Cours mathématiques première période - W ebtice

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30 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE Définition 2.14 Déterminant Soient −→ u et −→ v deux vecteurs non nuls du plan. On note θ une mesure de l’angle orienté ( −→ u , −→ v ). On appelle déterminant de −→ u et −→ v le réel, noté det( −→ u , −→ v ), défini par Si −→ u = −→ 0 ou −→ v = −→ 0 , on pose det( −→ u , −→ v ) = 0. Proposition 2.14 det( −→ u , −→ v ) = −→ u −→ v sin θ. Deux vecteurs du plan −→ u et −→ v sont colinéaires si et seulement si det( −→ u , −→ v ) = 0. Corollaire 2.1 Trois points A, B, C du plan P sont alignés si et seulement si det( −→ AB, −→ AC) = 0. Remarque 2.10 – Si −→ u ⊥ −→ v alors det( −→ u , −→ v ) = ± −→ u −→ v . – Si de plus, ( −→ u , −→ v ) est directe, alors det( −→ u , −→ v ) = −→ u −→ v . – Si au contraire, ( −→ u , −→ v ) est indirecte, alors det( −→ u , −→ v ) = − −→ u −→ v . Proposition 2.15 Soit −→ u 1 et −→ u 2 deux vecteurs du plan, d’affixe respectif z1 et z2, alors det( −→ u 1, −→ u 2) = Im(z1z2) = −Im(z1z2). Proposition 2.16 Expression dans une base orthonormée directe On muni −→ P de la base orthonormée directe usuelle ( −→ i , −→ j ). On considère deux vecteurs −→ x u et y −→ ′ x v y ′ . On a alors Proposition 2.17 det( −→ u , −→ v ) = xy ′ − x ′ y. Le déterminant est une application bilinéaire et antisymétrique de −→ P × −→ P ↦−→ R. C’est d’ailleurs la seule application bilinéaire, antisymétrique de −→ P × −→ P −→ R qui vaut 1 sur les base orthonormées directes. Notation 2.3 Le déterminant de deux vecteurs de coordonnées Proposition 2.18 x1 x2 y1 y2 x1 y1 et x2 y2 se note = x1y2 − x2y1. Si θ est une mesure de l’angle orienté des vecteurs unitaires −→ u et −→ v , on a : cos θ = −→ u · −→ v et sin θ = det( −→ u , −→ v ).
2. GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE DU PLAN 31 Remarque 2.11 – Pour tout couple ( −→ u , −→ v ) ∈ −→ P 2 , on a On retrouve alors l’inégalité de Cauchy-Schwarz. – L’aire d’un parallélogramme ABCD est donnée par Proposition 2.19 ( −→ u · −→ v ) 2 + det( −→ u , −→ v ) 2 = −→ u 2 −→ v 2 . | det( −→ AB, −→ AC)|. Relation de Chasles pour les angles orientés : Pour tous vecteurs non nuls du plan −→ u 1, −→ u 2, −→ u 3 : Exemple 2.3 Soient A, B, C trois points distincts du plan, alors 2.4 Droites du plan ( −→ u 1, −→ u 2) + ( −→ u 2, −→ u 3) ≡ ( −→ u 1, −→ u 3) [2π]. ( −→ −→ −→ −→ −→ −→ AB, AC) + ( BC, BA) + ( CA, CB) ≡ π [2π]. Définition 2.15 Vecteur normal Un vecteur non nul −→ v est dit orthogonal à une droite D s’il est orthogonal à tous ses vecteurs directeurs. −→ v est alors appelé vecteur normal à D. 2.4.a Représentation paramétrique : La droite D passant par le point M(x0, y0) et de vecteur directeur −→ u (α, β) = −→ 0 est paramétrée par 2.4.b Équation cartésienne : Proposition 2.20 −→ v x = x0 + αt y = y0 + βt t ∈ R. – Toute droite D du plan a au moins une équation cartésienne (équation faisant intervenir les coordonnées cartésiennes) de la forme : ax + by + c = 0 avec (a, b) = (0, 0). – Deux équations représentent la même droite si et seulement si elle sont proportionnelles. – Réciproquement, toute équation de la forme ax + by + c = 0 représente une droite dont un des vecteurs directeurs est (−b, a), et donc orthogonale à (a, b). D
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