Cours mathématiques première période - W ebtice

1. NOMBRES COMPLEXES 17
Proposition 1.17
1. |e z | = e Re(z)
2. Arg(e z ) ≡ Im(z) [2π]
3. ez+z′ = ezez′ 4. e −z = (e z ) −1
Proposition 1.18
L’application
exp : C ↦−→ C ∗
est un morphisme du groupe (C, +) dans le groupe (C ∗ , ×).
Remarque 1.10
Il est impossible de définir une fonction réciproque de type logarithme à la fonction exp de C ∗ −→ C qui vérifie
ln(z1z2) = ln(z1) + ln(z2).
1.8 Résolution d’équations du second degré et racines carrées
1.8.a Racines carrées
Proposition 1.19
Soit a ∈ C ∗ , l’équation z 2 = a, d’inconnue complexe z a exactement 2 solutions opposées.
Définition 1.15 Racine carrée d’une complexe
Soit a ∈ C ∗ , on appelle racine carrée de a tout nombre complexe z non nul vérifiant z 2 = a.
Théorème 1.2
Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées opposées distinctes. 0 est le seul
nombre complexe à n’avoir qu’une seule racine carrée.
Exemple 1.9
– 1 a pour racines carrées 1 et -1.
– -1 a pour racines carrées i et -i.
– -2 a pour racines carrées i √ 2 et -i √ 2.
Remarque 1.11
La notation √ a n’a de sens que si a ∈ R +∗ . On appelle alors √ a La racine carrée de a qui est la solution
positive de z 2 = a.
Calcul pratique des racines carrées d’un nombre complexe :
Soit z = a + ib un nombre complexe écrit sous forme algébrique, donc (a, b) ∈ R 2 . Soit z ′ = x + iy une racine carrée
de z, alors z ′2 = z et donc
x 2 − y 2 + 2ixy = a + ib.
En identifiant partie réelle et partie imaginaire on obtient le système suivant :
x 2 − y 2 = a
2xy = b