A. Kaufmann - Berner Fachhochschule
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<strong>Berner</strong> <strong>Fachhochschule</strong><br />
Hochschule für Technik und Informatik HTI<br />
Fachbereich Elektro- und Kommunikationstechnik<br />
K O N T I N U I E R L I C H E<br />
S I G N A L E U N D S Y S T E M E<br />
Dozenten: A. <strong>Kaufmann</strong><br />
M. Moser<br />
Autor: A. <strong>Kaufmann</strong><br />
Version: 2.0<br />
Datum: September 2004
ii<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
1 SIGNALE UND IHRE EIGENSCHAFTEN ..................................................................... 1<br />
1.1 Dämpfung und Verstärkung, Pegel ........................................................................... 1<br />
1.2 Signale im Zeitbereich ............................................................................................... 6<br />
1.3 Frequenzband und Spektrum ..................................................................................... 8<br />
2 VERZERRUNGEN UND STÖRUNGEN ......................................................................... 13<br />
2.1 Informationsminderung ............................................................................................. 13<br />
2.2 Lineare Verzerrungen ................................................................................................ 14<br />
2.2.1 Komplexer Frequenzgang ................................................................................ 14<br />
2.2.2 Amplitudenverzerrungen .................................................................................. 14<br />
2.2.3 Phasenverzerrungen .......................................................................................... 15<br />
2.3 Nichtlineare Verzerrungen ........................................................................................ 16<br />
2.3.1 Aussteuerungskennlinie .................................................................................... 16<br />
2.3.2 Klirrfaktor ......................................................................................................... 17<br />
2.3.3 Intermodulation ................................................................................................ 18<br />
2.4 Rauschen ................................................................................................................... 19<br />
2.4.1 Allgemeines ...................................................................................................... 19<br />
2.4.2 Rauschsignale ................................................................................................... 20<br />
2.4.2.1 Einführung ............................................................................................... 20<br />
2.4.2.2 Theoretische Grundlagen zur Beschreibung stochastischer Signale ...... 20<br />
2.4.3 Rauschquellen .................................................................................................. 24<br />
2.4.3.1 Innere Rauschquellen .............................................................................. 24<br />
2.4.3.2 Äussere Rauschquellen ............................................................................ 26<br />
2.4.4 Rauschkenngrössen .......................................................................................... 26<br />
2.4.4.1 Rauschbandbreite .................................................................................... 26<br />
2.4.4.2 Rauschabstand, Rauschzahl, Rauschmass, Rauschtemperatur ................ 28<br />
2.4.4.3 Rauschen mehrstufiger Systeme: ............................................................ 30<br />
3 ZWEITOR-THEORIE ........................................................................................................ 31<br />
3.1 Allgemeines ............................................................................................................... 31<br />
3.2 Eintore (Zweipole) .................................................................................................... 31<br />
3.2.1 Passive Eintore ................................................................................................. 31<br />
3.2.2 Aktive Eintore .................................................................................................. 32<br />
3.2.3 Leistungsanpassung .......................................................................................... 33<br />
