Cours mathématiques première période - W ebtice

Chapitre 2
Fonctions usuelles
1 Introduction
Dans tout ce chapitre, on utilisera les notions d’analyses déjà vues au lycée, qui seront reprises plus tard dans le
cours, entre autre
– continuité, dérivabilité
– limites, asymptotes
– primitives et intégration
Proposition 1.1 Bijection réciproque
Soit I un intervalle de R, et f : I −→ R une fonction continue, strictement monotone, alors f réalise une
bijection de I sur J = f(I), c’est-à-dire qu’à chaque réel y ∈ J correspond un unique antécédent x ∈ I. De plus,
J est aussi un intervalle.
Il existe alors une fonction continue g : J −→ I telle que
en d’autres termes :
f ◦ g = IdJ et g ◦ f = IdI,
∀y ∈ J, f(g(y)) = y et ∀x ∈ I, g(f(x)) = x.
g est appelée fonction réciproque de f, on la note f −1 .
Si, de plus, f est dérivable et ∀x ∈ I, f ′ (x) > 0, f −1 est dérivable sur J et
(f −1 ) ′ =
1
f ′ .
◦ f −1
Dans la suite, nous allons faire l’étude systématique des fonctions dite "usuelles". Les différentes étapes d’une étude de
fonction sont les suivantes :
– Ensemble de définition.
– périodicité/parité pour réduire le domaine d’étude
– limites aux bornes du domaine d’étude
– calcul de la dérivée et tableau de variations
– Représentation graphique sur le domaine d’étude, en traçant quelques tangentes.
2 Fonctions trigonométiques circulaires
2.1 Sinus et cosinus
Soit P le plan muni d’un repère orthonormé direct (O, −→ i , −→ j ). Pour tout x ∈ R, on note M(x) le point du cercle
trigonométrique vérifiant
On note (cos x, sin x) les coordonnées de M(x).
( −→ i , −−→
OM) = x.
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