Cours mathématiques première période - W ebtice

3. GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE DE L’ESPACE 37
(x, y, z) d’un point M ∈ E seront exprimées dans ce repère.
Coordonnées cylindriques :
Définition 3.7
Étant donné un point M ∈ E, tout triplet (r, θ, z) ∈ R 3 tel que
−−→
OM = r −→ u (θ) + z −→ k = r cos θ −→ i + r sin θ −→ j + z −→ k
est appelé système de coordonnées cylindriques de M par rapport au repère R = (O, −→ i , −→ j , −→ k ).
−→ j
z
−→ k
θ
−→ i
Remarque 3.1
De la même manière que pour un point du plan, il n’y a pas unicité d’un système de coordonnées polaires dans
le plan, pour un point de l’espace, il n’y a pas unicité d’un système de coordonnées cylindriques. Il y a unicité si
M /∈ (O, k) et si l’on prend le triplet (r, θ, z) ∈ R +∗ ×] − π, π] × R.
Coordonnées sphériques :
Remarque 3.2
Soit M un point de coordonnées cylindriques (ρ, φ, z). On a
−−→
OM = ρ −→ u (φ) + z −→ k
et donc r = −−→
OM = ρ 2 + z 2 . Il existe donc θ tel que
z = r cos θ
ρ = r sin θ
Les coordonnées cartésiennes vérifient donc
⎧
⎨
⎩
r
• M
x = ρ cos φ = r cos φ sin θ
y = ρ sin φ = r sin φ sin θ
z = r cos θ
Définition 3.8 Coordonnées sphériques
Étant donné M ∈ E de coordonnées cartésiennes (x, y, z) dans le repère R = (O, −→ i , −→ j , −→ k ), on appelle système
de coordonnées sphériques tout triplet (r, θ, φ) ∈ R 3 tel que r ≥ 0, θ ∈ [0, π] et
⎧
⎨
⎩
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
•