Cours mathématiques première période - W ebtice

2. GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE DU PLAN 25
−→ v (θ)
−→ j
O
−→ u (θ)
−→ i
Remarque 2.1
−→ u (θ) et −→ v (θ) sont orthogonaux et unitaires, donc ( −→ u (θ), −→ v (θ)) est une base orthonormée de −→ P . De plus, cette
base se déduit de la base ( −→ i , −→ j ) par une rotation d’angle θ, il s’agit donc d’une base orthonormée directe.
Définition 2.8 Repère polaire
Pour tout θ ∈ R, le repère (O, −→ u (θ), −→ v (θ)) est appelé repère polaire. O est appelé pôle et la droite (O, −→ i ) (la
droite passant par O et dirigée par −→ i ) l’axe polaire.
On remarque qu’à tout couple (r, θ) ∈ R 2 , on peut faire correspondre le point M ∈ P tel que −−→
OM = −→ r (θ).
Réciproquement, on a :
Proposition 2.2
Étant donné un point M ∈ P, tout couple (r, θ) ∈ R 2 tel que
−−→
OM = r −→ u (θ) = r cos θ −→ i + r sin θ −→ j
est appelé système de coordonnées polaires de M par rapport au repère R = (O, −→ i , −→ j ).
Remarque 2.2
– Contrairement aux coordonnées cartésiennes, il n’y a pas unicité.
– Les affixes de −→ u (θ) et −→ v (θ) sont respectivement eiθ et ieiθ π iθ+ = e 2 .
Proposition 2.3
– Si M = O, les systèmes de coordonnées polaires de M sont tous les couples (0, θ), avec θ ∈ R.
– Si M = 0, et si z désigne l’affixe de M, (r, θ) est un système de coordonnées polaires de M si et seulement si :
r = |z| et Arg(z) ≡ θ [2π]
r = −|z| et Arg(z) ≡ θ + π [2π]
– Tout point M ∈ P\{0} admet un unique système de coordonnées polaires
Changement de coordonnées :
(r, θ) ∈ R +∗ ×] − π, π].
Le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes découle directement de la définition. Si (r, θ) est
un système de coordonnées polaires de M, les coordonnées cartésiennes sont
x = r cos θ
θ
x = r sin θ.
Réciproquement, si M est un point du plan P de coordonnées cartésiennes (x, y), on obtient les coordonnées polaires
par