Cours mathématiques première période - W ebtice

Table des matières
1 Nombres complexes et géométrie 7
1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Partie réelle, partie imaginaire, conjugaison, module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Module d’un nombre complexe, calcul de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Interprétation géométrique de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Norme, distance, inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.a Le groupe U des nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.b Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.c Le morphisme θ ↦→ e iθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.d manipulation d’expressions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.e Argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Exponentielle dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Résolution d’équations du second degré et racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.a Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.b Équation du second degré dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9 Racines nièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9.a Racine nième de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9.b Racine nième d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10 Nombres complexes et géométrie du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10.a angles et distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10.b colinéarité/orthogonalité de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10.c Similitudes directes de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Géométrie élémentaire du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Mode de repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.a Bases du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.b modes de repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.c Changement de repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.a Représentation paramétrique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.b Équation cartésienne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.c Orthogonalité et équation normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.d Équation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.e Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Géométrie élémentaire de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1 Mode de repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.a base de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.b Modes de repérages dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Plans de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.a Équation d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.b Équation de droite de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Distance à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.a Perpendiculaire commune à deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.b Distance à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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