Cours mathématiques première période - W ebtice

3. GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE DE L’ESPACE 39
3.3 Produit vectoriel
Proposition 3.3
−→ −→ −→ −→ −→ −→
i + y1 j + z1 k et u2 = x2 i + y2 j + z2 k .
−→
u 1 et −→ u 2 sont colinéaires si et seulement si
=
=
= 0.
Soient −→ u 1 = x1
x1 x2
y1 y2
x1 x2
z1 z2
y1 y2
z1 z2
Ces trois déterminants vont nous permettre de définir le produit vectoriel de deux vecteurs de −→ E .
Définition 3.9
Soient −→ −→ −→ −→
u 1 = x1 i + y1 j + z1 k et
−→ −→ −→ −→ −→
u 2 = x2 i + y2 j + z2 k deux vecteur de E . On appelle produit vectoriel
de −→ u 1 et −→ u 2 le vecteur dont les coordonnées dans la base orthonormée ( −→ i , −→ j , −→ k ) sont
y1 y2
z1 z2
On le note −→ u 1 ∧ −→ u 2 (lire −→ u 1 vectoriel −→ u 2).
Proposition 3.4
,
−→ u 1 ∧ −→ u 2 =
z1 z2
x1 x2
⎛
⎝
,
x1 x2
y1 y2
y1z2 − y2z1
z1x2 − z2x1
x1y2 − x2y1
– On a −→ u 1 ∧ −→ u 2 = −→ 0 si et seulement si −→ u 1 et −→ u 2 sont colinéaires.
– Le vecteur −→ u 1 ∧ −→ u 2 est orthogonal à −→ u 1 et −→ u 2.
Proposition 3.5
⎞
⎠ .
.
– Le produit vectoriel est une application bilinéaire et antisymétrique.
– Si ( −→ u , −→ v ) ∈ −→ E 2 , alors
−→ u ∧ −→ v + ( −→ u · −→ v ) 2 = −→ u 2 −→ v 2 .
Bases orthonormée directes
Proposition 3.6
Soit ( −→ u , −→ v ) ∈ −→ E 2 , alors
– Si −→ u et −→ v sont orthogonaux, on a :
−→ u ∧ −→ v = −→ u −→ v .
– Si −→ u et −→ v sont des vecteurs orthogonaux et unitaires, alors
est une base orthonormée.
( −→ u , −→ v , −→ u ∧ −→ v )
Définition 3.10
Une base orthonormée ( −→ u , −→ v , −→ w ) est directe si −→ w = −→ u ∧ −→ v . Elle est indirecte si −→ w = − −→ u ∧ −→ v .
Remarque 3.5
Si ( −→ u , −→ v , −→ w ) est une base orthonormée directe, toute autre base obtenue par permutation circulaire est orthonormée
directe, c’est-à-dire les bases
( −→ v , −→ w , −→ u ) et ( −→ w , −→ u , −→ v ).