur de D. Alors une équation paramétrique 

γ 

de D est donnée par ⎧ 

⎨ x = x + 0 + αt 

⎩ 

y 

z 

= 

= 

y0 + βt 

z0 + γt 

t ∈ R. 

Proposition 3.17 Paramétrage d’une droite définie par deux points dictincts 

Soit D une droite de P et A, B deux points distincts de D, alors pour trouver une équation paramétrique de D, 

on se ramède au cas précédent en utilisant par exemple le point A et le vecteur directeur −→ 

AB. 

Exemple 3.6 

Trouver une équation paramétrique de la droite passant par A(2, 1, 2) et B(0, 2, 3).


Remarque 3.11 

Dans l’espace, si P1 et P2 sont deus plans non parallèles, alors ils sont sécants et se coupent en une droite D ; 

c’est d’ailleurs une des facons de mettre en équation une droite de l’espace : la voir comme l’intersection de 

deux plans non parallèles. 

Proposition 3.18 Paramétrage d’une droite définie par deux plans sécants 

Soient D la droite définie par l’intersection des plans P1 et P2, d’équation respective a1x + b1y + c1z + d1 = 0 

et a2x + b2y + c2z + d2 = 0. On se ramène au cas d’une droite définie par un point et un vecteur directeur. 

On trouve un point sur la droite en fixant x ou y ou z dans le système de deux équations à trois inconnues. 

Pour trouver ⎛ ⎞ un vecteur directeur de D, on prend le produit vectoriel ⎛ ⎞ d’un vecteur normal à P1, par exemple 

−→ 

n 1 = ⎝ 

a1 

b1 

c1 

⎠ et d’un vecteur normal à P2, par exemple −→ n 2 = ⎝ 

Exemple 3.7 

Trouver une équation paramétrique de la droite intersection des plans P1 et P2 d’équation : 

3.6 Distance à un plan 

a2 

b2 

c2 

(P1) 2x − 3y + z + 1 = 0 

(P2) x − y + 2z − 3 = 0 


Soit P un plan de E d’equation ax + by + cz + d = 0 et M un point n’appartenant pas à P, alors la distance de 

M à P, notée d(M, P) est égale à 

⎠. 

d(M, P) = |ax0 + by0 + cz0 + d| 

√ . 

a2 + b2 + c2 Cette distance est égale à MH où H est le projeté orthogonal de M sur P. 

3.6.a Perpendiculaire commune à deux droites 


P 

H 

• •M 

Soient D1 et D2 deux droites de E, non parallèles (c’est-à-dire que les vecteurs directeurs de D1 ne sont 

pas colinéaires aux vecteurs directeurs de D2), alors il existe une unique droite D3, coupant D1 et D2 et 

perpendiculaire à ces deux dernières.


D3 

Calcul pratique d’un paramétrage de D3 

Soit −→ u un vecteur directeur de D1 et −→ v un vecteur directeur de D2, on note −→ n = −→ u ∧ −→ v . −→ n est alors un vecteur 

directeur de D3. 

D3 peut alors être vue comme l’intersection des plan P1 et P2, où 

P1 contient D1 et admet −→ n parmi ses vecteurs directeurs, 

P2 contient D2 et admet −→ n parmi ses vecteurs directeurs. 

3.6.b Distance à une droite 


Soit D une droite de E passant par A, de vecteur directeur −→ u = −→ 0 et B un point n’appartenant pas à D, alors 

la distance de B à D vaut 

−→ 

AB ∧ 

−→ 

u 

d(B, D) = 

−→ . 

u 

Cette distance est égale à BH où H est le projeté orthogonal de B sur D. 

3.7 Sphères 

• A 

−→ u 

Définition 3.14 Sphère 

Soit A ∈ E et r ≥ 0, la sphère S de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M de l’espace vérifiant 


H 

• 

AM = r. 

Équation cartésienne d’une sphère. 

Soit A(, a, b, c) ∈ E et r ≥ 0, alors la sphère de centre A et de rayon r a pour équation cartésienne 

D 

D1 

D2 

•B 

(x − a) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 = r 2 , 

Réciproquement, toute équation de la sorte représente une sphère de rayon r et dont les centre a pour coordonnées 

(a, b, c).


Remarque 3.12 

Lorsqu’on a l’équation sous forme développée, on met sous forme canonique pour retrouver le centre et le rayon. 

Exemple 3.8 

x 2 + y 2 + z 2 + 4x − 6y + 8z − 100 = 0 

Proposition 3.23 Intersection d’une sphère et d’un plan 

Soit S une sphère de centre A(a, b, c), d’équation cartésienne (x − a) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 = r 2 et P un plan 

d’équation αx + βy + γz + δ = 0. L’intersection de S et P est un cercle si d(A, P) ≤ r et vide sinon. On rappelle 

que 

d(A, P) = 

|αa + βb + γc + δ| 

. 

α2 + β2 + γ2 Si l’intersection est non vide, le centre H du cercle intersection est la projection orthogonale du centre de la 

sphère sur le plan P. Le rayon ρ du cercle intersection est donné par le théorème de Pythagore : 

Exemple 3.9 

P 

r 2 = ρ 2 + d(A, P) 2 . 

ρ 

r 

•H 

d(A, P) 

Caractériser l’intersection de la sphère S d’équation (x − 2) 2 + (y + 1) 2 + z 2 = 25 et du plan P d’équation 

x − 3y + 2z = 0. 

Proposition 3.24 Intersection de deux sphères 

•A 

Soient S et S ′ 2 sphères de l’espace. 

– Si S et S ′ sont concentriques, leur intersection est vide si leurs rayons sont différents, et égale à chacune des 

sphères si le rayon est le même (et donc les deux sphères sont identiques). 

– Si les deux sphères ne sont pas concentriques, on peut se ramener au cas de l’intersection d’une sphère et d’un 

plan. En effet en soutrayant l’équation de la première sphère à celle de la deuxième, on obtient l’équation 

d’un plan P. Lorsque les sphères sont sécantes, il s’agit du plan contenant le cercle intersection.


Exemple 3.10 

Quelle est l’intersection des sphères S et S ′ d’équation respective 

x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 2y − 20 = 0 et 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 − 8x + 12y − 4z = 100. 

Proposition 3.25 Intersection d’une sphère et d’une droite 

Soit S une sphère d’équation (x − a) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 = r 2 et D une droite de E d’équation paramétrique 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x = x0 + αt 

y = y0 + βt 

z = z0 + γt. 

t ∈ R. 

On remplace alors x, y, z par leur expression paramétrique dans l’équation de la sphère ce qui donne une équation 

du second degré en t. Selon le signe du discriminant il y aura 0, 1 ou 2 solutions, selon que la droite ne coupe 

pas la sphère, est tangente à la sphère ou coupe la sphère. Pour trouver les coordonnées des points d’intersection, 

on remplace t par la (les) valeur(s) trouvée(s) dans l’équation paramétrique de la droite. 

Exemple 3.11 

• 

Trouver l’intersection de la sphère d’équation (x − 1) 2 + (y − 2) 2 + (z + 1) 2 = 60 et de la droite d’équation 

x + y + z = 0. 

• 

D 

S

48 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE

Chapitre 2 

Fonctions usuelles 

1 Introduction 

Dans tout ce chapitre, on utilisera les notions d’analyses déjà vues au lycée, qui seront reprises plus tard dans le 

cours, entre autre 

– continuité, dérivabilité 

– limites, asymptotes 

– primitives et intégration 

Proposition 1.1 Bijection réciproque 

Soit I un intervalle de R, et f : I −→ R une fonction continue, strictement monotone, alors f réalise une 

bijection de I sur J = f(I), c’est-à-dire qu’à chaque réel y ∈ J correspond un unique antécédent x ∈ I. De plus, 

J est aussi un intervalle. 

Il existe alors une fonction continue g : J −→ I telle que 

en d’autres termes : 

f ◦ g = IdJ et g ◦ f = IdI, 

∀y ∈ J, f(g(y)) = y et ∀x ∈ I, g(f(x)) = x. 

g est appelée fonction réciproque de f, on la note f −1 . 

Si, de plus, f est dérivable et ∀x ∈ I, f ′ (x) > 0, f −1 est dérivable sur J et 

(f −1 ) ′ = 

1 

f ′ . 

◦ f −1 

Dans la suite, nous allons faire l’étude systématique des fonctions dite "usuelles". Les différentes étapes d’une étude de 

fonction sont les suivantes : 

– Ensemble de définition. 

– périodicité/parité pour réduire le domaine d’étude 

– limites aux bornes du domaine d’étude 

– calcul de la dérivée et tableau de variations 

– Représentation graphique sur le domaine d’étude, en traçant quelques tangentes. 

2 Fonctions trigonométiques circulaires 

2.1 Sinus et cosinus 

Soit P le plan muni d’un repère orthonormé direct (O, −→ i , −→ j ). Pour tout x ∈ R, on note M(x) le point du cercle 

trigonométrique vérifiant 

On note (cos x, sin x) les coordonnées de M(x). 

 

( −→ i , −−→ 

OM) = x. 

49

50 CHAPITRE 2. FONCTIONS USUELLES 


Les fonctions sinus et cosinus vérifient les propriétés suivantes : 

– Elles sont définies et continues sur R. 

– Elles sont 2π-périodiques. 

– La fonction cos est paire et la fonction sin est impaire. 

– ∀x ∈ R, cos2 x + sin 2 x = 1. 

– ∀x ∈ R, cos(π + x) = − cos x, sin(π + x) = − sin x. 

– ∀x ∈ R, cos(π − x) = − cos x, sin(π − x) = sin x. 

– ∀x ∈ R, cos π 

2 + x = − sin x, sin π 

2 + x = cos x. 

– ∀x ∈ R, cos π 

2 − x = sin x, sin π 

2 − x = cos x. 

– Les fonctions sin et cos sont dérivables sur R et 

Remarque 2.1 

Valeurs remarquables : 


sin ′ = cos , cos ′ = − sin 

x 0 π 

6 

cos x 1 √ 3 

2 

sin x 0 1 

2 

– L’équation cos x = cos a d’inconnue x ∈ R a pour ensemble de solutions 

S = {a + 2kπ; k ∈ Z} ∪ {−a + 2kπ; k ∈ Z} = (a + 2πZ) ∪ (−a + 2πZ). 

– L’équation sin x = sin a d’inconnue x ∈ R a pour ensemble de solutions 

S = {a + 2kπ; k ∈ Z} ∪ {π − a + 2kπ; k ∈ Z} = (a + 2πZ) ∪ (π − a + 2πZ). 

Représentation graphique : 

 

Il suffit d’étudier les fonctions sur l’intervalle 0, π 

 

. Le reste se déduit par parité, périodicité et les formules relatives à 

2 

cos(π + x), cos(π − x), sin(π + x), sin(π − x). 

Tableau de variations : 

− π 

2 

2.2 Tangente 

x 0 π 

2 

cos x 1 ↘ 0 

cos ′ x = − sin x 0 − −1 

1 

0 

−1 

π 

2 

π 

√4 2 

√2 2 

2 

π 

3 

1 

√2 3 

2 

π 

2 

0 

1 

x 0 π 

2 

sin x 0 ↗ 1 

sin ′ x = cos x 1 − 0 

La fonction cosinus s’annule sur π 

π 

2 + πZ, on peut donc définir pour x /∈ 2 + πZ la fonction tangente par 

 

π 

 

tan : R\ + πZ 

2 

−→ R 

π 

cos 

sin

2. FONCTIONS TRIGONOMÉTIQUES CIRCULAIRES 51 

x ↦−→ 

On appelle intervalle principal de définition l’intervalle − π 

 

π 

2 , 2 . 


sin x 

cos x . 

