Relativité restreinte
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I. Notions de base<br />
<strong>Relativité</strong> <strong>restreinte</strong><br />
<strong>Relativité</strong><br />
I.1. Introduction: transformation de coordonnées<br />
Un des problèmes les plus fondamentaux de la physique est donné par le fait que des expériences<br />
physiques sont exécutées en différents lieux, mais que les résultats devraient être universellement<br />
comparables. C'est donc depuis longtemps qu'on a étudié la question comment un changement du<br />
référentiel peut influencer sur les résultats d'une mesure.<br />
Soit S un référentiel donné, où la physique peut être développée suivant les lois bien connues. On y<br />
fait une mesure. Soit S' un autre référentiel où l'on aimerait décrire cette même mesure. Qu'est-ce qui<br />
change? Dans le cas le plus simple, S' est simplement déplacé dans l'espace, p.ex. d'un vecteur b.<br />
Alors:<br />
r' = r - b<br />
v' = v<br />
a' = a<br />
On voit que les vecteurs de position sont mesurés différemment, mais cela n'a aucune influence sur<br />
les lois physiques. En effet, on pourra toujours écrire F = m a puisque les accélérations restent les<br />
mêmes dans les deux référentiels. Cela reste aussi vrai si S' se déplace par rapport à S à une vitesse<br />
constante, u. Les accélérations et donc les forces restent inchangées:<br />
r' = r - u t<br />
v' = v - u *)<br />
a' = a<br />
Ce n'est que lorsque S' est accéléré par rapport à S que les lois physiques changent: on y observera<br />
de nouvelles forces ("forces d'inertie"). On appelle S' un référentiel "non inertiel".<br />
Les transformations marquées de *) entre deux référentiels en mouvement uniforme l'un par rapport à<br />
l'autre, sont appelées transformations de Galilée. Elles correspondent à nos expériences concernant<br />
l'addition vectorielle des vitesses. Dans le cas où la vitesse u a la direction de l'axe des x, les<br />
transformations des composantes s'écrivent plus explicitement:<br />
x' = x - u t<br />
y' = y transformations de Galilée<br />
z' = z<br />
t' = t vx' = vx - u<br />
I.2. L' expérience de Michelson<br />
En 1881, Michelson et Morley commencèrent une série d'expériences censées de démontrer l'addition<br />
vectorielle des vitesses pour le cas des vitesses de la lumière et de la Terre. A cette fin, ils utilisaient<br />
l'interféromètre qui porte leur nom. C'est un instrument qui sépare un faisceau de lumière en deux<br />
rayons<br />
qui partent dans deux directions perpendiculaires.<br />
Après réflexion dans les deux bras de l'instrument,<br />
ces rayons sont de nouveau réunis. Dû aux différences<br />
de temps de parcours dans les deux bras, on observe<br />
une figure d'interférence produite par les rayons réunis.<br />
En orientant l'instrument de telle manière qu'un<br />
bras soit aligné selon la direction du mouvement<br />
de la Terre, le temps de parcours du rayon correspondant<br />
devrait être plus long d'un facteur<br />
√1 - u 2 /c 2 par rapport au rayon perpendiculaire.<br />
Cependant, l'expérience montra clairement que<br />
l'interférence reste inchangée, indépendamment de<br />
l'orientation de l'instrument par rapport à la direction<br />
du mouvement de la terre.<br />
Il faut donc conclure que<br />
la vitesse de la lumière, c, est la même dans des référentiels en mouvement relatif uniforme.<br />
Stefan Stankowski HES Bernoise / TI<br />
1
<strong>Relativité</strong><br />
I.3 Transformations de Lorentz<br />
L'addition des vitesses ordinaire ne peut donc pas être appliquée à la lumière (et à toute autre forme<br />
d'onde électromagnétique). Le physicien néerlandais Hendrik Lorentz trouva les formules de<br />