3.3 Zweitore (Vierpole) ................................................................................................... 35<br />
3.3.1 Grundgleichungen linearer Zweitore ................................................................ 35<br />
3.3.2 Zweitorparameter ............................................................................................. 36<br />
3.3.2.1 Allgemeines ............................................................................................. 36<br />
3.3.2.2 z-Parameter (Impedanz-Parameter) ......................................................... 36<br />
3.3.2.3 y-Parameter (Admittanz-Parameter) ....................................................... 37<br />
3.3.2.4 h-Parameter (Hybrid-Parameter) ............................................................. 38<br />
3.3.2.5 a-Parameter (Ketten-Parameter) .............................................................. 39<br />
3.3.2.6 Weitere Parameter ................................................................................... 40<br />
3.3.3 Umrechnungen ................................................................................................. 42<br />
3.3.4 Zusammenschaltung von Zweitoren ................................................................ 43<br />
3.3.5 Betriebsverhalten .............................................................................................. 45<br />
4 FILTERTHEORIE ............................................................................................................. 47<br />
4.1 Einführung ................................................................................................................. 47<br />
4.1.1 Allgemeines ...................................................................................................... 47<br />
4.1.2 Grundbegriffe für die Filtertheorie ................................................................... 47<br />
4.1.3 Vorgehensweise für den Filterentwurf ............................................................. 51<br />
HTI Biel, Signalübertragung Inhaltsverzeichnis
iii<br />
4.2 Approximation im Frequenzbereich .......................................................................... 52<br />
4.2.1 Grundsätzliches ................................................................................................ 52<br />
4.2.2 Die Tiefpass-Approximation ............................................................................ 52<br />
4.2.3 Vergleich der Tiefpass-Standardapproximationen ........................................... 60<br />
4.2.4 Übergang zu beliebigen Filtern durch Frequenztransformation ....................... 62<br />
4.3 Realisierung von Filtern ............................................................................................ 65<br />
4.3.1 Überblick .......................................................................................................... 65<br />
4.3.2 Entwurf passiver RLC Filter ............................................................................ 68<br />
4.3.3 Entwurf aktiver RC Filter ................................................................................. 70<br />
5 LEITUNGSTHEORIE ....................................................................................................... 74<br />
5.1 Einführung ................................................................................................................. 74<br />
5.1.1 Übersicht .......................................................................................................... 74<br />
5.1.2 Einführung in die Maxwellschen Gleichungen ................................................ 76<br />
5.1.3 Ausblick ............................................................................................................ 79<br />
5.2 Anschauliche Beschreibung der Ausbreitungsvorgänge auf TEM-Leitungen .......... 79<br />
5.2.1 Definition der zu untersuchenden Leitung ....................................................... 79<br />
5.2.2 Der Ausbreitungsvorgang auf einer verlustlosen Leitung ................................ 82<br />
5.2.3 Differentialgleichungen der Leitung ................................................................ 83<br />
5.2.4 Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenwiderstand ..................................... 83<br />