– La fonction tan est continue sur son domaine de définition. 

– tan est π-périodique. 

– tan est une fonction impaire. 

– tan est strictement croissante sur chaque intervalle − π π 

2 + kπ, 2 + kπ , et 

lim tan = −∞ et lim tan = +∞. 

+ π − 

− π 

2 

– tan est dérivable sur son domaine de définition et 

Remarque 2.2 

Valeurs remarquables : 

Remarque 2.3 

On peut également définir la cotangente sur 

par cotan x = 

cos x 

sin x . 

tan ′ x = 1 + tan 2 x = 1 

cos 2 x . 

x 0 π 

6 

π 

4 

2 

π 

3 

π 

2 

tan x 0 √ 3 

3 1 √ 3 indéfini 

 

]kπ, (k + 1)π[ 


Quelques formules : 

– Soit (a, b) ∈ R 2 tel que tan a, tan b et tan(a + b) soient définis, alors 

k∈Z 

tan(a + b) = 

tan a + tan b 

1 − tan a tan b . 

– Expression de tan x, cos x et sin x en fonction de t = tan x 

2 : 

tan x = 2t 

1 − t2 1 − t2 

, cos x = 

1 + t2 , sin x = 2t 

. 

1 + t2 – pour tout a dans le domaine de définition de tan, l’équation tan x = tan a d’inconnue x ∈ R a pour ensemble 

de solutions S : 

S = {a + kπ; k ∈ Z} = a + πZ. 

Représentation graphique : On étudie tan sur 0, π 

 

2 . 

x 0 π 

2 

tan x 0 ↗ +∞ 

tan ′ x = 1 + tan 2 x 0 + +∞


2.3 Arcsinus, Arcosinus 


−π 

− π 

• 

1 

0 π π 

2 2 

• 

−1 

Soit f : [a, b] −→ R dérivable, telle que f ′ est une fonction strictement positive (resp. strictement négative), sauf 

en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante (resp strictement décroissante) sur [a, b]. 

Définition 2.1 Arcsinus 

La fonction sin : [− π π 

2 , 2 ] −→ R est strictement croissante et continue, donc définit une bijection continue de 

 

− π π 

 

, −→ [−1, 1]. 

2 2 

On peut donc définir sa fonction réciproque [−1, 1] −→ [− π π 

2 , 2 ], que l’on note arcsin (prononcer "arc sinus"). 

Pour x ∈ [−1, 1], arcsin(x) est l’unique réel de [− π π 

2 , 2 ] dont le sinus vaut x : 

∀x ∈ [−1, 1], sin(arcsin x) = x 

 

∀x ∈ − π π 

 

 

, , arcsin(sin x) = x. (c’est faux si x /∈ − 

2 2 

π π 

 

, ). 

2 2 

Définition 2.2 Arccosinus 

La fonction cos : [0, π] −→ R est strictement décroissante et continue, donc définit une bijection continue de 

[0, π] −→ [−1, 1]. 

On peut donc définir sa fonction réciproque [−1, 1] −→ [0, π], que l’on note arccos (prononcer "arc cosinus"). 

Pour x ∈ [−1, 1], arccos(x) est l’unique réel de [0, π] dont le cosinus vaut x : 

Dérivées et représentations graphiques : 

∀x ∈ [−1, 1], cos(arccos x) = x 

∀x ∈ [0, π], arccos(cos x) = x. (c’est faux si x /∈ [0, π]).

2. FONCTIONS TRIGONOMÉTIQUES CIRCULAIRES 53 


La fonction arcsin et arccos sont dérivables sur ]−1, 1[ et on a 

arcsin ′ (x) = 

1 

√ 1 − x 2 

, arccos ′ 1 

(x) = −√ 

1 − x2 . 

arcsin est donc strictement croissante et arccos strictement décroissante sur son domaine de définition. 


– ∀x ∈ [−1, 1], arcsin x + arccos x = π 

2 . 

– ∀x ∈ [−1, 1], cos(arcsin x) = sin(arccos x) = √ 1 − x 2 . 

Remarque 2.4 

Les fonctions arcsin et arccos ne sont pas dérivables aux bornes de leur intervalle de définition car leur fonction 

réciproque voit sa dérivée s’annuler aux bornes de son intervalle de définition. On a donc des demi tangentes 

verticales aux bornes de l’intervalle de définition de arcsinet arccos. 

x − π 

arcsin x 

2 

−1 ↗ 

π 

2 

1 

arcsin ′ x = 1 √ 

1−x2 +∞ + +∞ 

−1 

π 

π 

2 

− π 

2 

x 0 π 

arcsin x 1 ↘ −1 

arccos ′ x = − 1 √ 

1−x2 −∞ − −∞ 

1 

arcsin 

arccos


2.4 Arctangente 

Définition 2.3 Arctangente 

La fonction tan : − π 

 

π 

2 , 2 −→ R est strictement croissante et continue, donc définit une bijection continue de 

 

− π π 

 

, −→ R. 

2 2 

On peut donc définir sa fonction réciproque R −→ − π 

 

π 

2 , 2 , que l’on note arctan (prononcer "arc tangente"). 

Pour x ∈ R, arctan(x) est l’unique réel de − π 

 

π 

2 , 2 dont la tangente vaut x : 

Remarque 2.5 

 

∀x ∈, 

− π 

2 

π 

 

, 

2 

∀x ∈ R, tan(arctan x) = x 

 

arctan(tan x) = x. (c’est faux si x /∈ − π π 

 

, ). 

2 2 

– La fonction arctan est strictement croissante sur R. 

– La fonction arctan est une fonction impaire en tant que fonction réciproque d’une fonction impaire. 


– ∀x ∈ R ∗ , on a l’identité suivante : 

arctan x + arctan 1 

x = 

 

1 

– ∀x ∈ R, arctan x = arcsin √ . 

1+x2 – ∀x ∈ R, arctan x = Arg(1 + ix). 


La fonction arctan est dérivable sur R est 


+ π 

∀x ∈ R, arctan ′ (x) = 

2 

− π 

2 

1 

. 

1 + x2 si x > 0 

si x < 0 

x −∞ 0 +∞ π 

2 

↗ 

arctan x 0 

↗ 

− π 

2 

arctan ′ x = 1 

1+x 2 0 + 1 + 0

3. FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE 55 

−1 

π 

2 

π 

4 

− π 

4 

− π 

2 

3 Fonctions logarithme et exponentielle 

3.1 Logarithme népérien 


La fonction 

1 

]0, +∞[ −→ R (3.1) 

x ↦−→ 1 

x 

(3.2) 

est continue sur ]0, +∞[ et donc admet des primitives. On définit le logarithme népérien, que l’on note ln comme 

la primitive sur ]0, +∞[ de la fonction x ↦→ 1 

x et qui s’annule en 1. 

Remarque 3.1 

La fonction logarithme népérien est bien définie, continue et dérivable sur ]0, +∞[, de dérivée x ↦→ 1 

x . 



– ∀x ∈]0, +∞[ 2 , ln 

x 

y 

 

= ln x − ln y. 

– ∀x ∈ [0, +∞[, ∀n ∈ Z, ln(x n ) = n ln x. 


∀(x, y) ∈]0, +∞[ 2 , ln(xy) = ln x + ln y. 

La fonction ln est une bijection strictement croissante de ]0, +∞[−→ R telle que 

lim 

0 − 

ln = −∞ et lim ln = +∞. 

+∞



La fonction ln est un isomorphisme de groupe de (R +∗ , ×) → (R, +). 

Représentation graphique 

3.2 Exponentielle 

− 

1 

| 

1 

x 0 1 +∞ 

+∞ 

↗ 

ln x 0 

↗ 

ln ′ x = 1 

x 

−∞ 

+∞ + 1 + 0 


La fonction logarithme népérien définit une bijection de ]0, +∞[−→ R, on peut donc définir sa fonction réciproque, 

la fonction exponentielle, exp : R −→ R. 


– La fonction exponentielle est une bijection strictement croissante de R sur ]0, +∞[ vérifiant 

– La fonction exponentielle est dérivable sur R et 

lim exp = 0 et lim exp = +∞ 

−∞ +∞ 

exp ′ = exp . 


La fonction exponentielle vérifie les propriétés suivantes : 

– exp(0) = 1. 

– ∀(x, y) ∈ R2 , exp(x + y) = exp(x) exp(y). 

– ∀(x, y) ∈ R2 exp x 

, exp(x − y) = exp y . 

– ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z, exp(nx) = exp(x) n .



La fonction exponentielle réalise un isomorphisme de (R, +) −→ (R +∗ , ×). 

Notation 3.1 

On note e = exp(1), c’est l’unique réel vérifiant ln(e) = 1. 


x −∞ 0 +∞ 

+∞ 

↗ 

exp x 1 

↗ 

0 

exp ′ x = exp x 0 + 1 + +∞ 

3.3 Logarithme et exponentielle en base quelconque 

3.3.a Logarithme en base a 


Soit a > 0, a = 1. On appelle logarithme en base a l’application notée log adéfinie sur ]0, +∞[ par 


loga a les propriétés suivantes : 

– loga 1 = 0 et loga a = 1. 

– ∀(x, y) ∈]0, +∞[ 2 , loga(xy) = loga x + log ay. 

– ∀(x, y) ∈]0, +∞[ 2 x , loga y = loga x − loga y. 

– ∀x ∈]0, +∞[, ∀n ∈ Z, loga(xn ) = n loga x. 

log a x = 

− 

1 

ln x 

ln a . 

| 

1


Exemple 3.1 

– a = e : logarithme népérien. 

– a = 10 : logarithme décimal, noté Log (beaucoup utilisé en chimie pour les pH, en physique pour les diagrammes 

de Bode). 

– a = 2 logarithme binaire (utilisé en informatique). 


Soit a > 0, a = 1, la fonction log a est dérivable sur ]0, +∞[ et 

∀x > 0, log ′ a x = 1 

x ln a 

C’est donc une fonction croissante si a > 1 (comme le logarithme népérien), et décroissante si a < 1. 


a > 1 

a < 1 

x 0 1 +∞ 

+∞ 

↗ 

log a x 0 

↗ 

−∞ 

log ′ a x = 1 

x ln a +∞ + 1 

ln a 

+ 0 

x 0 1 +∞ 

+∞ 

↘ 

log a x 0 

↘ 

log ′ a x = 1 

x ln a −∞ − 1 

ln a 

−∞ 

− 0


− 

1 

| 

1 

a = 2 

a = e 

a = 10 

a = 1 

10 

a = 1 

2 

Remarque 3.2 

La fonction log a est une bijection strictement monotone de ]0, +∞[→ R, croissante si a > 1 et décroissante si 

a < 1. On peut donc définir sa fonction réciproque 

3.3.b exponentielle en base a 


Soit a > 0, a = 1, on appelle exponentielle en base a, notée exp a la fonction réciproque de log a, qui est définie 

sur R. 