transformation appropriées qui s'écrivent, pour le cas d'un déplacement en direction des x avec une<br />
vitesse u:<br />
x' = (x - u t) γ<br />
y' = y γ = (1 - u 2 /c 2 ) - 1/2 transformations de Lorentz<br />
z' = z<br />
t' = (t - u x / c 2 ) γ<br />
Pour que la vitesse de la lumière reste la même dans tous les référentiels il faut donc intro-duire des<br />
échelles de temps différentes dans les différents repères. Un observateur qui se meut à la poursuite<br />
d'un rayon de lumière mesure des distances plus courtes entre les points de passage du rayon, mais<br />
sa montre donne aussi des lapses de temps plus courts, de manière que la vitesse calculée se<br />
conforme toujours à la valeur standard de 2.99791 10 8 m/s. La transformation du temps donne lieu à<br />
des conséquences importantes: on ne pourra plus parler d'un temps universel et la notion de<br />
"simultanéité" devient problématique.<br />
A partir des transformations des coordonnées on trouve les transformations des vitesses (en prenant<br />
la dérivée par rapport à t dans le système S et par rapport à t' dans S' ):<br />
vx - u<br />
vx' = ----------------<br />
1 - u vx / c 2<br />
vy / γ<br />
vy' = ----------------<br />
1 - u vx / c 2<br />
vz / γ<br />
vz' = ----------------<br />
1 - u vx / c 2<br />
Notez que vy' et vz' dévient de vy et vz elles aussi, malgré les égalités y' = y et z' = z . Bien sûr cela se<br />
produit à cause des échelles de temps différentes dans les deux repères.<br />
De même, on peut calculer les accélérations et on trouve qu'elles sont différentes dans les deux<br />
repères, contrairement aux transformations de Galilée ! La signification de ce résultat pour les<br />
équations de base de la physique sera discuté plus en bas (chapitre III).<br />
I.4. L' interprétation d'Einstein<br />
Il est intéressant de constater que les équations de Maxwell, description fondamentale de tout<br />
phénomène électromagnétique, ne sont pas invariantes par rapport aux transformations de Galilée,<br />
mais par rapport aux transformations de Lorentz (c.-à-d. si on utilise les transformations de Lorentz<br />
pour comparer deux référentiels on y trouve les mêmes équations de Maxwell). Il existe donc une<br />
sorte d' harmonie entre la théorie et l'expérience de Michelson. A la fin du 19 e siècle, les physiciens<br />
pensaient qu'il fallait appliquer deux théories différentes: une, invariante par rapport aux<br />
transformations de Galilée, pour décrire la mécanique, et une autre, invariante cette fois par rapport.<br />
aux transformations de Lorentz, pour décrire les phénomènes électromagnétiques.<br />
Le grand exploit d'Einstein, au début du 20e siècle, fut celui d'énoncer l'hypothèse d'une physique<br />
universelle où la mécanique elle aussi se conforma aux transformations de Lorentz.<br />
Cette approche, la "théorie de la relativité <strong>restreinte</strong>", révolutionna d'un seul coup la physique jusque-là<br />
familière. Il faut cependant admettre que les conséquences pratiques sont minimes puisque les<br />
différences entre les deux transformations ne se font remarquer que pour les vitesses très élevées,<br />
telles qu'on ne les connaît pratiquement pas dans la vie de tous les jours. En effet, les équations de<br />
Newton restent valables comme une approximation excellente aussi longtemps que les vitesses des<br />
corps matériels ne dépassent pas 0.1 c environ. Depuis qu'on est capable d'observer des particules<br />
de très haute énergie, la validité de la relativité <strong>restreinte</strong> s'est pourtant brillamment confirmée.<br />
Stefan Stankowski HES Bernoise / TI<br />
