Inhaltsverzeichnis des Skripts

Inhaltsverzeichnis
1 Vektorrechnung 1
1.1 Die elementaren Operationen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Der Begriff des Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Addition von Vektoren und Multiplikation mit einem Skalar . . . 2
1.2 Vektoren im Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Das ebene Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Ein räumliches Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Das Rechnen mit Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Kollineare und komplanare Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.5 Darstellung von Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Normalengleichung der Ebene und der Geraden . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Die Gleichung des Kreises und der Kugel . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen . . . . 15
1.4 Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Anwendungen des Vektorproduktes . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Das Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 30
2.1 Das Eliminationsverfahren von Gauss (Teil 1) . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Das Eliminationsverfahren von Gauss (Teil 2) . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Inverse und transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Spezielle Matrizen und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Vektorräume und lineare Gleichungssysteme 55
3.1 Vektorräume und Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Allgemeine lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Zeilen- und Kolonnenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Anwendungen zur Matrizenrechnung und den linearen Gleichungssystemen
81
4.1 Chemische Reaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Zweistufiger Produktionsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Klassische Chiffrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5 Markov-Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.6 Inzidenzmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 Determinanten 93
5.1 Determinanten von 2 × 2-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Determinanten dritter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 Eigenschaften von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
i

6 Lineare Abbildungen 103
6.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.3 Homogene Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7 Die komplexen Zahlen 120
7.1 Eine historisch motivierte Einführung der komplexen Zahlen . . . . . . . 120
7.1.1 Lösungsformel der kubischen Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 120
7.1.2 Herleitung der Cardanoschen Formel . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.1.3 Der casus irreducibilis“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
”
7.2 Der Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3 Geometrische Darstellung einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4 Polarform komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.5 Wurzeln komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.6 Cardanosche Formel (Fortsetzung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.7 Die Eulersche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8 Quaternionen 140
8.1 Quaternionen und Vektorgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.2 Darstellung einer räumlichen Drehung mit Hilfe von Quaternionen . . . 143
8.2.1 Addition von Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
ii