La fonction exp a vérifie les propriétés suivantes : 

– exp a(0) = 1, exp a(1) = a. 

– ∀(x, y) ∈ R 2 , exp a(x + y) = exp a(x) exp a(y). 

– ∀(x, y) ∈ R 2 , exp a(x − y) = exp a (x) 

exp a (y) . 

– ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z, exp a(nx) = exp a(x) n . 

Remarque 3.3 

– Si a = e on retrouve l’exponentielle classique. 

– Si x ∈ R, y = exp a(x), on a 

donc ln y = x ln a et exp a(x) = exp(x ln a). 

x = log a(y) = 

ln y 

ln a ,


Notation 3.2 

Soit a > 0, a = 1. Pour tout n ∈ Z, on a 

On étend alors cette notation a n à tout R en posant 

En particulier, on note e x = exp(x). 

Remarque 3.4 

exp a(n) = exp a(1) n = a n . 

∀x ∈ R, a x = exp a(x) = exp(x ln a). 

– Par convention, on considère que ∀x ∈ R, 1 x = 1, ce qui étend la notation a x à tous les a de ]0, +∞[. 

– On verra plus tard la cohérence de la notation pour x ∈ C. 


Soit a > 0, a = 1, la fonction exp a est dérivable sur R et 

∀x > 0, exp ′ a(x) = ln(a) exp a(x) 

C’est donc une fonction croissante si a > 1 (comme l’exponentielle classique), et décroissante si a < 1. 


a > 1 

a < 1 

x −∞ 0 +∞ 

+∞ 

↗ 

exp a x 1 

↗ 

0 

exp ′ a x = ln a exp a x 0 + ln a + +∞ 

x −∞ 0 +∞ 

0 

↘ 

exp a x 1 

↘ 

−∞ 

exp ′ a x = ln a exp a x 0 − ln a − −∞


a = 1 

2 

3.4 Fonctions puissance 

3.4.a Racine nième 

a = 1 

10 

1 

1 

a = 10 


Soit n ∈ N ∗ . La fonction φn, appelée puissance nième, et définie sur R par 

est dérivable sur R, de dérivée 

∀x ∈ R, φn(x) = x n 

∀x ∈ R, φ ′ n(x) = nx n−1 . 

En conséquence : 

– si n est impair, φn est strictement croissante sur R, avec 

lim 

−∞ φn = −∞ et lim φn = +∞. 

+∞ 

a = e a = 2 

– Si n est pair, φn est strictement croissante sur R + et strictement décroissante sur R − , avec 

lim 

pm∞ φn = +∞. 

Remarque 3.5 

Lorsque n est impair, φn réalise une bijection strictement croissante de R → R. 

Lorsque n est pair, φ réalise une bijection strictement croissante de R + → R + . 


Soit n ∈ N ∗ . On appelle fonction racine nième la fonction réciproque de la fonction puissance nième. 

– Si n est impair, elle est définie sur R. 

– Si n est pair, elle est définie sur R + . 

Lorsqu’elle est définie, la racine nième de x est notée n√ x.



Pour n ∈ N ∗ , la fonction racine nième est dérivable sur 

– R ∗ si n est impair. 

– R +∗ si n est pair, 

et sa dérivée est la fonction 

x ↦−→ 

1 

n n√ . 

xn−1 Remarque 3.6 

La fonction racine nième n’est pas dérivable en 0 si n > 1, elle admet une tangente ou demi tangente verticale 

en ce point. 


Soit n ∈ N ∗ , on a pour x > 0 : 

Remarque 3.7 

 

n√ 1 

x = exp ln x = expx n 

 

1 

= x 

n 

1 

n . 

– Ceci justifie la notation a x lorsque x est l’inverse d’un entier, indépendemment de la définition de l’exponen- 

tielle, mais cohérente avec cette dernière. 

– Par convention, on étend la notation x 1 

n à x = 0, et à x < 0 lorsque n est impair. 


n impair 

x −∞ 0 +∞ 

+∞ 

↗ 

n√ x 0 

↗ 

−∞ 

1 

n n√ x n−1 0 + + 0 

• 

1 

n pair 

• 

1 

x 0 +∞ 

+∞ 

n√ x ↗ 

0 

1 

n n√ x n−1 + +∞ 

n = 1 

n = 2 

n = 3 

n = 5 

n = 10


3.4.b Puissance d’exposant rationnel 

On rappelle les conventions d’écriture : 

La notation x p a donc un sens dès que p ∈ Z. 

x −n = 1 

si x = 0 etn ∈ N∗ 

xn ∀x ∈ R, x 0 = 0. 


Soit r ∈ Q, on peut écrire r sous forme irréductible r = p 

q avec p ∈ Z et q ∈ N∗ , p et q étant premiers entre eux. 

Dans ces conditions, on définit 

 

q√ p 

xp = exp ln x = exp 

q 

x(r) = x r . 

Remarque 3.8 

– Cela justifie la notation ax lorsque x ∈ Q, indépendemment de la fonction exponentielle. 

– Si p > 0, x ↦→ q√ xp est définie sur R + lorsque q est pair, et sur R lorsque q est impair. On peut donc étendre 

la notation x p 

q à R + lorsque q est pair, et R lorsque q est impair. 

– Si p < 0, x ↦→ q√ xp est définie sur R +∗ si q est pair, et R∗ si q est impair. 

– Il est indispensable d’écrire la fraction sous forme irréductible, c’est-à-dire que p et q soient premiers entre 

eux. 

3.4.c Fonction puissance d’exposant réel 

En utilisant la convention a x = exp(x ln a), on peut définir les fonctions puissance à exposant réel. 


On appelle fonction puissance toute fonction 

φa : R +∗ −→ R +∗ 

(3.3) 

x ↦−→ x a = exp(a ln x). (3.4) 

De façon générale, φa n’est définie que sur R +∗ et on peut l’étendre à R −∗ et/ou à {0} dans certains cas (a ∈ Q 

ou a > 0). 


∀(a, b) ∈ R 2 et ∀(x, y) ∈ R +∗2 on a 

– x a y a = (xy) a . 

– x a x b = x a+b . 

– (x a ) b = x ab . 

– 1 a = 1. 

– x 0 = 1. 


∀a ∈ R, φa est dérivable sur R +∗ avec 

– Si a = 0, φa = 1. 

– Si a > 0, φa est strictement croissante et 

– Si a < 0, φa est strictement décroissante et 

φ ′ a(x) = ax a−1 = aφa(x) 

lim φa = 0 , lim = +∞. 

0 + 

+∞ 

lim 

0 + φa = +∞ , lim 

+∞ = 0.


Remarque 3.9 

– Si a > 0, on peut prolonger par φa(0) = 0. 

– Si a > 1, on peut prolonger la dérivée par φ ′ a(0) = 0 

– Si a < 1, on a une demi tangente verticale en 0. 

3.4.d Croissance comparée avec ln et exp 

Lorsque l’on a une forme indéterminée dans le calcul d’une limite, il est nécessaire d’en savoir un peu plus pour 

lever la forme indéterminée. 


Fonctions puissance : 

Soit a < b, alors 


Fonctions exponentielle : 

Soit 0 < a < b, alors 


Comparaison puissance/logarithme : 

Soit (a, b) ∈ R +∗2 , alors 

xa −−−−−→ 

xb x→+∞ 0, 

ax −−−−−→ 

bx x→+∞ 0, 

lim 

x→+∞ 

(ln x) b 

xa −−−→ 

xb x→0 +∞. 

ax −−−−−→ 

bx x→−∞ +∞. 

= 0, lim 

xa x→0 xa (ln x) b = 0. 

La fonction puissance "bat" la fonction logarithme en 0 et +∞. 


Comparaison puissance/exponentielle : 

Soit a et b > 0, alors 

lim 

x→+∞ 

xa = 0, lim 

ebx x→−∞ |xa |e bx = 0. 

La fonction exponentielle "bat" les fonctions puissance à l’infini. 

3.4.e Fonction x ↦→ u(x) v(x) 

Pour étudier ce genre de fonctions, il faut mettre sous forme exponentielle : 

u(x) v(x) = e v(x) ln(u(x)) , 

avec donc la condition ∀x ∈ Du, u(x) > 0, et utiliser ensuite les régles de dérivation d’une composée de fonctions : 

(u v ) ′ = (exp(v ln u)) ′ = 

 

v ′ ln u + vu′ 

 

u 

u 

v .

4. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES HYPERBOLIQUES 65 

4 Fonctions trigonométriques hyperboliques 

4.1 Cosinus et sinus hyperboliques 


On définit le cosinus hyperbolique, noté ch, et le sinus hyperbolique, noté sh par 

∀x ∈ R, ch(x) = ex + e−x , sh(x) = 

2 

ex − e−x . 

2 

ch est la "partie paire" de l’exponentielle, et sh en est la "partie impaire". 


ch est une fonction paire, et sh une fonction impaire. 


Les fonctions ch et sh sont dérivables et 


x −∞ 0 +∞ 

+∞ +∞ 

chx ↘ ↗ 

1 

shx −∞ − 0 + +∞ 

ch ′ = sh, sh ′ = ch. 

• 

1 

x −∞ 0 +∞ 

+∞ 

↗ 

shx 0 

↗ 

−∞ 

chx +∞ + 1 + +∞ 

• 

1 

ch 

sh



– ∀t ∈ R, cht + sht = e t . 

– ∀t ∈ R, ch 2 t − sh 2 t = 1. Les fonctions ch et sh permettent donc de paramétrer une hyperbole d’équation 

cartésienne x 2 − y 2 = 1. 

4.2 Tangente hyperbolique 


On définit la tangente hyperbolique, notée th par 

∀x ∈ R, thx = shx 

chx . 


La fonction th est impaire, continue et dérivable sur R et 

De plus 


∀x ∈ R, th ′ x = 1 − th 2 x = 1 

ch 2 x . 

lim th = −1 et lim th = +∞. 

−∞ +∞ 

4.3 Argument cosinus/sinus hyperbolique 

x −∞ 0 +∞ 

+∞ 

↗ 

thx 0 

↗ 

−∞ 

th ′ x = 1 

ch 2 x 0 + 1 + 0 

1 


La fonction sh définit une bijection strictement croissante de R → R, on peut donc définir la bijection réciproque 

R → R, notée argsh (prononcer "argument sinus hyperbolique"). Pour x ∈ R, argsh(x) est l’unique réel dont x 

est le sinus hyperbolique : 

∀x ∈ R, argsh(shx) = x 

∀x ∈ R, sh(argshx) = x. 

1

4. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES HYPERBOLIQUES 67 


La fonction ch définit une bijection strictement croissante de R + → [1, +∞[, on peut donc définir la bijection 

réciproque [1, +∞[→ R + , notée argch (prononcer "argument cosinus hyperbolique"). Pour x ∈ R, argch(x) est 

l’unique réel positif dont x est le coosinus hyperbolique : 

Remarque 4.1 

On a les identités suivantes : 

– ∀x ∈ R, ch(argsh(x)) = √ x 2 + 1. 

– ∀x ≥ 1, sh(argch(x)) = √ x 2 − 1. 


∀x ∈ R + , argch(chx) = x 

∀x ∈ [1, +∞[, ch(argchx) = x. 