5.2.5 Gleichspannungs-Schaltvorgänge, Reflexionsfaktor ....................................... 85<br />
5.3 Leitungsgleichungen bei sinusförmiger Anregung ................................................... 88<br />
5.3.1 Beliebige TEM-Leitungen ................................................................................ 88<br />
5.3.2 Die Leitung als Zweitor .................................................................................... 93<br />
5.3.3 Nachweis der Wellenausbreitung ..................................................................... 94<br />
5.3.4 Reflexionsfaktor und Stehwellen ..................................................................... 96<br />
5.3.5 Eingangsimpedanz ............................................................................................ 98<br />
5.3.6 Transformationseigenschaften und Smith-Diagramm ...................................... 99<br />
5.4 Eigenschaften konkreter Leitungen ........................................................................... 101<br />
5.4.1 Zweidrahtleitungen ........................................................................................... 101<br />
5.4.2 Koaxialkabel ..................................................................................................... 102<br />
5.4.3 Hohlleiter .......................................................................................................... 103<br />
5.4.4 Streifenleiter ..................................................................................................... 103<br />
5.4.5 Lichtwellenleiter ............................................................................................... 104<br />
HTI Biel, Signalübertragung Inhaltsverzeichnis
1 SIGNALE UND IHRE EIGENSCHAFTEN<br />
1.1 Dämpfung und Verstärkung, Pegel<br />
1<br />
Übertragungstechnische Systeme werden für die weitere Behandlung in einzelne Blöcke unterteilt.<br />
Diese haben ein oder mehrere Zugänge oder Tore. Ein Tor besteht meistens aus zwei Anschlussklemmen<br />
(Pole), doch gibt es Fälle, bei denen diese Vorstellung nicht passt, etwa bei einem Lichtwellenleiter.<br />
Am häufigsten kommen nun Blöcke mit zwei Zugängen (Eingang, Ausgang) vor, sogenannte Zweitore.<br />
Der dazu oft verwendete Ausdruck "Vierpol" vermag nach dem oben Gesagten nicht ganz zu befriedigen.<br />
Am Bild 1.1 sollen nun zwei wichtige Eigenschaften von Zweitoren untersucht werden: Dämpfung<br />
und Verstärkung.<br />
Bild 1.1 Zweitor zwischen Generator und Last<br />
Da in der Nachrichtentechnik nur zeitlich veränderliche Signale verarbeitet werden, ist ein komplexer<br />
Ansatz (sinusförmige Grössen) sinnvoll.<br />
Eingangsgrössen werden mit Index 1, Ausgangsgrössen mit Index 2 bezeichnet. Allgemein gilt:<br />
Verstärkung V = Ausgangsgrösse<br />
Eingangsgrösse<br />
Spannungsverstärkung:<br />
Spannungsdämpfung:<br />
Analog dazu Stromverstärkung bzw. -dämpfung:<br />
V i = I 2<br />
I 1<br />
V u = U 2<br />
U 1<br />
A u = U 1<br />
U 2<br />
bzw. A i = I 1<br />
I 2<br />
Dämpfung A = Eingangsgrösse<br />
Ausgangsgrösse<br />
(1.1)<br />
(1.2)<br />
(1.3) (1.4)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 1.1
Dabei muss beachtet werden, dass per Definition alle Ströme in das Zweitor hinein definiert sind.<br />
2<br />
Spannungs- und Stromverstärkungen bzw. -dämpfungen sind komplexe Grössen, für die die exponentielle<br />
Schreibweise gebräuchlich ist:<br />
V = V ⋅ e<br />
Dämpfung und Verstärkung sind reziprok zueinander:<br />
jΦ<br />
bzw. A = A ⋅ e jB<br />
V = 1<br />
A<br />
Damit gilt für die Beträge und Phasenwinkel:<br />
V = 1<br />
A<br />
(1.5) (1.6)<br />
(1.7)<br />
(1.8) (1.9)<br />
Unter Leistungsverstärkung oder Gewinn (Gain) versteht man das Verhältnis von Ausgangswirkleistung<br />
P 2 zu Eingangswirkleistung P 1.<br />
Vp =<br />
während die Leistungsdämpfung (Loss) definiert ist als<br />
P2 P1 (1.10)<br />
(1.11)<br />
Da bei der Leistungsverstärkung und -dämpfung nur die Wirkleistungen verglichen werden, handelt<br />
es sich bei V p und A p somit um reelle Grössen.<br />
Logarithmische Verhältnisgrössen:<br />
und Φ = −B<br />
A p = P 1<br />
P 2<br />
In der Übertragungstechnik werden Verhältnisse gleichartiger Grössen sehr oft logarithmisch dargestellt.<br />
Diese Verhältniszahlen eignen sich sehr gut zur Darstellung von Verstärkungen oder Dämpfungen.<br />
