Cours mathématiques première période - W ebtice

1. NOMBRES COMPLEXES 15
Exemple 1.7 Linéarisation de cos 5 θ et sin 4 θ
cos 5 θ =
e iθ + e −iθ
2
5
= e5iθ + 5e 3iθ + 10e iθ + 10e −iθ + 5e −3iθ + e −5iθ
25 = 1
5iθ −5iθ e + e
+
16 2
5
3iθ −3iθ e + e
+
16 2
5
iθ −iθ e + e
8 2
= cos 5θ 5 cos 3θ 5 cos θ
+ +
16 16 8
sin 4 θ =
e 4iθ − e −4iθ
2i
4
= e4iθ − 4e 2iθ + 6 − 4e −2iθ + e −iθ
16
= 1
4iθ −4iθ e + e
−
8 2
1
2iθ −2iθ e + e
+
2 2
3
8
= cos 4θ cos 2θ 3
− +
8 2 8 .
Développement de cos nθ ou sin nθ en puissance de sin et cos :
On cherche à faire ici l’opération inverse de la linéarisation. Pour cela on utilise la formule de Moivre que l’on
développe à l’aide de la formule du binôme de Newton en écrivant
Exemple 1.8 Calcul de cos 4θ et sin 3θ
cos 4θ = Re (cos θ + i sin θ) 4
cos nθ = Re ((cos θ + i sin θ) n )
sin nθ = Im ((cos θ + i sin θ) n )
= Re(cos 4 θ + 4i cos 3 θ sin θ − 6 cos 2 θ sin 2 θ − 4i cos θ sin 3 θ + sin 4 θ)
= cos 4 θ − 6 cos 2 sin 2 θ + sin 4 θ.
sin 3θ = Im (cos θ + i sin θ) 3
= Im(cos 3 θ + 3i cos 2 θ − 3 cos θ sin 2 θ − i sin 3 θ)
= 3 cos 2 θ sin θ − sin 3 θ
On peut par la suite utiliser l’identité cos 2 θ + sin 2 θ = 1 pour exprimer tout en fonction de cos θ uniquement ou
sin θ uniquement, ce qui donne ici
cos 4θ = 8 cos 4 θ − 8 cos 2 θ + 1 , sin 3θ = −4 sin 3 θ + 3 sin θ.