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II. Conséquences cinématiques<br />
(Cinématique = description des objets en mouvement)<br />
<strong>Relativité</strong><br />
II.1. Contraction des longueurs<br />
Le facteur γ produit des effets bizarres si un observateur au repos considère des objets en<br />
mouvement très rapide (vitesses proches de c). Ainsi, les longueurs de l'objet, mesurées dans la<br />
direction de vol, apparaissent-elles réduites (contraction des longueurs).<br />
Dérivation: L'observateur en mouvement (S' ) voit l'objet au repos et mesure les positions de ses<br />
extrémités, x'1 et x'2 . Il donne comme longueur de l'objet L' = x'2 - x'1.<br />
L'observateur au repos (S) mesure les points x1 et x2 (les deux au même temps t), de manière que<br />
x'1 = (x1 - u t) γ<br />
x'2 = (x2 - u t) γ<br />
et donc: L' = L γ<br />
Puisque γ > 1, on a L' > L . C'est à dire que l'observateur au repos considère une tige en mouvement<br />
suivant l'axe des x (et orientée suivant cette direction) plus courte qu'un observateur qui se meut avec<br />
la tige (auquel la tige paraît fixe).<br />
II.2. Dilatation du temps<br />
De la même manière il s'en suit qu'un observateur au repos a l'impression que le temps s'écoule plus<br />
lentement dans un référentiel en mouvement (dilatation temporelle).<br />
Dérivation: L'observateur en mouvement (S' ) considère deux événements qui sont enregistrés au<br />
même endroit x' aux instants t'1 et t'2 . L'observateur au repos (S) mesure:<br />
t1 = (t'1 + ux' / c 2 ) γ<br />
t2 = (t'2 + ux' / c 2 ) γ<br />
et par conséquent: t2 - t1 = (t'2 - t'1) γ<br />
L'observateur au repos mesure donc un intervalle de temps plus long que l'observateur en<br />
mouvement, pour un événement qui se produit en un endroit fixe de S’.<br />
Remarques importantes:<br />
• Notez que la contraction des longueurs aussi bien que la dilatation temporelle sont des phénomènes<br />
réciproques. Si deux observateurs, voyageant dans des fusées ultrarapides, croisent l'un l'autre, tous<br />
les deux ont l'impression de voir les longueurs de l'autre réduites et les temps allongés! Il est en fait<br />
arbitraire de choisir l'un des deux comme étant au repos et l'autre en mouvement, ou vice-versa. On<br />
ne dira pas que les longueurs sont "réellement" réduites et les temps "réellement" dilatés, mais ce<br />
n'est que l'apparence pour l'observateur qui ne voyage pas avec.<br />
Le phénomène peut en quelque sorte se comparer avec la réduction due à la perspective: Une<br />
personne A s'éloignant d'une autre personne B apparaît à celle-là réduite, de même que B apparaît<br />
réduite à la personne A. Aucune des deux n'a "réellement" changée de taille (où le mot "réellement" se<br />
réfère à l'observation de quelqu'un accompagnant la personne en question).<br />
• Notez que la théorie de la relativité <strong>restreinte</strong> est limitée à la situation des référentiels en mouvement<br />
relatif uniforme (de vitesse constante, u). On n'y dit rien sur les phénomènes apparaissant lors des<br />
accélérations. On ne pourra donc pas résoudre le fameux paradoxe des jumeaux dans le cadre de la<br />
relativité <strong>restreinte</strong>.<br />
Le paradoxe des jumeaux: l'un des jumeaux reste sur la Terre tandis que l'autre part dans une fusée<br />
hyperrapide. Au retour à Terre ce dernier devrait paraître plus jeune à son frère (puisque son temps<br />
paraît écouler plus lentement à l'observateur terrestre). Par contre, on peut également considérer que<br />
le jumeau dans la fusée se trouve au repos. Dans ce cas la Terre se déplacerait à grande vitesse par<br />
rapport à lui, et c'est maintenant le jumeau terrestre qui devrait rester plus jeune. Dans le cadre de la<br />