La fonction argsh est dérivable sur R, et la fonctions argch est dérivable sur ]1, +∞[ et on a : 


∀x ∈ R, argsh ′ (x) = 

x −∞ 0 +∞ 

+∞ 

↗ 

argsh(x) 0 

↗ 

argsh ′ (x) = 1 

√ x 2 +1 

argsh 

argch 

1 

√ , ∀x > 1, argch 

x2 + 1 ′ 1 

(x) = √ . 

x2 − 1 

−∞ 

0 + 1 + 0 

4.4 Argument tangente hyperbolique 

• 

1 

x 1 +∞ 

+∞ 

argch(x) ↗ 

argch ′ (x) = 1 

√ x 2 −1 +∞ + 0 


La fonction th réalise une bijection strictement croissante de R →] − 1, 1[, on peut donc définir sa bijection 

réciproque argth :] − 1, 1[→ R (prononcer "argument tangente hyperbolique"). Pour x ∈] − 1, 1[, argth(x) est 

l’unique réel dont la tangente hyperbolique vaut x : 

• 

1 

∀x ∈ R, argth(th(x)) = x, 

∀x ∈] − 1, 1[, th(argth(x)) = x. 

0



La fonction argth est dérivable sur ] − 1, 1[, et on a 

∀x ∈] − 1, 1[, argth ′ (x) = 

1 

. 

1 − x2 Remarque 4.2 

ATTENTION : la fonction x ↦→ 1 

1−x2 peut être définie aussi sur ] − ∞, −1[ et sur ]1, +∞[, mais une primitive 

sur ces intervalle ne sera donc pas argth puisqu’elle n’y est pas définie ! Il faudra prendre x ↦→ argth 

1 

x . 


5 Fonction exponentielle complexe 

x −1 0 1 

+∞ 

↗ 

argthx 0 

↗ 

−∞ 

argth ′ x = 1 

1−x 2 +∞ + 1 + +∞ 

5.1 Dérivée d’une fonction à valeurs dans C 

• 

1 


Une fonction f : I ⊂ R −→ C est dite dérivable sur I si Re(f) et Im(f) sont dérivable sur I, et on définit alors 

f ′ par : 

f ′ = (Re(f)) ′ + i (Im(f)) ′ . 

Exemple 5.1 

– Soit a ∈ C, n ∈ N ∗ , alors (t ↦→ at n ) ′ = (t ↦→ nat n−1 ). 

– Si f et g sont des fonctions à valeurs dans C dérivables, alors on peut montrer que fg est dérivable et 

(fg) ′ = f ′ g + fg ′ 

• 

1

5. FONCTION EXPONENTIELLE COMPLEXE 69 

5.2 Dérivée de t ↦→ e φ(t) 


Si φ : I −→ C est une fonction dérivable, alors f définie par 

est aussi dérivable sur I et on a 

∀t ∈ I, f(t) = e φ(t) 

∀t ∈ I, f ′ (t) = (exp ◦φ) ′ (t) = φ ′ (t)e φ(t) . 

Ici, la règle de dérivation composée est exactement la même que pour une fonction à valeurs réelles. 

Exemple 5.2 

Dériver la fonction f définie par 

où ρ et θ sont des fonctions à valeurs réelles. 


∀t ∈ R, f(t) = ρ(t)e iθ(t) , 

Soit a ∈ C, alors la fonction t ↦→ e at est dérivable sur R et sa dérivée vaut 

t ↦→ ae at .

70 CHAPITRE 2. FONCTIONS USUELLES

Chapitre 3 

Équations différentielles 

1 Introduction 

Dans tout ce chapitre K désigne le corps R ou C. 


Équation différentielle ordinaire du premier ordre. 

Soit D ⊂ R × K, et f : D → K. L’équation 

y ′ = f(t, y) 

est une équation différentielle ordinaire du premier ordre car elle fait intervenir la fonction y ainsi que sa dérivée 

première. On appelle solution de cette équation toute fonction y : I → K dérivable sur I telle que : 

∀t ∈ I, (t, y(t)) ∈ D, et y ′ (t) = f(t, y(t)). 

Si K = R, les représentations graphiques des solutions sont appellées courbes intégrales de l’équation différentielle. 

On rajoute en général une condidtion initiale de type y(t0) = y0, qui assurera souvent l’unicité de la solution. 

On appelle alors ce couple équation différentielle - condition initiale un problème de Cauchy : 

y ′ (t) = f(t, y(t)) 

Exemple 1.1 


Équation différentielle ordinaire du deuxième ordre. 

Soit D ⊂ R × K × K, et f : D → K. L’équation 

y(0) = y0. 

y ′ = 3y 

y(0) = 2. 

y ′′ = f(t, y, y ′ ) 

est une équation différentielle ordinaire du deuxième ordre car elle fait intervenir la fonction y ainsi que ses 

dérivées premières et secondes. On appelle solution de cette équation toute fonction y : I → K deux fois dérivable 

sur I telle que : 

∀t ∈ I, (t, y(t), y ′ (t)) ∈ D, et y ′′ (t) = f(t, y(t), y ′ (t)). 

On rajoute en général une double condition initiale de type y(t0) = y0 et y ′ (t0) = z0, qui assurera souvent 

l’unicité de la solution. On appelle alors encore ce couple équation différentielle - condition initiale un problème 

de Cauchy : ⎧ ⎨ 

⎩ 

y ′′ (t) = f(t, y(t), y ′ (t)) 

y(t0) = y0 

y ′ (t0) = z0. 

71

72 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 

Exemple 1.2 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

y ′′ + y = 0 

y(0) = 1 

y ′ (0) = 0. 

Exemples de problèmes physiques conduisant à des Équations différentielles : 

– Charge d’un condensateur à travers une résistance : 

– Échanges thermiques : 

i 

E 

E = q 

q dq 

+ Ri donc E = + R 

C C dt . 

C T 

T0 Thermostat 

Le thermostat est à une température constance T0, et le corps C à une température variable T . Alors 

où K dépend du corps C. 

– Circuit RLC série : 

dT 

dt 

C 

= K(T − T0), 

U = q dq 

+ R 

C dt + Ld2 q 

. 

dt2 – Mouvement d’un poids attaché à un ressort de constante de raideur k et de longueur au repos l0 : 

– Équation du pendule simple : 

¨x + k 

m (x − l0) = 0. 

¨θ + g 

sin θ = 0. 

l 


Équation différentielle linéaire d’ordre 1. 

Soient a, b, c trois fonctions continues I → K. On appelle équation différentielle linéaire d’ordre 1 toute équation 

de la forme : 

(E) a(t)y ′ (t) + b(t)y(t) = c(t). 

Une fonction f est dite solution de (E) si F : I → K est dérivable et 

R 

∀t ∈ I, a(t)f ′ (t) + b(t)f(t) = c(t). 

Lorsque c = 0, l’équation est dite homogène. On appelle équation homogène associée à (E), notée (H) l’équation 

(H) a(t)y ′ (t) + b(t)y(t) = 0.

2. ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE D’ORDRE 1 73 

Remarque 1.1 

Si la fonction a ne s’annule pas, l’équation (E) est équivalente à 

avec α = b 

a 

et β = c 

a . 


y ′ (t) + α(t)y(t) = β(t), 

– L’ensemble des solutions de (H) a une structure d’espace vectoriel, c’est donc un ensemble stable par 

combinaison linéaire. 

– Si f0 est une solution particulière de (E), alors l’ensemble des solutions de (E) est donné par 


Quelques espaces fonctionnels : 

Soit I un intervalle de R, on définit : 


{f0 + g, g ∈ S} où S = {solutions de E}. 

D n (I, R) = {f : I → R n fois dérivable} . 

C n (I, R) = {f : I → R n fois dérivable de dérivée nième continue} . 

D ∞ (I, R) = C ∞ (I, R) = 

D n (I, R) = 

C n (I, R). 

n∈N 

n∈N 

C 0 (I, R) ⊃ D 1 (I, R) ⊃ C 1 (I, R) ⊃ ... ⊃ D n (I, R) ⊃ C n (I, R) 

2 Équation différentielle linéaire d’ordre 1 

2.1 Équation homogène 

On considère l’équation suivante, dite "homogène" car le second membre est nul : 

(H) y ′ + a(x)y = 0, 

où a est une fonction continue I → R. Résoudre l’équation (H), c’est trouver une fonction dérivable f : I → R telle 

que, pour tout x ∈ I, on a : 

Résolution de (H) : 

Soit A : I → R une primitive de a, on a alors 

(H) ⇔ y ′ + A ′ y = 0 

f ′ (x) + a(x)f(x) = 0. 

⇔ e A (y ′ + A ′ y) = 0 car e A ne s’annule pas sur I 

⇔ e A y ′ = 0 

⇔ e A y = C où C ∈ R est une constante 

⇔ y(x) = Ce −A(x) , x ∈ I.



Solutions de l’équation homogène. 

L’ensemble S des solutions de l’équation homogène (H) : y ′ + ay = 0 est 

S = Ce −A , C ∈ R , où A ′ = a. 

C’est une droite vectorielle (espace vectoriel dont tous les éléments sont proportionnels). 

Exemple 2.1 

Résoudre sur R l’équation différentielle : 

y ′ + 1 

y = 0 

1 + t2 Remarque 2.1 

L’équation (H)admet une unique solution lorsqu’on impose une condition initiale du type y(t0) = α0. On a alors 

affaire à un problème de Cauchy : 

y ′ + ay = 0 

y(t0) = α0. 

On a alors Ce −A(t0) = α0, donc C = α0e A(t0) . L’unique solution du problème de Cauchy est alors : 

y : t ↦→ α0e A(t0)−A(t) . 

2.2 Équation avec second membre : (E) y ′ + ay = b 

Remarque 2.2 

Si on connait une solution particulière, alors on connait toutes les solutions. En effet : 

Soit y0 une solutions particulière de (E), alors : 

y ′ 0 + ay0 = b 

y ′ + ay = b 

(y − y0) ′ + a(y − y0) = 0. 

et (y − y0) est alors solution de l’équation homogène associée : 

(H) : y ′ + ay = 0. 

On a donc y − y0 = Ce −A , où C est une constante réelle et A une primitive de a, et donc 


y = y0 + Ce −A . 

L’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire du premier ordre y ′ + ay = b, avec a, b : I → R des 

fonctions continues est 

SE = y0 + Ce −A , C ∈ R , 

y0 étant une solution particulière et A une primitive de a. SE = y0 + SH est une droite affine (C’est-à-dire une 

droite vectorielle translatée).

3. EDO D’ORDRE 2 À COEFFICIENTS CONSTANTS 75 

Exemple 2.2 

Résoudre l’équation différentielle suivante : 

où R, C, V0 sont des constantes. 

R dq q 

+ 

dt C 


Principe de superposition. 

Soit (E) : y ′ + ay = b1 + b2, avec a, b1, b2 ∈ C(I, R). 

Si y1 est solution de (E1) : y ′ + ay = b1 et y2 est solution de (E2) : y ′ + ay = b2, alors y1 + y2 est solution de 

(E). 

