Cours mathématiques première période - W ebtice

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32 CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE Remarque 2.12 – Si b = 0, on peut écrire l’équation sous la forme y = mx + d. m et d sont alors uniques ; m est appelé coefficient directeur de D et d l’ordonnée à l’origine. – Soit D une droite passant par M1(x1, y1) et M2(x2, y2) deux points distincts de P ; alors un point M(x, y) ∈ P appartient à la droite D si et seulement si det( −−−→ M1M, −−−−→ M1M2) = 0, ou encore x − x1 x2 − x1 y − y1 y2 − y1 = 0. Cela donne l’équation cartésienne de la droite passant par M1 et M2. Proposition 2.21 – Soit −→ u ∈ −→ P un vecteur non nul, A ∈ P et k ∈ R, alors l’ensemble des points M ∈ P vérifiant det( −→ u , −−→ AM) = k est une droite dirigée −→ u . – Dans le cas particulier ou k = 0, cet ensemble est la droite dirigée par −→ u passant par A. 2.4.c Orthogonalité et équation normale Proposition 2.22 – Soit −→ u ∈ −→ P un vecteur non nul, A ∈ P et k ∈ R, alors l’ensemble des points M ∈ P vérifiant −→ u · −−→ AM = k est une droite orthogonale à −→ u . – Dans le cas particulier ou k = 0, cet ensemble est la droite orthogonale à −→ u passant par A. Proposition 2.23 Soit −→ u ∈ −→ P un vecteur non nul de coordonées (a, b), alors les droites orthogonales à −→ u sont les droites d’équation ax + by + c = 0, c ∈ R. En particulier, la droite orthogonale à −→ u passant par M0(x0, y0) a pour équation a(x − x0) + b(y − y0) + c = 0
2. GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE DU PLAN 33 Remarque 2.13 Si −→ u = 1, ses composantes (ou coordonnées) sont de la forme (cos θ, sin θ). Soit H le projeté orthogonal de O sur D, où −→ u est orthogonal à D. H a un système de coordonnées polaires (ρ, θ), ρ ∈ R. On a alors −→ u · −−→ OH = ρ. L’équation −→ u · −−→ OM = −→ u · −−→ OH s’écrit alors Cette équation est appelée équation normale de D. 2.4.d Équation polaire Proposition 2.24 −→ u H ρ O M θ x cos θ + y sin θ = ρ Une droite passant par le pôle a au moins une équation polaire (c’est-à-dire une équation faisant intervenir les coordonnées polaires) de la forme θ = θ0. Réciproquement, une telle équation est l’équation d’une droite passant par le pôle. 2.4.e Distance d’un point à une droite Proposition 2.25 La distance d’un point M(x0, y0) à une droite D d’équation cartésienne ux + vy + w = 0 est 2.5 Cercle d(M, D) = |ux0 + xy0 + w| √ . u2 + v2 Définition 2.16 Soit A ∈ P et r ≥ 0. Le cercle de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M vérifiant AM = r : C = {M ∈ P; AM = r}. D
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