relativité <strong>restreinte</strong> il faut cependant réaliser que les deux jumeaux ne se retrouveraient jamais. La<br />
fusée ne pourra jamais retourner à la Terre puisque un mouvement à vecteur vitesse constant exclut<br />
tout changement de direction.<br />
Le traitement des mouvements accélérés se fait dans le cadre de la théorie de la relativité générale.<br />
Là, on trouve en fait des différences de temps "réelles".<br />
Stefan Stankowski HES Bernoise / TI<br />
3
<strong>Relativité</strong><br />
II.3. Durée de vie des muons<br />
Une des premières preuves (et une des plus évidentes) de la dilatation du temps fut donnée par la<br />
mesure du nombre de muons dans l'atmosphère et au sol. Les muons sont des particules<br />
élémentaires, environ 207 fois plus lourdes que les électrons. Ils sont produits dans l'atmosphère à<br />
une altitude d'environ 60 km, par le rayonnement cosmique. Les quantités de mouvement échangées<br />
lors des collisions sont très élevées ce qui fait que les muons s'envolent à une vitesse presque égale à<br />
celle de la lumière. Ils partent dans toutes les directions, c.-à-d. aussi dans la direction de la surface<br />
terrestre. Les muons sont des particules instables. On peut les produire au laboratoire, en utilisant des<br />
accélérateurs, et ils se désintègrent alors en formant d'autres particules, avec une demi-vie de 1.5<br />
micro-secondes. (C.-à-d. qu'au bout de 1.5 µs restent moitié du nombre initial de muons, au bout de 3<br />
µs en restent ¼ etc.).<br />
Pour la distance de 60 km les muons mettent (avec une vitesse presque égale à celle de la lumière) ><br />
2 ⋅10 - 4 s . Ce sont 133 demi-vies, on s'attendra donc que < ( ½ ) 133 < 10 - 40 du nombre initial arrivent<br />
au sol. Expérimentalement, on trouve un nombre fort plus élevé.<br />
La relativité <strong>restreinte</strong> explique ce fait naturellement: Les muons volant à 0.999 c , le facteur 1/γ devient<br />
1 / γ = 0.045. Le temps de vol, t', apparaît réduit de ce facteur dans le repère des muons:<br />
t' = 2 ⋅10 - 4 s ⋅ 0.045 = 9 µs = 6 demi-vies<br />
On s'attend donc que le nombre de muons sera réduit à la surface terrestre d'un facteur<br />
( ½ ) 6 = 1 /64 ce qui correspond aux mesures.<br />
II.4 Simultanéité<br />
La contraction des longueurs et la dilatation du temps impliquent aussi l’impossibilité d’une<br />
simultanéité universelle : Si l’observateur au repos considère comme simultanés deux événements<br />
(p.ex. l’émission d’impulsions lumineuses) ayant lieu en deux points différents de l’espace, A et B,<br />
l’observateur en mouvement (selon l’axe A-B) les considérera comme non simultanés.<br />
Considérons p.ex. une fusée de longueur au repos L1 = 200m qui passe à côté d’une plate-forme de<br />
longueur au repos L2 = 100m, avec une vitesse v = 0.866 c. On a alors γ = 2. L’observateur sur la<br />
plate-forme voit alors une fusée de longueur contractée L1’ = 100 m, donc de la même longueur que sa<br />
plate-forme. Il y aura donc un certain instant où les deux extrémités de la fusée se trouvent<br />
exactement à côté des deux extrémités de la plate-forme, simultanément. Par contre, l’observateur<br />
dans la fusée verra la plate-forme passer à une vitesse v = 0.866 c, γ = 2, donc il verra une plate-forme<br />
contractée, L2’ = 50 m, tandis que la longueur de la fusée sera de 200 m. Il sera donc impossible de<br />
voir les extrémité de la fusée en coïncidence avec les extrémités de la plate-forme, la pointe de la<br />
fusée passera l’une des extrémités de la plate-forme avant que la poupe passera l’autre extrémité.<br />
III. Dynamique relativiste<br />