Méthode de variation de la constante : 

Le principe de cette méthode est de chercher une solution particulière f de (E) : y ′ + ay = b sous la forme : 

= V0, 

f(t) = λ(t)e −A(t) , 

avec A ′ = a et λ : I → R dérivable, d’où le nom "variation de la constante" puisque l’on prend la solution de l’équation 

homogène et on remplace la constante C par une fonction dérivable (et donc qui varie). 

On a alors : 

f ′ (t) = λ ′ (t)e −A(t) − λ(t)a(t)e −A(t) , 

et en réinjectant dans l’équation différentielle on obtient : 

On obtient donc 

et on intègre pour trouver λ : 

Au final, on obtient : 

Exemple 2.3 

f ′ (t) + a(t)f(t) = λ ′ (t)e −A(t) − λ(t)a(t)e −A(t) + a(t)λ(t)e −A(t) 

= λ ′ (t)e −A(t) 

= b(t) 

λ ′ (t) = b(t)e A(t) , 

λ(t) = C + 

t 

t0 

b(s)e A(s) ds. 

f(t) = Ce −A(t) 

t 

 

+ 

t0 

sol. de l’eq. homogène 

Sol. particulière 

b(s)e A(s)−A(t) ds . 

 

À l’aide du principe de supersposition et de la variation de la constance, résoudre les équations différentielles 

suivantes : 

1. y ′ − 2y = x 2 

2. y ′ + y = 2e x 

3. y ′ + y = 2e x + 4 sin x + 3 cos x. 

3 EDO d’ordre 2 à coefficients constants 

3.1 Équation homogène 

On considère l’équation suivante, dite "homogène" car le second membre est nul : 

(H) y ′′ + ay ′ + by = 0, 

où a, b sont des constantes réelles. Résoudre l’équation (H), c’est trouver une fonction deux fois dérivable f : I → R 

telle que, pour tout x ∈ I, on a : 

f ′′ (x) + af ′ (x) + bf(x) = 0.


Résolution de (H) : 

On introduit tout d’abord l’équation caractéristique, qui est une équation polynômiale du second degré : 

r 2 + ar + b = 0, 

et qui admet deux racines dans C, r1 et r2, éventuellement réelles et eventuellement confondues. Ces racines vérifient : 

r1 + r2 = −a 

r1r2 = b 

L’équation (H) est alors équivalente à y ′′ − (r1 + r2)y ′ + r1r2y = 0, ce qui peut se réécrire : 

(H) ⇔ 

y ′ − r1y = z 1) 

z ′ − r2z = 0 2) 

On est donc ramené à la résolution de deux équation différentielles d’ordre 1 ! L’équation 2) a donc pour solutions 

et donc l’équation 1) nous donne 

S2 = t ↦→ C2e r2t , C2 ∈ R , 

y ′ − r1y = C2e r2t . 

On utilise alors la méthode de variation de la constante pour trouver les solutions de 1). On les cherche sous la forme 

On a alors f ′ (t) = λ ′ (t)e r1t + r1λ(t)e r1 t et donc 

Cela nous donne 

f(t) = λ(t)e r1t . 

C2e r2t = f ′ (t) − r1f(t) = λ ′ (t)e r1t . 

λ ′ (t) = C2e (r2−r1)t . 

Il faut alors différencier deux cas : 

Premier cas : r1 = r2, et donc le discriminant ∆ de l’équation caractéristique est nul. Notons donc r0 la racine double. 

On a alors 

λ ′ (t) = C2 ⇒ λ(t) = C1 + C2t 

et finalement : 

f(t) = (C1 + C2t)e r0t . 

Deuxième cas : r1 = r2, et donc le discriminant ∆ de l’équation caractéristique est non nul. On a donc 

et donc, en posant C ′ 2 = C2 

r2−r1 

λ ′ (t) = C2e (r2−r1)t ⇒ λ(t) = C1 + C2 

qui est aussi une constante : 

f(t) = C1e r1t + C ′ 2e r2t 

r2 − r1 

e (r2−r1)t 

Dans le cas où les racines r1 et r2 sont réelles c’est fini. Dans le cas où r1 et r2 sont complexes conjuguées, comme on 

veut des solutions à valeurs réelles, il faut encore modifier un peu la forme des solutions. Soit r1 = α + iβ et r2 = α − iβ, 

avec (α, β) ∈ R 2 . On a donc : 

f(t) = C1e αt+iβt + C ′ 2e αt−iβt , 

avec C1 = k1 + il1, C ′ 2 = k2 + il2 des constantes complexes. On a alors 

f(t) = (k1 + il1)e αt (cos(βt) + i sin(βt)) + (k2 + il2))e αt (cos(βt) − i sin(βt)) 

= [(k1 + k2)e αt cos(βt) − (l1 − l2)e αt sin(βt)] 

+ i[(l1 + l2)e αt cos(βt) + (k1 − k2)e αt sin(βt] 

Puisque les solutions sont à valeurs réelles, on ne garde que la partie réelle ce qui donne 

f(t) = (k1 + k2)e αt cos(βt) − (l1 − l2)e αt sin(βt), 

Que l’on peut réécrire, en notant D1 = k1 + k2 et D2 = l2 − l1 : 

f(t) = e αt (D1 cos(βt) + D2 sin(βt)) .

3. EDO D’ORDRE 2 À COEFFICIENTS CONSTANTS 77 


Résolution de l’équation (H) : y ′′ + ay ′ + by = 0, (a, b) ∈ R 2 : 

Soit (c) : r 2 + ar + b, l’équation caractéristique associée, et ∆ son discriminant. 

– Si ∆ > 0, soit r1 et r2 les deux solutions réelles distinctes de (c), alors 

– Si ∆ = 0, soit r0 la solution double de (c), alors 

SH = t ↦−→ C1e r1t + C2e r2t , (C1, C2) ∈ R 2 . 

SH = t ↦→ (C1 + C2t)e r0t . 

– Si ∆ < 0, Soit α + iβ et α − iβ les deux racines complexes conjuguées de (c), alors 

SH = t ↦→ e αt (C1 cos(βt) + C2 sin(βt)) 

3.2 Équation avec second membre de la forme P (x)e mx 

Remarque 3.1 

On ne peut pas résoudre explicitement une équation du second ordre avec un second membre quelconque, on va 

donc se borner à la résolution lorsque le second membre est un produit d’exponentielle (réelle ou complexe, ce 

qui inclut donc les fonctions sinus et cosinus) et d’un polynôme. 


Soit (E) : y ′′ + ay ′ + by = P (x)e mx , où P est un polynôme et m ∈ C. On note (c) : r 2 + ar + b l’équation 

caractéristique associée. Il faut chercher une solution particulière sous la forme 

1. x ↦→ Q(x)e mx avec deg(Q) = deg(P ) si m n’est pas racine de l’équation caractéristique (c). 

2. x ↦→ Q(x)e mx avec deg(Q) = deg(P ) + 1 si m est racine simple de l’équation caractéristique (c). 

3. x ↦→ Q(x)e mx avec deg(Q) = deg(P ) + 2 si m est racine double de l’équation caractéristique (c). 

Remarque 3.2 

Lorsque l’on a un second membre contenant un sinus ou un cosinus, on peut résoudre avec l’exponentielle 

complexe correspondante, puis reprendre la partie réelle (pour le cosinus) ou imaginaire (pour le sinus) de la 

solution trouvée pour avoir une solution de l’équation initiale. Par exemple, pour trouver une solution particulière 

de 

(E) : y ′′ + 2y ′ + 3y = sin x, 

On cherche une solution particulière de 

(E ′ ) : z ′′ + 2z ′ + 3z = e ix , 

puis on en récupère la partie imaginaire pour avoir une solution de (E). 

Cela est dû au fait qu’on peut permuter les dérivation et les multiplications par un réel avec les fonctions partie 

réelle/imaginaire. Donc en prenant la partie imaginaire de (E ′ ) on récupère : 

Im(z) est donc bien solution de (E). 

Im(z ′′ + 2z ′ + 3z) = Im(e ix ) 

Im(z ′′ ) + 2Im(z ′ ) + 3Im(z) = sin x 

(Im(z)) ′′ + 2(Im(z)) ′ + 3Im(z) = sin x


Exemple 3.1 

Résoudre les équations suivantes : 

– y ′′ + y ′ + y = sin x. 

– y ′′ − 2y ′ + y = xe x . 

– y ′′ − 3y ′ + 2y = e x sin x + e x cos x.

Chapitre 4 

Courbes paramétrées - Coniques 

Dans tout ce chapitre, P désigne le plan affine euclidien, R(O, −→ i , −→ j ) un repère orthonormée direct et −→ P les vecteurs 

du plan. 

I désigne un inervalle de R non vide et non réduit à un point. 

1 Courbes paramétrées 

1.1 Fonctions vectorielles 


Une fonction vectorielle est une fonction 

−→ f : 

 

I −→ −→ P 

t ↦−→ −→ f (t) 

Pour t ∈ R, on note (x(t), y(t)) les coordonnées de −→ f (t) dans la base ( −→ i , −→ j ). On a donc −→ f (t) = x(t) −→ i + y(t) −→ j . 


Soit −→ f : I −→ J une fonction vectorielle, −→ l ∈ −→ P et soit t0 un élément (ou une borne) de I. On dit que −→ f 

admet pour limite le vecteur −→ l en t0 lorsque 

On note 


lim 

t→t0 

−→ f (t) − −→ l = 0 

−→ −→ −→ −→ 

lim f (y) = l ou encore f (t) −−−→ l 

t→t0 

t→t0 

Si −→ f : I −→ −→ P est une fonction vectorielle, x et y ses fonctions coordonnées, et −→ l admet pour coordonnées 

(a, b), alors 

 

−→ −→ x(t) 

lim f (t) = l ⇔ 

t→t0 

y(t) 

−−−→ 

t→t0 

−−−→ 

t→t0 

a 

b 


Soit −→ f : I −→ −→ P une fonction vectorielle et t0 ∈ I. On dit que −→ f est continue en t0 lorsque 

lim f(t) = f(t0) 

t→t0 

79

80 CHAPITRE 4. COURBES PARAMÉTRÉES - CONIQUES 

Remarque 1.1 

Si −→ f (t) = x(t) −→ i + y(t) −→ j , il découle de la proposition précédente que −→ f est continue en t0 si et seulement si x 

et y le sont. 


Soit −→ f : I −→ −→ P une fonction vectorielle et t0 ∈ I On dit que f est dérivable en t0 s’il existe −→ l ∈ −→ P tel que 

On écrit alors −→ f ′ (t0) = −→ l . 

Remarque 1.2 

f(t) − f(t0) 

t − t0 

−−−→ 

t→t0 

Si −→ f (t) = x(t) −→ i + y(t) −→ j il découle de la proposition précédente que −→ f est dérivable en t0 si et seulement si x 

et y le sont. On a alors 

−→ f ′ (t0) = x ′ (t) −→ i + y ′ (t) −→ j . 


Soit −→ f , −→ g : I −→ −→ 

P dérivables, alors 

−→f 

′ 

– · 

−→ 

g = −→ f ′ · −→ g + −→ f · −→ g ′ . 

 

– det( −→ f , −→ ′ 

g ) 

= det( −→ f ′ , −→ g ) + det( −→ f , −→ g ′ ). 

– Si −→ f ne s’annule pas, −→ f ′ = −→ f ′ · −→ f 

−→ f . 


