Cours mathématiques première période - W ebtice

1. NOMBRES COMPLEXES 13
Proposition 1.11
(U, ×) a une structure de groupe commutatif héritée de celle de (C ∗ , ×). En effet
– 1 ∈ U
– (z1, z2) ∈ U 2 ⇒ z1z2 ∈ U car |z1z2| = |z1||z2|.
– Si z ∈ U alors z −1 = z ∈ U.
1.6.b Cercle trigonométrique
Définition 1.10 Cercle trigonométrique
Dans le plan P muni d’un repère orthonormé R = (O, −→ i , −→ j ), on appelle cercle trigonométrique le cercle C de
centre O et de rayon 1. C’est l’image de l’ensemble U des nombres complexes de module 1.
−→ j
O
−→ i
θ
M(x, y)
Si R est un repère orthonormé direct (c’est-à-dire que l’on se donne un sens de rotation) on sait que tout point M
sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées (cos θ, sin θ), où θ est une mesure de l’angle orienté
( −→ i , −−→
OM).
Cet angle va nous permettre d’écrire les éléments de U sous forme exponentielle.
1.6.c Le morphisme θ ↦→ e iθ
Soit z = a + ib ∈ U, avec (a, b) ∈ R 2 . Puisque a 2 + b 2 = 1, il existe θ ∈ R tel que
Donc z = cos θ + i sin θ. On note alors
Remarque 1.7
a = cos θ
b = sin θ
z = e iθ = cos θ + i sin θ.
– Lorsque θ = 0, on retrouve e i0 = cos 0 + i sin 0 = 1 + 0i = 1 = e 0 .
– On vérifie qu’avec cette définition on a bien
En effet
e i(θ1+θ2) = e iθ1 e iθ2 .
e i(θ1+θ2) = cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)
= cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 + i (sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1)
= (cos θ1 + i sin θ1) (cos θ2 + i sin θ2)
= e iθ1 e iθ2 .