Nous avons vu que l'accélération n'est pas invariante par rapport aux transformations de Lorentz. La<br />
loi fondamentale de la physique, écrite dans la forme F = m a , ne pourra donc plus être la même<br />
dans tous les référentiels en mouvement uniforme. Cependant, il faut rappeler que cette forme de la loi<br />
physique n'est toutefois valable que dans le cas particulier des masses constantes. La formulation plus<br />
générale de la loi fondamentale de la physique (2 e loi de Newton) s'écrit:<br />
F = dp / dt p = m v = quantité du mouvement<br />
III.1. Quantité du mouvement relativiste<br />
Dans cette dernière forme, on peut arranger les choses de manière que la loi fondamentale soit<br />
invariante par rapport aux transformations de Lorentz, malgré la non-invariance de dv/dt: Il faut<br />
postuler que la masse m d'une particule dépende de sa vitesse:<br />
m = m0 (1- v 2 /c 2 )<br />
- ½<br />
(m0 = masse au repos)<br />
Avec cette règle on obtient en fait que d(m v) / dt = d( m v') / dt' et donc que les forces restent égales<br />
dans les référentiels en mouvement uniforme l'un par rapport à l'autre.<br />
On constate de même qu’avec cette règle le théorème de la conservation de la quantité de<br />
mouvement est valable (c.-à-d. que la quantité de mouvement totale d'un système ne varie pas<br />
lorsqu'il n'existe pas de forces extérieures).<br />
Stefan Stankowski HES Bernoise / TI<br />
4
<strong>Relativité</strong><br />
Attention: Dans la formule cfi-dessus, v est la vitesse de la particule dans le repère considéré<br />
et non pas la vitesse relative entre deux repères!<br />
Pour la simplification de la notation, nous écrirons quand-même dans la suite (1- v 2 /c 2 ) - ½ = γ<br />
Epstein, dans son livre sur la relativité, donne l'explication intuitive suivante:<br />
Supposons que deux amis voyagent sur deux trains roulant avec grande vitesse (proche de celle de la<br />
lumière) en directions opposées. Lorsque les deux trains se croisent, les deux amis tentent de donner<br />
l'un à l'autre un coup de poing amical. Chacun voit le mouvement du poing de l'autre apparemment<br />
retardé (dilatation du temps) et s'attend donc à un choc faible. En vérité, le choc est fort. On ne peut<br />
expliquer ce fait qu'en supposant que la masse du poing soit augmentée ce qui donne lieu à une<br />
grande quantité de mouvement, même à vitesse réduite.<br />
L'interprétation de m = m0 γ en tant que "masse relativististe" n'est pas tout à fait sans problèmes;<br />
de manière exacte, on ne peut constater que la forme de la quantité du mouvement en TR qui est<br />
p = m0 γ v .<br />
III.2. Energie relativiste<br />
L'énergie cinétique est définie comme travail d'accélération emmagasiné. Lors d'un déplacement dr =<br />
v dt, on aura:<br />
d (m0 v γ)<br />
d Ecin = F dr = ---------------- v dt = m0 v d (v γ)<br />
dt<br />
= c 2 d m<br />
(la dernière équation est obtenue en calculant d (v γ) et d m = d (m0 γ) explicitement).<br />
L'énergie cinétique d'une particule au repos étant nulle et sa masse au repos étant m0, on obtient, en<br />
intégrant (et en utilisant la constante d'intégration appropriée).<br />
Ecin = m c 2 - m0 c 2<br />
Cette équation indique qu'à toute augmentation d'énergie correspond une augmentation de la masse.<br />
Einstein se décida de généraliser en définissant une énergie totale qui inclut l'énergie au repos, c.-à-d.<br />
l'énergie de masse m0 c 2 :<br />
E = m c 2 ( = énergie de masse au repos + énergie cinétique)<br />
Cette relation masse-énergie a vu sa confirmation splendide en physique nucléaire (défaut de masse)<br />
et en physique des particules (production de masse à partir d'énergie, disparition de masse avec<br />
