Cours mathématiques première période - W ebtice

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34 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE Proposition 2.26 Équation cartésienne d’un cercle. Soit A(x0, y0) ∈ P et r ≥ 0, alors le cercle de centre A et de rayon r a pour équation (x − x0) 2 + (y − y0) 2 = r 2 . Réciproquement toute équation de cette forme est l’équation d’un cercle dont le centre a pour coordonnées (x0, y0) et de rayon r. Remarque 2.14 Lorsqu’on a l’équation cartésienne d’un cercle sous forme développée x 2 + y 2 + ax + by + c = 0, on met sous forme canonique les termes en x et les termes en y pour trouver le centre et le rayon du cercle Exemple 2.4 Proposition 2.27 x 2 − 2x + y 2 + 4y = 15 Soit C un cercle de diamètre [AB], où A et B sont deux points du plan, alors M ∈ P est un point du cercle si est seulement si −−→ MA · −−→ MB = 0 Remarque 2.15 Cela donne une autre méthode pour trouver l’équation cartésienne d’un cercle, connaissant deux points antipodaux. Intersection d’un cercle et d’une droite : L’intersection d’un cercle C et d’une droite D est soit vide, soit réduit à un point (si la droite est tangente au cercle) soit deux points (si la droite est sécante). D C Pour trouver les coordonnées des points d’intersections, on utilise l’équation cartésienne de la droite pour exprimer x en fonction de y (ou l’inverse) et éliminer ainsi les x (ou les y) dans l’équation cartésienne du cercle. Il reste alors une équation du second degré en x (ou en y) qui selon le signe du discriminant aura 0, 1 ou 2 solutions. On réutilise ensuite l’équation de la droite pour trouver la coordonnée manquante. Exemple 2.5 Cercle (x − 1) 2 + (y − 2) 2 = 9 Droite x + 2y = 5 Intersection de deux cercles : Soient C et C ′ 2 cercles du plan – Si C et C ′ sont concentriques, leur intersection est vide si leurs rayons sont différents, et égale à chacun des cercles si le rayon est le même (et donc les deux cercles sont identiques). D C D C
2. GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE DU PLAN 35 – Si les deux cercles ne sont pas concentriques, on peut se ramener au cas de l’intersection d’un cercle et d’une droite. En effet en soutrayant l’équation du premier cercle à celle du deuxième on obtient l’équation d’une droite D. Lorsque les cercle sont sécants, il s’agit de la droite passant par les deux points d’intersection. Exemple 2.6 C C ′ C Cercle x 2 + (y + 1) 2 = 16 Cercle (x − 1) 2 + (y + 2) 2 = 9 D C ′
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