Cours mathématiques première période - W ebtice

2. GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE DU PLAN 29
Remarque 2.7
– Une base ( −→ u , −→ v ) est indirecte si on a :
−→ −→ −→
u = α i + β j et
−→ −→ −→
v = β i − α j .
– Si −→ u = 0, on dit que −→ v = 0 est directement orthogonal à −→ −→u
u si
−→ u ,
−→
v
−→
est une base orthonormée
v
directe.
Proposition 2.12
Si −→ u ∈ −→ P est une vecteur unitaire d’affixe z, le vecteur unitaire directement orthogonal à −→ u a pour affixe iz.
Définition 2.12 Angle orienté
Soient ( −→ u , −→ v ) deux vecteur unitaires. En notant −→ u ′ le vecteur unitaire directement orthogonal à −→ u , on appelle
mesure de l’angle orienté des vecteurs ( −→ u , −→ v ) tout réel θ tel que
On note alors
Remarque 2.8
−→ v = cos θ −→ u + sin θ −→ u ′
−→ u ′
−→ v
−→ u
θ
( −→ u , −→ v ) ≡ θ [2π].
– Si −→ v = x −→ u + y −→ u ′ , alors x 2 + y 2 = 1, et le nombre complexe z = x + iy est de module 1. Les réels θ vérifiant
la propriété précédente sont donc les arguments de z.
– Cela justifie l’existence et l’unicité modulo 2π de la mesure de l’angle des vecteurs −→ u et −→ v .
– Lorsque −→ u et −→ v sont unitaires, on a
−→ u · −→ v = cos
( −→ u , −→ v ).
Définition 2.13 Mesure d’un angle orienté
Soit ( −→ u , −→ v ) ∈ −→ P 2 deux vecteurs non nuls. On appelle mesure de l’angle orienté des vecteurs ( −→ u , −→ v ) toute
mesure θ de l’angle orienté
−→u
−→ u ,
−→
v
−→
.
v
Remarque 2.9
Si θ est une mesure de l’angle orienté
( −→ u , −→ v ), alors |θ| est une mesure de l’angle non orienté.
Proposition 2.13
Deux vecteur −→ u et −→ v du plan sont colinéaires si
( −→ u , −→ v ) ≡ 0 [π].