Une fonction vectorielle −→ f : I −→ −→ P est dite de classe C k , k ∈ N si elle est k fois dérivable et que sa dérivée 

kième est continue. On note C k (I, −→ P ) l’ensemble des fonction vectorielles du plan de classe C k définies sur I. 

C’est un R-espace vectoriel. 

1.2 Arc paramétré 


Une courbe paramétrée (ou arc paramétré) C, de classe Ck est la données d’un couple C = (I, −→ f ), où I est un 

intervalle de R, −→ f ∈ Ck (I, −→ P ) une fonction vectorielle. On définit le support de la courbe par 

 

Γ = M(t); t ∈ I, −→ f (t) = −−→ 

 

OM(t) . 

Exemple 1.1 

– I = [0, 2π] et −→ f (t) = (cos t, sin t). 

– I = − π 

2 

, π 

2 

et −→ f (t) = 1 

cos t , tan t . 

Remarque 1.3 

Plusieurs arcs paramétrés différentes peuvent avoir le même support. 

Interprétation cinématique : 

– La courbe C = (I, −→ f ) est appelée mouvement et le support Γ la trajectoire. 

– Le vecteur −→ f (t) = −−→ 

OM(t) est appelé vecteur position. 

−→ l .

1. COURBES PARAMÉTRÉES 81 

– Le vecteur −→ f ′ (t) = d−−→ OM 

dt est appelé vecteur vitesse. Lorsqu’il est non nul, on dit que le point est un point 

régulier. Si tous les points de la courbe sont régulier la courbe est dite régulière. 

– Le vecteur −→ f ′′ (t) = d2−−→ OM 

dt2 est appelé vecteur accélération. Lorsque −→ f ′ (t) et −→ f ′′ (t) sont non colinéaires, on 

dit que le point est un point birégulier. Si tous les points de la courbe sont biréguliers, la courbe est dite 

birégulière. 

1.3 Étude locale en un point 

1.3.a Tangente en un point 


Si M(t0) est un point régulier d’un arc paramétré, la droite passant par M(t0) et dirigée par −→ f ′ (t0) est appelée 

tangente à la courbe au point M(t0). 

Remarque 1.4 

La tangente est, de manière générale, définie comme limite de la sécante. On pourra d’ailleurs aussi la définir 

lorsque le point est singulier (non régulier) et on verra que la direction de le tangente est donnée par le premier 

vecteur non nul parmi 

−→ f ′ (t0), −→ f ′′ (t0), −→ f ′′′ (t0), ... 

−→ ′ f (t0) 

• 

M(t0) 

Exemple 1.2 

Trouver une équation cartésienne pour t = 1 de la tangente à la courbe C définie par : 

1.3.b Branches infinies 


−→ −→ 

f : R −→ P 

 

1 

t ↦−→ 1 − t, 

1 + t2 

Soit C = (I, −→ F ) un arc paramétré et t0 ∈ I. On dit que C admet une branche infinie en t0 si 

ou de manière équivalente 

Étude des branches infinies : 

– Si x(t) −−−→ 

t→t0 

– Si y(t) −−−→ 

t→t0 

– Si y(t) −−−→ 

t→t0 

±∞ et y(t) 

y 

−−−→ 

lim x(t) = ±∞ ou lim y(t) = ±∞, 

t→t0 

t→t0 

lim 

t→t0 

−→ f (t0) = +∞. 

∈ R, on a une asymtote horizontale d’équation y = y0. 

t→t0 0 

x 

±∞ et x(t) −−−→ ∈ R, on a une asymptote verticale d’équation x = x0. 

t→t0 0 

±∞ et x(t) ± 

−−−→ ∞, on étudie le rapport 

t→t0 

y(t) 

x(t) et sa limite lorsque t → t0. Alors 

Si y(t) 

x(t) −−−→ 0 on a une branche parabolique dans la direction de l’axe (Ox). 

t→t0 

Si y(t) 

x(t) −−−→ ±∞ on a une branche parabolique dans la direction de l’axe (Oy). 

t→t0 

Si y(t) 

x(t) −−−→ 

t→t0 

a ∈ R, on pose b = lim y(t) − ax(t). Si b ∈ R, on a une asymptote oblique d’équation y = ax + b, et 

t→t0 

si b = ±∞ on a une branche parabolique dans la direction y = ax.


1.4 Étude globale d’une courbe paramétrée 

L’étude d’une courbe paramétrée se fait selon la méthode suivante : 

1. Déterminer D−→ f et le réduire au moyen de symétries/périodicité en un domaine d’étude D ′ . 

2. Dresser le tableau de variations de x et y sur D ′ , ainsi que les limites particulières. 

3. Déterminer les points singuliers et les tangentes particulières correspondantes. 

4. Étudier les branches infinies. 

5. Déterminer les points multiples. 

6. Tracer la courbe. 

1.4.a Réduction du domaine d’étude 

1. On détermine tout d’abord le domaine de définition de l’arc, qui est l’intersection des domaines de définition de x 

et y. 

2. S’il existe une période commune T à x et y, on peut réduire le domaine d’étude à un intervalle de largeur T , par 

exemple [0, T ] ou − T 

 

T 

2 , 2 ,etc... 

3. On recherche ensuite des symétries (lorsque le domaine de définition est lui-même symétrique par rapport à O ou 

éventuellement un autre point). 

– Si x(−t) = x(t) et y(−t) = y(t) alors −→ f (−t) = −→ f (t) et on étudie sur D ∩ R + . 

– Si x(−t) = −x(t) et y(−t) = y(t) alors −→ f (−t) est le symétrique de −→ f (t) par rapport à l’axe (Oy), on étudie 

donc sur D ∩ R + , puis on symétrise par rapport à (Oy) pour récupérer l’intégralité de la courbe. 

– Si x(−t) = x(t) et y(−t) = −y(t) alors −→ f (−t) est le symétrique de −→ f (t) par rapport à l’axe (Ox), on étudie 

donc sur D ∩ R + , puis on symétrise par rapport à (Ox) pour récupérer l’intégralité de la courbe. 

– Si x(−t) = −x(t) et y(−t) = −y(t) alors −→ f (−t) est le symétrique de −→ f (t) par rapport à l’origine O, on étudie 

donc sur D ∩ R + , puis on symétrise par rapport à O pour récupérer l’intégralité de la courbe. 

– Si x(−t) = y(t) et y(−t) = x(t) alors −→ f (−t) est le symétrique de −→ f (t) par rapport à la première bissectrice, 

on étudie donc sur D ∩ R + , puis on symétrise par rapport à la première bissectrice pour récupérer l’intégralité 

de la courbe. 

Remarque 1.5 

Si a ∈ D et D est symétrique par rapport à a on peut appliquer les résultats précédents si x(2a − t) = ±x(t) et 

y(2a − t) = ±y(t). 

Exemple 1.3 

Trouver le domaine de définition et l’intervalle d’étude de 

x ↦→ sin(2t) cos 2 (t) 

y ↦→ cos(2t) sin 2 t 

1.4.b Variations et limites 

x ↦→ cos 3 t 

y ↦→ sin 3 t 

On dresse ici simultanément le tableau de variations de x et de y, avec les limites aux bornes du domaine d’étude, 

et les valeurs de x et y pour les points vérifiant x ′ (t) = 0 ou y ′ (t) = 0. Lorsque x ′ (t) = y ′ (t) = 0 on a un point singulier, 

sinon on a un point régulier. 

Exemple 1.4 

Dresser le tableau de variations des courbes suivantes sur leur domaine d’étude : 

 

x ↦→ 2 sin(2t) cos (t) 

y ↦→ cos(2t) sin 2 

x ↦→ 3 cos (t) 

t y ↦→ sin 3 t 

1.4.c Tangentes 

Il s’agit ici de déterminer les points singuliers de la courbe (en pratique un nombre fini). En un point régulier 

la tangente est dirigée par le premier vecteur dérivé −→ f ′ (t0) ; en un point singulier non allons voir plus précisément 

comment est la tangente.


Étude des points singuliers : 

Soit C = (I, −→ f ) un arc paramétré de classe C k , k ≥ 2, et soit t0 tel que −→ f ′ (t0) = −→ 0 , c’est-à-dire que M(t0) défini par 

−−→ 

OM(t0) = −→ f (t0) est un point singulier. On suppose qu’il existe au moins un vecteur dérivé non nul parmi 

 

On note p = min l ≥ 1; −→ f (k) (t0) = −→ 

0 . 


−→ f ′ (t0), −→ f ′′ (t0), ..., f (k) (t0). 

Au point −→ f (t0), il existe une et une seule tangente dirigée par −→ f (p) (t0). Si, de plus on note 

 

q = min l > p; −→ f (p) (t0) et −→ f (l) 

(t0) ne sont pas colinéaires 

alors on a les propriétés suivantes : 

Remarque 1.6 

q 

p 

impair 

pair 

• 

pair impair 

Point de rebroussement 

de première espèce 

• 

Point de rebroussement 

de deuxième espèce 

• 

Point d’inflexion 

• 

Point ordinaire 

– Pour un point birégulier (p = 1, q = 2) on a un point ordinaire. 

– Pour un point régulier (p = 1) on a un point ordinaire ou un point d’inflexion. 

Exemple 1.5 

Trouver les points singuliers de la courbe suivante et déterminer leur nature : 

x(t) = (t + 1)e t 

y(t) = t 2 e t


1.4.d Branches infinies 

Exemple 1.6 

Déterminer les branches infinies de x(t) = t 

1+t 3 

y(t) = t 2 

1+t 3 

1.4.e Points multiples 

Le tracé peut mettre en évidence des points doubles, et plus généralement multiples dont on cherchera alors les 

coordonnées. 


M(x0, y0) est un point multiple d’une courbe paramétrée (I, −→ f ) lorsqu’il existe t1 = t2 ∈ D tel que −→ f (t1) = 

−→ f (t2) = −−→ 

OM. L’ordre d’un tel point est le nombre de paramètres t qui permettent de l’obtenir. On cherche 

également les tangentes aux points multiples (autant de tangentes que l’ordre du point). 

Remarque 1.7 

En pratique, lorsque l’on recherche un point double, et donc deux paramètres différents t1 et t2, on peut être 

amenés à trouver d’abord P = t1t2 et S = t1 + t2, puis résoudre l’équation du second degré t 2 − St + P = 0. 

C’est en général le cas lorsque les fonctions x et y sont des polynômes ou des fractions rationnelles. 

Exemple 1.7 

1.4.f Exemples pratiques 

Faire l’étude complète des courbes suivantes : 

1. x(t) = 1−t2 

1+t 2 et y(t) = 2t 

1+t 2 . 

2. x(t) = cos 3 t et y(t) = sin 3 t. 

3. x(t) = t 

1+t 4 et y(t) = t3 

1+t 4 . 

4. x(t) = 1−t2 

1+t 2 et y(t) = t 1−t2 

1+t 2 . 

x(t) = t + 1 + 1 

t−1 

y(t) = t 2 + 1 + 1 

t 

5. x(t) = t 

1+t 3 et y(t) = t3 

1+t 3 . 

6. x(t) = 2 cos t + cos(2t) et y(t) = 2 sin t − sin(2t), (Deltoïde). 