production d'énergie).<br />
Notez que l’expression de l’énergie cinétique tend vers ½ m v 2 pour les vitesses
<strong>Relativité</strong><br />
IV. Métrique de Minkowski<br />
Les transformations de Lorentz sont construites de manière à préserver la valeur de la vitesse de la<br />
lumière dans différents référentiels R (on se limite aux référentiels en mouvement relatif uniforme), c.à-d.<br />
que x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ou bien<br />
s 2 = c 2 t 2 - x 2 - y 2 - z 2 = 0<br />
En examinant les transformations de Lorentz plus à fond, on trouve que l'expression<br />
s 2 = c 2 t 2 - x 2 - y 2 - z 2 est invariante dans tous les référentiels, même si elle n'est pas nulle. La<br />
mesure s 2 est donc une invariante des transformations de Lorentz pour tous les objets, non seulement<br />
la lumière, ce qui la rend très adaptée aux calculs.<br />
On en tire une représentation particulièrement élégante du monde relativiste dans un espace à quatre<br />
dimensions, l'espace de Minkowski:<br />
L'espace et le temps étant liés, on les combine en un quadri-vecteur (ct, x, y, z) dans un espace à<br />
quatre dimensions doté de la "métrique" (mesure)<br />
s 2 = c 2 t 2 - x 2 - y 2 - z 2<br />
analogue à la mesure euclidienne des longueurs, mis à part le signe moins à utiliser pour les<br />
composantes spatiales. (Certains auteurs mettent le signe moins avec la première composante et le<br />
signe plus avec les composantes spatiales. On peut alors écrire la composante temporelle en forme<br />
de nombre imaginaire, jct , et utiliser la mesure euclidienne ordinaire, le signe moins étant alors fourni<br />
par j 2 = -1 ).<br />
Posons y = z = 0 pour des raisons de simplification.<br />
En traçant ct sur l'axe vertical et x sur l'axe horizontal,<br />
on trouve<br />
pour s 2 = 0 des droites formant un angle de 45 o<br />
pour s 2 = 0 des hyperboles<br />
Ici, s 2 > 0 correspond à un domaine dont les points peuvent<br />
être liés par des mouvements physiques (vitesse inférieure<br />
à c), domaine "de type temporel".<br />
Par contre, s 2 < 0 correspond à un domaine dont les points<br />
ne peuvent pas être liés par des signaux physiques (leur vi-<br />
tesse serait supérieure à c). C'est le domaine "de type spa-<br />
tial". Les points y sont parfois dits "simultanés".<br />
De même que temps et position, l'énergie et la quantité de<br />
mouvement peuvent être combinés en un quadri-vecteur:<br />
(E/c, px, py, pz) quadri-vecteur énergie-qu.d.mouvement<br />
ayant également une mesure invariante par rapport à la métrique de Minkowski :<br />
E 2 / c 2 2 2 2 2 2<br />
- px - py - pz = m0 c<br />
Nous avons déjà remarqué que les équations de Maxwell sont invariantes selon Lorentz. On ne<br />
s'étonnera donc pas que ces équations s'écrivent de manière particulièrement élégante et simple dans<br />
le cadre de la formulation relativiste. Pour cela, on combine les champs électrique et magnétique en<br />
un tenseur (une matrice) 4x4 .<br />
Stefan Stankowski HES Bernoise / TI<br />
6
<strong>Relativité</strong><br />
V. Représentation intuitive d'après Epstein<br />
Epstein a donné une autre représentation, particulièrement adaptée à la compréhension intuitive des<br />
effets relativistes (L. C. Epstein, Relativity visualized, Insight Press, San Francisco 1983). Dans cette<br />
représentation, il porte le temps propre d'un objet, multiplié de c, sur l'axe vertical et la position x<br />
(mesurée dans un référentiel donné {ct, x} ) sur l'axe horizontal. Tous les événements ayant lieu à<br />
l'instant t se trouvent alors sur un cercle de rayon ct autour de l'origine.<br />
Cela permet l'interprétation suivante:<br />
