Cours mathématiques première période - W ebtice

3. GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE DE L’ESPACE 45
D3
Calcul pratique d’un paramétrage de D3
Soit −→ u un vecteur directeur de D1 et −→ v un vecteur directeur de D2, on note −→ n = −→ u ∧ −→ v . −→ n est alors un vecteur
directeur de D3.
D3 peut alors être vue comme l’intersection des plan P1 et P2, où
P1 contient D1 et admet −→ n parmi ses vecteurs directeurs,
P2 contient D2 et admet −→ n parmi ses vecteurs directeurs.
3.6.b Distance à une droite
Proposition 3.21
Soit D une droite de E passant par A, de vecteur directeur −→ u = −→ 0 et B un point n’appartenant pas à D, alors
la distance de B à D vaut
−→
AB ∧
−→
u
d(B, D) =
−→ .
u
Cette distance est égale à BH où H est le projeté orthogonal de B sur D.
3.7 Sphères
• A
−→ u
Définition 3.14 Sphère
Soit A ∈ E et r ≥ 0, la sphère S de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M de l’espace vérifiant
Proposition 3.22
H
•
AM = r.
Équation cartésienne d’une sphère.
Soit A(, a, b, c) ∈ E et r ≥ 0, alors la sphère de centre A et de rayon r a pour équation cartésienne
D
D1
D2
•B
(x − a) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 = r 2 ,
Réciproquement, toute équation de la sorte représente une sphère de rayon r et dont les centre a pour coordonnées
(a, b, c).