Relativité restreinte

Relativité
IV. Métrique de Minkowski
Les transformations de Lorentz sont construites de manière à préserver la valeur de la vitesse de la
lumière dans différents référentiels R (on se limite aux référentiels en mouvement relatif uniforme), c.à-d.
que x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ou bien
s 2 = c 2 t 2 - x 2 - y 2 - z 2 = 0
En examinant les transformations de Lorentz plus à fond, on trouve que l'expression
s 2 = c 2 t 2 - x 2 - y 2 - z 2 est invariante dans tous les référentiels, même si elle n'est pas nulle. La
mesure s 2 est donc une invariante des transformations de Lorentz pour tous les objets, non seulement
la lumière, ce qui la rend très adaptée aux calculs.
On en tire une représentation particulièrement élégante du monde relativiste dans un espace à quatre
dimensions, l'espace de Minkowski:
L'espace et le temps étant liés, on les combine en un quadri-vecteur (ct, x, y, z) dans un espace à
quatre dimensions doté de la "métrique" (mesure)
s 2 = c 2 t 2 - x 2 - y 2 - z 2
analogue à la mesure euclidienne des longueurs, mis à part le signe moins à utiliser pour les
composantes spatiales. (Certains auteurs mettent le signe moins avec la première composante et le
signe plus avec les composantes spatiales. On peut alors écrire la composante temporelle en forme
de nombre imaginaire, jct , et utiliser la mesure euclidienne ordinaire, le signe moins étant alors fourni
par j 2 = -1 ).
Posons y = z = 0 pour des raisons de simplification.
En traçant ct sur l'axe vertical et x sur l'axe horizontal,
on trouve
pour s 2 = 0 des droites formant un angle de 45 o
pour s 2 = 0 des hyperboles
Ici, s 2 > 0 correspond à un domaine dont les points peuvent
être liés par des mouvements physiques (vitesse inférieure
à c), domaine "de type temporel".
Par contre, s 2 < 0 correspond à un domaine dont les points
ne peuvent pas être liés par des signaux physiques (leur vi-
tesse serait supérieure à c). C'est le domaine "de type spa-
tial". Les points y sont parfois dits "simultanés".
De même que temps et position, l'énergie et la quantité de
mouvement peuvent être combinés en un quadri-vecteur:
(E/c, px, py, pz) quadri-vecteur énergie-qu.d.mouvement
ayant également une mesure invariante par rapport à la métrique de Minkowski :
E 2 / c 2 2 2 2 2 2
- px - py - pz = m0 c
Nous avons déjà remarqué que les équations de Maxwell sont invariantes selon Lorentz. On ne
s'étonnera donc pas que ces équations s'écrivent de manière particulièrement élégante et simple dans
le cadre de la formulation relativiste. Pour cela, on combine les champs électrique et magnétique en
un tenseur (une matrice) 4x4 .
Stefan Stankowski HES Bernoise / TI
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