Tous les objets se meuvent dans l'espace-temps avec une vitesse c, le mouvement pouvant se faire<br />
plutôt dans l'espace ou plutôt dans le temps.<br />
Les objets fixés en un point x se meuvent dans le temps. Leur temps propre coïncide avec le temps<br />
des coordonnées, t, leur "trajectoire" est une droite parallèle à l'axe vertical.<br />
La lumière se déplace le long de l'axe horizontal, son temps propre est fixe.<br />
Les objets se mouvant à une vitesse < c sont représentés par une droite oblique. Les projections des<br />
points de cette droite sur les axes vertical et horizontal donnent les valeurs de position x (mesurées<br />
dans le référentiel {ct, x}) et le temps propre (mesuré dans le référentiel en mouvement avec l'objet<br />
considéré).<br />
On détecte immédiatement la contraction des longueurs et la dilatation temporelle.<br />
Ce diagramme permet aussi l'interprétation correcte des<br />
trajectoires non droites (ce qui dépasse la relativité re-<br />
streinte puisque les vitesses changent, donc appa-<br />
raîssent des accélérations).<br />
On voit directement que les "excursions dans l'espace"<br />
réduisent le temps propre.<br />
(Eigenzeit = temps propre<br />
Geschwindigkeit im Raum = vitesse dans l'espace<br />
Geschwindigkeit in der Zeit = vitesse dans le temps<br />
Mischgeschwindigkeit = vitesse mixte<br />
Raum = espace)<br />
Stefan Stankowski HES Bernoise / TI<br />
7
THEORIE DE LA RELATIVITE GENERALE<br />
= Formulation des lois physiques en présence de la gravitation (référentiels accélérés)<br />
<strong>Relativité</strong><br />
Problème:<br />
E = m c 2 : toute énergie crée de la masse, elle doit donc être soumise à la force de pesanteur (y inclus<br />
la lumière). Les rayons de lumière courberont donc dans le champ de pesanteur. ne serait-ce pas une<br />
contradiction à la constance de la vitessse de la lumière?<br />
Idée pour résoudre le problème:<br />
Dans le champ de pesanteur, le temps ralentit, le rayon de lumière se propagera moins vite. (Le temps<br />
de l’observateur étant également ralenti, ce dernier mesurera toujours c).<br />
Principe de solution du problème:<br />
Le principe se base sur l’ équivalence de la masse lourde et de la masse inerte (prouvé à 10 -12<br />
expérimentalement); la force de pesanteur peut donc être compensée par une force d’ inertie, p.ex.<br />
ascenseur en chute libre, laboratoire dans un satellite.<br />
Dans le laboratoire satellite sont valables les équations de la relativité <strong>restreinte</strong>. En appliquant une<br />
transformation à un référentiel accéléré, on trouve les équations en présence de gravitation.<br />
Notez: La transformation au référentiel accéléré n’ est possible que localement;<br />
cela suffit pour établir les équations physiques (différentielles).<br />
Gravitation et géométrie:<br />
En transformant vers un système accéléré (ou gravitatif) apparaissent des expressions mathématiques<br />
(„tenseur métrique“) bien connues des mathématiciens depuis l’analyse des espaces courbés<br />
(géométrie de Riemann). Cela mena Einstein à réaliser: l’effet de la gravitation ne se distingue en rien<br />
de l’effet d’une courbure de l’espace: on peut imaginer la gravitation comme due à une courbure de<br />
l’espace produite par la présence de masses.<br />
On trouvera ainsi automatiquement le ralentissement du temps et l’explication des effets relativistes<br />
(p.ex. pourquoi les particules lentes sont accélérées dans un champ de pesanteur tandis que la<br />
lumière y est retardée).<br />
Les équations du champ:<br />
Le calcul des forces dans un champ gravitationnel donné et du mouvement résultant des particules se<br />
