Cours mathématiques première période - W ebtice

2. FONCTIONS TRIGONOMÉTIQUES CIRCULAIRES 51
x ↦−→
On appelle intervalle principal de définition l’intervalle − π
π
2 , 2 .
Proposition 2.3
sin x
cos x .
– La fonction tan est continue sur son domaine de définition.
– tan est π-périodique.
– tan est une fonction impaire.
– tan est strictement croissante sur chaque intervalle − π π
2 + kπ, 2 + kπ , et
lim tan = −∞ et lim tan = +∞.
+ π −
− π
2
– tan est dérivable sur son domaine de définition et
Remarque 2.2
Valeurs remarquables :
Remarque 2.3
On peut également définir la cotangente sur
par cotan x =
cos x
sin x .
tan ′ x = 1 + tan 2 x = 1
cos 2 x .
x 0 π
6
π
4
2
π
3
π
2
tan x 0 √ 3
3 1 √ 3 indéfini
]kπ, (k + 1)π[
Proposition 2.4
Quelques formules :
– Soit (a, b) ∈ R 2 tel que tan a, tan b et tan(a + b) soient définis, alors
k∈Z
tan(a + b) =
tan a + tan b
1 − tan a tan b .
– Expression de tan x, cos x et sin x en fonction de t = tan x
2 :
tan x = 2t
1 − t2 1 − t2
, cos x =
1 + t2 , sin x = 2t
.
1 + t2 – pour tout a dans le domaine de définition de tan, l’équation tan x = tan a d’inconnue x ∈ R a pour ensemble
de solutions S :
S = {a + kπ; k ∈ Z} = a + πZ.
Représentation graphique : On étudie tan sur 0, π
2 .
x 0 π
2
tan x 0 ↗ +∞
tan ′ x = 1 + tan 2 x 0 + +∞