Remarque 1.8 

Pour plus de précision, on peut parfois rechercher l’ensemble des points d’inflexion d’une courbe : 


Soit C = (I, −→ f ) un arc paramétré, un point M de paramètre t est un point d’inflexion de la courbe si c’est un 

point qui n’est pas un point de rebroussement, au niveau duquel la courbe est traversée par sa tangente. 

Pour trouver en pratique les points réguliers qui sont potentiellement des points d’inflexions, on cherche tous les points 

réguliers qui ne sont pas biréguliers, donc les points pour lesquels −→ f ′ (t) et −→ f ′′ (t) sont colinéaires, et donc les paramètres 

t0 pour lesquels : 

det( −→ f ′ (t0), −→ f ′′ (t0)) = 0. 

Il reste ensuite à déterminer le nombre 

q = min 

 

l > 1; −→ f ′ (t0) et −→ f (l) (t0) ne sont pas colinéaires 

Selon la parité de q on aura soit un point d’inflexion (q impair) soit un point ordinaire(q pair). 

 

.


1.5 Étude d’une courbe en coordonnées polaires 


Soit I un intervalle de R et une fonction ρ : I → R. L’ensemble des points de cordonnées polaires (θ, ρ(θ)), pour 

θ ∈ I est appelé courbe d’équation polaire r = ρ(θ). 

Remarque 1.9 

On peut définir cette courbe par paramétrage en posant, pour θ ∈ I, 

−→ f (θ) = ρ(θ) cos θ −→ i + ρ(θ) sin θ −→ j = ρ(θ) −→ u (θ). 

On peut donc toujours ramener l’étude d’une courbe en polaire à l’étude d’une courbe paramétrée. 

Le plan d’étude est le suivant : 

Méthode d’étude : 

1. Domaine de définition de ρ et réduction du domaine d’étude. 

2. Tableau de variations de ρ. 

3. Tangentes. 

4. Branches infinies. 

5. Points multiples. 

6. Tracer la courbe à l’aide de quelques tangentes. 

Dans la suite, ρ désigne une fonction définie sur D à valeurs dans R, et (D, −→ f ) désigne la courbe paramétrée d’équation 

polaire r = ρ(θ). On note M(θ) le point de coordonnées polaires (θ, ρ(θ)) : 

1.5.a Réduction du domaine d’étude 

−→ f (θ) = −−→ 

OM(θ). 

On étudie tout d’abord si la fonction ρ est périodique (ce qui sera souvent le cas) 

– Si ρ est 2πl périodique, avec l ∈ N ∗ , on limite l’étude de la courbe à un intervalle de longueur 2πl. 

– Si ρ est 2πl + π périodique, avec l ∈ N ∗ , on limite l’étude de la courbe à un intervalle de longueur 2πl + π, puis 

on symétrise par rapport à l’origine O. 

– De façon plus générale, si T est une période de ρ, on étudie la courbe sur un intervalle de longueur T , puis on 

récupère le reste de la courbe en effectuant des rotations d’angle T . 

On étudie également la parité de ρ : 

– si ρ est paire, on étudie sur un intervalle symétrique par rapport à O, on ne garde que la partie positive de 

l’intervalle et on récupère le reste de la courbe en effectuant une symétrie par rapport à l’axe (Ox). 

– Si ρ est impaire, on étudie sur un intervalle symétrique par rapport à O, on ne garde que la partie positive de 

l’intervalle et on récupère le reste de la courbe en effectuant une symétrie par rapport à l’axe (Oy). 

Remarque 1.10 

Si le domaine est symétrique par rapport à un point a et que l’on a ρ(2a − θ) = ±ρ(θ), on peut faire la même 

chose qu’avec la parité, en symétrisant cette fois par rapport à la droite d’équation θ = a ou θ = a + π 

2 . 

1.5.b Tableau de variations 

On dresse ici le tableau de variations de ρ sur le domaine d’étude, comme pour une fonction classique.


1.5.c Tangentes 


Soit C = (I, −→ f ) une courbe d’équation r = ρ(θ) 

– Si ρ est dérivable en θ ∈ I, alors 

−→ f ′ (θ) = ρ ′ (θ) −→ u (θ) + ρ(θ) −→ v (θ). 

On utilise ici la loi de dérivation d’un produit qui fonctionne aussi pour un produit fonction scalaire/fonction 

vectorielle. 

– En particulier, si ρ(θ) = 0 le point est régulier. 

– Si ρ(θ) = 0, et que ρ ′ (θ) = 0, la courbe admet au point de paramètre θ une tangente dirigée par −→ u (θ). 

Exemple 1.8 

– r = cos θ. 

– r = cos θ 

3 . 

1.5.d Branches infinies 


Soit θ0 ∈ I, ou une borne de I. La courbe d’équation r = ρ(θ) admet une branche infinie en θ0 si 

lim |ρ(θ)| = +∞. 

θ→θ0 

Remarque 1.11 

Cette définition coïncide avec celle des courbes paramétrées. En effet 

 

|ρ(θ) cos θ| → +∞ 

ρ(θ) → +∞ ⇔ 

ou |ρ(θ) sin θ| → +∞ 

Lorsque θ0 = ±∞, il n’y a pas d’asymptote ni de branche parabolique (la courbe fait une sorte de spirale) 

Lorsque θ0 ∈ R, on se ramène a une étude en coordonnées cartésiennes pour trouver la nature de la branche infinie 

(asymptote ou branche parabolique). 

Exemple 1.9 

– r = 1 

θ . 

– r = θ 

θ− π . 

3 

– r = 1 

θ2 . 

1.5.e Points multiples 

On distingue les points pour lesquels ρ(θ) = 0 et les autres. 

– Pour savoir si O est un point multiple, on résout ρ(θ) = 0. 

– Pour déterminer les autres points multiples, on résout : 

 

ρ(θ + 2kπ) = ρ(θ) k ∈ Z ∗ 

ρ(θ + (2k + 1)π) = −ρ(θ) k ∈ Z 

1.5.f Exemples concrets 

Faire l’étude des courbes paramétrées en polaire suivantes : 

ρ(θ) = sin θ 

1−2 cos θ 

ρ(θ) = θ+1 

θ−1 

ρ(θ) = a cos(2θ)

2. CONIQUES 87 

2 Coniques 

2.1 Définition monofocale 


Soit D une droite du plan P, F /∈ D un point du plan, et e > 0 un réel. L’ensemble 

C = {M ∈ P, d(M, F ) = ed(M, D)} 

est appelé conique de foyer F , de directrice D et d’excentricité e. 

Plus précisément, C est 

– Une ellipse si e < 1, 

– Une parabole si e = 1, 

– Une hyperbole si e > 1. 

Remarque 2.1 

– La droite perpendiculaire à D, passant par F est appelée axe focal. C’est une axe de symétrie de la conique C. 

– Si on note h = d(F, D), p = eh est appelé le paramètre. p est la distance de F aux points de C situés sur la 

droite passant par F et parallèle à D. 

2.1.a Parabole (e = 1) 

D 

d(M, D) 

h 

M 

• 

MF 

• 

F 

p 

axe focal 

Soit P la parabole de foyer F et de directrice D (F /∈ D). 

On se place dans le repère orthonormé centré en F , ayant pour axe des abscisses l’axe focal, tel que D ait pour équation 

x = −h = −p. On a alors pour M(x, y) ∈ P : 

Une équation de P est donc : 

En posant Y = y et X = x − p 

2 

MF = x 2 + y 2 

et d(M, D) = (x + p) 2 . 

y 2 − 2px − p 2 = 0. 

on obtient l’équation réduite d’une parabole : 

Y 2 = 2pX. 

La nouvelle origine du repère − p 

2 , 0 est le sommet de la parabole, c’est l’intersection de la parabole avec l’axe focal.


D 

• 

S 

Réciproquement, pour p = 0 la coube d’équation Y 2 = 2pX est une parabole de foyer p 

2 , 0 , et de directrice d’équation 

X = − p 

2 . L’origine du repère est le sommet de la parabole. 

Paramétrage : La parabole d’équation Y 2 = 2pX peut se paramétrer par 

Comme 

• 

F 

X(t) = 2pt 2 , Y (t) = 2pt, t ∈ R. 

Y (t) 

X(t) → 0, on a deux branches paraboliques ayant pour direction l’axe des abscisses. 


Propriété des tangentes : 

Soit P une parabole et M(x, y) ∈ P . 

Soit D1 la droite passant par M et parallèle à l’axe focal. 

Soit D2 la droite (MF ). 

Soit D3 la tangente à P au point M. 

Alors D1 est le symétrique de D2 par rapport à D3, et donc le petit angle non orienté θ formé par les droites D1 

et D3 est le même que le petit angle non orienté formé par les droites D2 et D3. 

D 

• 

S 

M 

• 

θ 

En termes physiques, si un rayon arrive parallèlement à l’axe focal et se réfléchit sur la parabole en suivant les lois de 

Snell-Descartes, il passera par le foyer après réflexion. C’est le principe des antennes paraboliques : leur axe focal passe 

par le satellite dont elles reçoivent le signal, et les rayons provenant du satellite passent par le foyer après réflexion sur 

la parabole, et le récepteur du signal est placé au foyer. 

• 

F 

θ 

D3 

D1 

D2


2.1.b Ellipse (e < 1) 

Soit E l’ellipse d’excentricité e < 1, de foyer F et de directrice D. On se place dans le même repère que pour l’étude 

de la parabole, c’est-à-dire le repère orthonormé d’origine F et d’axe des abscisses l’axe focal. On a alors 

MF = ed(M, D) ⇔ x 2 + y 2 = e 2 (x + h) 2 

⇔ x 2 (1 − e 2 ) + y 2 − 2he 2 x − e 2 h 2 = 0 

On pose X = x − he2 

1−e 2 et Y = y. Dans ce nouveau repère E a pour équation : 

X 2 + 

2 Y 

1 − e2 = α, avec α = h2e2 (1 − e2 > 0. 

) 2 

On obtient l’équation réduite d’une ellipse dans un repère orthonormé : 

X 2 

a 

2 + Y 2 

= 1, 

b2 avec a = he 

1−e2 et b = a √ 1 − e2 < a. 

Dans ce repère, le foyer F a pour coordonnées (−c, 0) avec c = he2 

1−e2 = ea. 

Réciproquement, toute courbe d’équation 

X2 2 Y 

+ = 1 

a2 b2 dans un repère orthonormé est une ellipse (0 

Remarque 2.2 

D D ′ 

h 

• 

S 

• 

F 

p 

c a 

O 

– Dans le cas d’une ellipse, l’axe focal (OX) est appelé grand axe, il coupe l’ellipse en deux points de coordonnées 

(−a, 0) et (a, 0). a est appelé demi grand axe. 

– L’ellipse a un second axe de symétrie, l’axe (OY ). Il est appelé petit axe et coupe l’ellipse en deux points de 

coordonnées (0, −b) et (0, b). b est appelé deni petit axe. 

– L’ellipse ayant deux axes de symétrie perpendiculaires, l’intersection O de ces deux axes est centre de symétrie 

de l’ellipse. O est appelé centre de l’ellipse. 

– Par symétrie, il existe un deuxième foyer F ′ et une deuxième directrice D ′ , symétriques de F et D par rapport 

à O (ou de manière équivalente à (OY )). 

– c = ea est appelé distance focale, c’est la distance du centre de l’ellipse à n’importe quel foyer de l’ellipse. 

