Cours mathématiques première période - W ebtice

1. NOMBRES COMPLEXES 21
1.10.b colinéarité/orthogonalité de vecteurs
Théorème 1.8
Soient −→ u et −→ v deux vecteurs non nuls du plan, muni d’un repère orthonormé R, et z−→ u , z−→ v leur affixe respectif,
alors
– −→ u et −→ v sont colinéaires si et seulement si z−→ v ∈ R ⇔ z−→
z−→ v ¯z−→
u ∈ R,
u
– −→ u et −→ v sont orthogonaux si et seulement si z−→ v ∈ iR ⇔ z−→
z−→ v ¯z−→
u ∈ iR,
u
Théorème 1.9
Soient A, B, M trois points distincts du plan P muni d’un repère orthonormé R, d’affixe respective a, b, z. Alors
A, B, M sont alignés si et seulement si
z − a
∈ R.
z − b
1.10.c Similitudes directes de C
Définition 1.18 Similitude directe
On appelle similitude directe de C toute application définie par
avec a ∈ C ∗ et b ∈ C.
Théorème 1.10
f : C −→ C
z ↦−→ az + b,
Soit S l’ensemble des similitudes directes de C, alors (S, ◦) est un groupe - non commtatif - appelé groupe des
similitudes directes.
Définition 1.19 Translation
On appelle translation de C toute application de la forme
f : C −→ C
z ↦−→ z + b,
où b ∈ C. Notons T l’ensemble des translations de C, alors (T , ◦) est un groupe commutatif.
Interprétation géométrique de similitudes :
– Translations (a = 1) :
C −→ C
z ↦−→ z ′ = z + b
Soit M le point d’affixe z, M ′ le point d’affixe z ′ et −→ u le vecteur d’affixe b, alors
z ′ = z + b ⇔ −−−→
MM ′ = −→ u
et donc M ′ est l’image de M par la translation de vecteur −→ u .
– a = 1. Dans ce cas, la similitude fa,b définie par
fa,b : C −→ C
z ↦−→ az + b
admet un unique point fixe, c’est-à-dire un nombre complexe ω vérifiant fa,b(ω) = ω. On a ω = b
1−a .
Soit maintenant z ∈ C et z ′ = fa,b(z), on a alors
z ′ = az + b
ω = aω + b