fait relativement directement avec ces assomptions. Une importance particulière trouve la forme des<br />
équations pour une distribution sphérique des masses (nommée d’après le physicien russe<br />
Schwarzschild; le „rayon de Schwarzschild“ indique la distance en dehors d’une telle distribution de<br />
masse pour laquelle aucun objet ne pourra s’enfuir de l’influence gravitative – voir discussion des<br />
« trous noirs »).<br />
Cependant, il est très difficile d’établir les équations définissant l’interaction entre les masses et la<br />
courbure de l’espace résultante (les „équations du champ“, par analogie aux équations de Maxwell qui<br />
déterminent l’interaction des charges avec les champs électromagnétiques). Cette difficulté est due au<br />
fait que les masses provoquant la courbure de l’espace interagissent elles-mêmes avec cette<br />
courbure.<br />
La forme la plus simple de ces équations du champ prédit un univers en expansion. Au temps où<br />
Einstein découvrit ces équations, c’était „impensable“ et Einstein choisit une correction (la „constante<br />
cosmique L“) pour compenser cet effet. Vous apprendrez plsu sur cette constante dans le chapitre sur<br />
la cosmologie.<br />
Les équations du champ prévoient aussi l’existence d’ondes gravitationnelles (analogues aux ondes<br />
électromagnétiques).<br />
Stefan Stankowski HES Bernoise / TI<br />
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Preuves de la TRG<br />
1. Redshift de gravitation<br />
source au repos dans un potentiel de gravitation statique: pas d’ effet Doppler!<br />
photon allant de A vers B (vers le haut dans le champs de pesanteur):<br />
(fA - fB) / fA =- g h / c 2<br />
lumière du soleil: ∆f (exper.) / ∆f (theor) = 1.01 + 0.06<br />
problèmes: vitesse relative terre - soleil<br />
mouvement thermique des atomes émetteurs<br />
convection des gaz solaires<br />
effet Mössbauer ( 57 Fe), hauteur 22.6 m ∆f (exper.) / ∆f (theor) =1.00 + 0.01<br />
<strong>Relativité</strong><br />
2. horloge dans un satellite<br />
avance, parce que la pesanteur est réduite<br />
retarde à cause du mouvement<br />
le premier de ces effets domine pour les satellites distants, le deuxième domine pour les satellites plus<br />
proches de la terre.<br />
Test dans une fusée montante avec maser à l’ hydrogène vérifie la théorie avec une précision de 7⋅ 10 -<br />
5<br />
!<br />
3. effet Nordtvedt<br />
Si les masses lourde et inerte n’étaient pas égales, la terre et la lune se mouvraient un peu<br />
différemment dans le champs de pesanteur du soleil. Le décalage serait de l’ ordre de mètres. L’orbite<br />
de lune peut être déterminé à 10 cm près par intermédiaire du système Lunar Laser Ranging. La<br />
théorie est vérifiée avec une précision de 10 -4 .<br />
4. courbures des rayons de lumière dans le champ de gravitation<br />
soleil: vérification TRG , précision de 0.9 + 0.2<br />
Quasares: 1.008 + 0.005 ‘lentilles de gravitation’<br />
5. rotation périhélique de Mercure<br />
elle vaut 43’’ en 100 ans. Vérification TRG à 0.99 + 0.02 près.<br />
6. précession de gyroscopes<br />
système terre-lune dans le champ de pesanteur du soleil: vérification à 1% près<br />
gyroscope de précision sur orbite terrestre : en cours de préparation.<br />
7. retardement des échos radar de Vénus<br />
on compare un signal radar vers Vénus passant loin du soleil avec un autre qui effleure le soleil. Cela<br />
teste le paramètre cosmologique γ (d'après les équations d' Einstein γ = 1):<br />
résultat: γ = 1.000 + 0.001<br />
8. ondes gravitationnelles<br />
Retard graduel du système de deux étoiles PSR 1913+16<br />
Stefan Stankowski HES Bernoise / TI<br />
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