– Le paramètre de l’ellipse est p = b2 

a . 

Paramétrage : L’ellipse d’équation réduite X2 

a2 2 

Y + b2 = 1 peut se paramétrer par 

b 

• 

F ′ 

X(θ) = a cos θ, Y (θ) = b sin θ, θ ∈] − π, π]. 

Remarque 2.3 

Le cercle est un cas dégénéré d’ellipse, d’excentricité 0 (a = b). Il ne possède pas de couple foyer/directrice (les 

deux foyers sont "confondus" au centre du cercle et les directrices sont à "l’infini"). 

• S ′



Définition bifocale : 

Soit E une ellipse de foyers F, F ′ et de demi grand axe a > 0, alors 

E = {M ∈ P, MF + MF ′ = 2a} . 

Preuve : Calculer MF 2 − MF ′2 de deux manière différentes, en déduire MF = a − c 

a x... 

Remarque 2.4 

Cela donne une manière "mécanique" de tracer une ellipse : Planter un clou à chacun des foyers, attacher à ces 

deux foyers une corde de longueur 2a, puis tracer l’ellipse en faisant glisser un crayon qui tend la corde. 


Tangentes à une ellipse : 

On a une propriété similaire à celle de la tangente à une parabole. 

Soit E une ellipse de foyers F et F ′ . Soit M un point de l’ellipse. 

Soit D1 la droite (MF ) et D2 la droite (MF ′ ). 

Soit D3 la tangente à E au point M. Alors D1 est le symétrique de D2 par rapport à D3, et donc le petit angle 

non orienté θ formé par les droites D1 et D3 est le même que le petit angle non orienté formé par les droites 

D2 et D3. 

2.1.c Hyperbole (e > 1) 

θ 

• 

S 

D1 

M 

• 

F 

D3 

θ 

O 

Soit H l’hyperbole d’excentricité e > 1, de foyer F et de directrice D. On se place dans le même repère que pour 

l’étude de la parabole, c’est-à-dire le repère orthonormé d’origine F et d’axe des abscisses l’axe focal. On a alors 

On pose X = x + he2 

e 2 −1 

MF = ed(M, D) ⇔ x 2 + y 2 = e 2 (x + h) 2 

• 

F ′ 

• S ′ 

⇔ x 2 (e 2 − 1) − y 2 + 2he 2 x + e 2 h 2 = 0 

et Y = y. Dans ce nouveau repère l’hyperbole H a pour équation : 

X 2 − 

2 Y 

e2 − 1 = α, avec α = h2e2 (e2 > 0. 

− 1) 2 

On obtient l’équation réduite d’une hyperbole dans un repère orthonormé : 

X 2 

a 

2 − Y 2 

= 1, 

b2 avec a = he 

e2−1 et b = a√e2 − 1. 

Dans ce repère, le foyer F a pour coordonnées (c, 0) avec c = he2 

Réciproquement, toute courbe d’équation 

X2 a 

dans un repère orthonormé est une hyperbole (a, b > 0). 

2 − Y 2 

e 2 −1 

= 1 

b2 = ea. 

D2


Remarque 2.5 

– L’axe focal est aussi appelé axe transverse, il coupe H en deux points S(−a, 0) et S ′ (a, 0) qui sont les sommets 

de l’hyperbole. a est appelé demi axe focal. 

– L’axe (OY ) est aussi axe de symétrie, il ne coupe pas l’hyperbole. Le point O est donc centre de symétrie de 

l’hyperbole. 

– L’hyperbole est donc composée de deux parties symétriques par rapport à l’axe (OY ). 

– Par symétrie, il existe un autre foyer F ′ et une autre directrice D ′ , symétriques de F et D par rapport à 

(OY ). 

– c = ea = √ a 2 + b 2 est appelé distance focale de l’hyperbole. C’est la distance du centre de symétrie de 

l’hyperbole à n’importe lequel de ses foyers. 

– Le paramètre de l’hyperbole est p = b2 

a . 

• 

F ′•S′ 

Paramétrage : On peut paramétrer l’hyperbole par 

Remarque 2.6 

Avec le paramétrage précédent, on obtient : 

D ′ 

O 

D 

S 

• • 

F 

X(t) = aεcht, Y (t) = bsht, t ∈ R, ε = ±1. 

X 

a 

− Y 

b = e−t , pour ε = 1, 

X Y 

+ 

a b = e−t , pour ε = −1. 

Donc l’hyperbole admet comme asymptotes obliques les droites d’équation 

X 

a 

− Y 

b 

= 0 et X 

a 

Les deux asymptotes font un angle ± arctan b 

a avec l’axe (OX) et sont perpendiculaires entre elles si a = b, 

auquel cas l’hyperbole est dite équilatère(e = √ 2). 

+ Y 

b 

= 0. 


Définition bifocale. 

Soit H une hyperbole de foyers F, F ′ et de demi grand axe a > 0, alors 

H = {M ∈ P, |MF − MF ′ | = 2a} . 

X 

a 

X 

a 

− Y 

b 

+ Y 

b 

= 0 

= 0



Tangentes à une hyperbole. 

Soit H une hyperbole et M(x, y) un point de H. 

Soit D1 la droite (MF ), D2 la droite (MF ′ ) et D3 la tangente à H au point M, alors D1 est le symétrique de 

D2 par rapport à D3 et donc le petit angle non orienté θ formé par les droites D1 et D3 est le même que le petit 

angle non orienté formé par les droites D2 et D3. 

• 

F ′ 

2.2 Paramétrage en coordonnées polaires 

O 

θ 


Soit C une conique de paramètre p, d’excentricité e, dont l’un des foyers est l’origine O d’une repère orthonormé 

(O, −→ i , −→ j ), et dont l’axe focal est dirigé par −→ i , alors une équation polaire de C est donnée par 

ρ(θ) = 

D 

S 

• 

• 

F 

p 

1 + e cos θ . 

M 

• 

θ 

D1 

D3 

D2


M 

• 

2.3 Équation d’une courbe du second degré 

On se place dans le plan P, muni d’un repère orthonormé (O, −→ i , −→ j ). On considère une courbe générale du second 

degré : 

C = (x, y) ∈ P, ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 , 

avec (a, b, c, d, e, f) ∈ R 6 . Quelle est la nature de la courbe C ? 

Recherche d’un centre de symétrie : 

On recherche Ω(k, l) tel que C est symétrique par rapport à Ω. Si M a pour coordonnées (x, y) dans le repère (O, −→ i , −→ j ) 

et (X, Y ) dans le repère (Ω, −→ i , −→ j ), alors on a la relation 

x = X + h 

y = Y + k 

Posons l(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f, on a alors 

l(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f 

= a(X + h) 2 + 2b(X + h)(Y + k) + c(Y + k) 2 + 2d(X + h) + 2e(Y + k) + f 

= aX 2 + 2bXY + cY 2 + (2ah + 2bk + 2d)X + (2bh + 2ck + 2e)Y 

+ ah 2 + 2bhk + ck 2 + 2dh + 2ek + f = g(X, Y ). 

C est symétrique par rapport à Ω si g(−X, −Y ) = g(X, Y ), donc si les termes en X et Y qui sont à une puissance 

impaire (en l’occurence 1) disparaissent. Il faut donc 

 

2ah + 2bk + 2d 

2bh + 2ck + 2e 

= 

= 

0 

0 ⇔ 

 

ah + bk 

bh + ck 

= 

= 

−d 

−e 

 

 

Ce système a une unique solution si et seulement si le déterminant D = a 

b 

b 

c 

 

 

 

= 0 = ac − b2 les deux cas : 

. On va donc différencier 

Premier cas : D = 0 : 

Le système a une unique solution, donc il existe un unique centre de symétrie Ω(h, k). Dans les nouvelles coordonnées 

(X, Y ), il n’y a plus de terme de degré 1, l’équation est donc de la forme : 

aX 2 + 2bXY + cY 2 = k, k ∈ R. 

On effectue une rotation pour éliminer le terme en XY . Si on effectue une rotation d’angle θ des axes du repère on a 

alors X = cos θX ′ − sin θY ′ 

On obtient alors 

Y = sin θX ′ + cos θY ′ . 

k = a(cos θX ′ − sin θY ′ ) 2 + 2b(cos θX ′ − sin θY ′ )(sin θX ′ + cos θY ′ ) + c(sin θX ′ + cos θY ) 2 

= (a cos 2 θ + 2b cos θ sin θ + c sin 2 θ)X ′2 + (a sin 2 θ − 2b sin θ cos θ + c cos 2 θ)Y ′2 

+ (2b cos 2 θ − 2b sin 2 θ − 2a cos θ sin θ + 2c cos θ sin θ)X ′ Y ′ 

Comme on veut éliminer le terme croisé, on veut 

0 = 2b cos 2 θ − 2b sin 2 θ − 2a cos θ sin θ + 2c cos θ sin θ = 2b cos(2θ) + (c − a) sin(2θ). 

ρ 

θ 

• 

O


Donc si a = c, θ = 1 

2 

arctan 2b 

a−c convient. 

Si a = c l’équation se réduit à cos(2θ) = 0 donc θ = π 

4 convient. 

Dans les nouvelles coordonnées (X ′ , Y ′ ) l’équation devient alors 

αX ′2 + βY ′2 = k. 

Si αβ > 0, on a, selon le signe de k une ellipse ou l’ensemble vide. 

Si αβ < 0, on a une hyperbole si k = 0 et une réunion de deux droites sécantes si k = 0. 

On peut remarquer que αβ = ac − b 2 , et donc le signe de ac − b 2 donne le type de conique que l’on a. 

Deuxième cas : D = 0 : 

Dans ce cas, on n’a pas de centre de symétrie. On suppose que a = 0 (si a = 0, b = 0 et il n’y a pas de terme en XY ou Y 2 , donc 

on a une parabole si d = 0 et une réunion de deux droites paralèles ou l’ensemble vide si d = 0), on a alors 

On pose alors 

ax 2 + 2bxy + cy 2 

= a x + b 

a y 

2 . 

X = 

ax + by −bx + ay 

√ , Y = √ 

a2 + b2 a2 + b2 , 

Ce qui revient à faire une rotation du repère d’un angle θ avec cos θ = 

suivante : 

√ a 

a2 +b2 αX 2 + βY 2 + γY + δ = 0. 

Si γ = 0 on a une parabole, et si γ = 0 on a l’ensemble vide ou une réunion de deux droites parallèles. 


Soit C = (x, y) ∈ P, ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 une courbe du second degré, alors 

– Si ac − b 2 = 0 c’est l’équation d’une parabole ou (cas dégénérés) deux droites parallèles ou ∅. 

– Si ac − b 2 > 0 c’est l’équation d’une ellipse ou (cas dégénéré) ∅. 

– Si ac − b 2 < 0 c’est l’équation d’une hyperbole ou (cas dégénéré) deux droites sécantes. 

Exemple 2.1 

– 16x 2 + 9y 2 − 24xy + 35x − 26y = 0. 

– x 2 + 8xy + 5y 2 − 28x + 14y + 3 = 0. 

– x 2 + xy + y 2 + x − y = 0. 

−b 

et sin θ = √ . On obtient alors l’équation 

a2 +b2

Cours mathématiques première période - W ebtice

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