Cours mathématiques première période - W ebtice

Chapitre 1
Nombres complexes et géométrie
1 Nombres complexes
1.1 introduction
Rappel : Les ensembles de nombres
– L’ensemble des entiers naturels N = {0, 1, 2, 3, ...}.
– L’ensemble des entiers relatifs Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.
p
– L’ensemble des nombres rationnels Q = ; p ∈ Z, q ∈ N .
q
– L’ensemble des nombres réels R.
Définition 1.1 Groupe
(G, ∗) est un groupe si les propriétés suivantes sont vérifiées :
– G est un ensemble
– ∗ est une loi de composition interne, c’est-à-dire une application de
G × G −→ G.
Par exemple l’addition, la multiplication, la composition d’applications, le produit vectoriel dans R 3 ,...
– ∗ est associative, c’est-à-dire :
∀(x, y, z) ∈ G 3 , (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
– il existe un élément neutre e pour la l.c.i., c’est-à-dire un élément e ∈ G qui vérifie e ∗ g = g ∗ e = g pour
tout élément g de G.
– chaque élément g ∈ G admet un symétrique, c’est-à-dire un élément h ∈ G tel que g ∗ h = e et e = h ∗ g.
– Si de plus la l.c.i. est commutative dans G (i.e. g ∗ h = h ∗ g pour tout (g, h) ∈ G 2 ) on dit que (G, ∗) est un
groupe commutatif ou encore groupe abelien.
Exemple 1.1
(Z, +), (Q, +), (Q\{0}, ×), (Q +∗ , ×), (R, +), (R ∗ , ×), (R +∗ , ×) sont des groupes commutatifs.
Lorsque qu’il n’y a pas de confusion possible sur la l.c.i. on peut noter abusivement G le groupe (G, ∗).
Définition 1.2 Corps
(K, +, ×) est un corps si
– (K, +) est un groupe abelien/commutatif
– (K\{0}, ×) est un groupe, où 0 est l’élément neutre de (K, +).
– × est distributive par rapport à +, i.e. pour tout (a, b, c) ∈ K 3 ,
a × (b + c) = a × b + a × c.
(b + c) × a = b × a + c × a
– Si de plus la loi × est commutative, (K, +, ×) est un corps commutatif.
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