Je nach verwendetem Logarithmus (lg oder ln) werden die gebildeten Werte mit den "Einheiten"<br />
Dezibel (dB) oder Neper (Np) versehen.<br />
Grundsätzlich ist das "dB" mit Leistungen und dem Zehnerlogarithmus definiert. Eine Dämpfung in<br />
dB lautet demnach:<br />
Ap [dB] = 10 ⋅ lg (1.12)<br />
Das "Neper" wird vorallem in der Übertragungstechnik im Zusammenhang mit Leitungen verwendet.<br />
Es ist mit Spannungen und dem natürlichen Logarithmus definiert:<br />
P1 [dB]<br />
P2 A u [Np] = ln U 1<br />
U 2<br />
[Np]<br />
(1.13)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 1.1
Die Umrechnung zwischen dB und Np ist einfach:<br />
1Np = 8, 686dB oder 1dB = 0, 115Np<br />
Bei diesen "logarithmischen Einheiten" ist folgendes besonders zu beachten:<br />
3<br />
(1.14)<br />
• Es können keine Verhältnisse zwischen komplexen Grössen gebildet werden. Gemäss Norm<br />
werden nur die Beträge verrechnet.<br />
• Obschon das "dB" an sich mit Leistungen definiert ist, wird es häufig auch für Spannungsverhältnisse<br />
eingesetzt.<br />
Zwischen Leistungs- und Spannungsverhältnissen gilt der Zusammenhang:<br />
P 1<br />
P 2<br />
= U 2<br />
1 ⋅ R2<br />
2<br />
U2 ⋅ R1<br />
A p [dB] = 20 ⋅ lg U 1<br />
U 2<br />
= ⎛ ⎜ ⎝<br />
(1.15)<br />
(1.16)<br />
Sind R 1 und R 2 gleich gross, oder werden nur Spannungen betrachtet, so kann für A u auch<br />
geschrieben werden:<br />
Au [dB] = 20 ⋅ lg (1.17)<br />
Falls die Bedingung R1 =R2 jedoch nicht erfüllt ist, so weicht Au [dB] von Ap [dB] ab. Die Werte<br />
müssen in diesem Fall eindeutig als Spannungs- oder Leistungsverhältnisse bezeichnet werden!<br />
U1 [dB]<br />
U2 Die Reziprozität zwischen Verstärkung und Dämpfung wirkt sich bei den logarithmischen Grössen<br />
als Vorzeichenwechsel aus.<br />
V [dB] = −A [dB]<br />
Eine Dämpfung von -20 dB entspricht somit einer Verstärkung von 20 dB.<br />
(1.18)<br />
Für die praktische Arbeit mit dB’s ist es sehr nützlich, sich einige Werte zu merken. Zusammen mit<br />
den Rechenregeln für logarithmische Zahlen ist man dann in der Lage, Zahlenwerte im Kopf umzurechnen.<br />
Die folgende Tabelle zeigt die wichtigsten "Merkwerte":<br />
U 1<br />
U 2<br />
+ 10 ⋅ lg R 2<br />
R 1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
R2 R1 HTI Biel, Signalübertragung 1.1<br />
[dB]
Leistungsverhältnis<br />
Px/Py: Spannungsverhältnis<br />
Ux/Uy: 20 dB 100 10<br />
10 dB 10 3,16<br />
6 dB 4 2<br />
3 dB 2 1,41<br />
0 dB 1 1<br />
-3 dB 0,5 0,707<br />
-6 dB 0,25 0,5<br />
-10 dB 0,1 0,316<br />
-20 dB 0,01 0,1<br />
4<br />
Bild 1.2 Merkwerte für Spannungs- und Leistungsverhältnisse in dB. Die Indizes x und y bezeichnen beliebige<br />
Grössen.<br />
Pegel:<br />
Oft werden Spannungen U bzw. Leistungen P mit Bezugsgrössen U 0 bzw. P 0 verglichen. Die entstehenden<br />
logarithmischen Verhältnisse nennt man Pegel (Level) L.<br />
Spannungspegel:<br />
Lu = 20 ⋅ lg<br />
(1.19)<br />
Leistungspegel:<br />
(1.20)<br />
Bei diesen "relativen Pegeln" können die Bezugsgrössen P0 bzw. U0 beliebig gewählt werden. Damit<br />
die Pegel jedoch eindeutig definiert sind, müssen diese Bezugsgrössen festgehalten werden.<br />
→ z.B. U0 = ..... V oder 0 dB = ..... V .<br />
U<br />
U0 [dB]<br />
Lp = 10 ⋅ lg P<br />
P0 [dB]<br />
HTI Biel, Signalübertragung 1.1
5<br />
Als "absolute Pegel" bezeichnet man Pegel , die sich auf einen festgelegten Normalwert beziehen.<br />
Gebräuchlich sind folgende "absolute Pegel":<br />
dBm P 0 =1mW → 0 dBm entsprechen 1 mW<br />
dBW P 0 =1W → 0 dBW entsprechen 1 W<br />
dBV U 0 =1V → 0 dBV entsprechen 1 V<br />
dBµV U 0 =1µV → 0dBµV entsprechen 1 µV<br />
Viele Voltmeter haben zusätzlich zu den linearen Skalen auch eine "dB-Skala", - entweder "dBV"<br />
oder "dBm". Währenddem dBV eindeutig eine Spannung (bezogen auf 1 V) bezeichnet, bedeutet dBm<br />
jedoch eine Leistung (bezogen auf 1 mW)!<br />
Gemeint ist damit die Leistung, die an einem äusseren Widerstand die gemessene Spannung erzeugt.<br />
Dabei muss beachtet werden, dass die Umrechnung zwischen Leistung und Spannung vom Widerstand<br />
abhängig ist.<br />
"dBm"-Skalen sind daher immer mit einem Bezugswiderstand versehen:<br />
dBm(600 Ω) 1 mW (0 dBm) entspricht einer Der Bezugswiderstand 600 Ω entspricht<br />
Spannung von 0,775 V an 600 einem üblichen Abschlusswiderstand bei<br />
Ω. Übertragungsleitungen in der Telefonie.<br />
dBm(50 Ω) 1 mW (0 dBm) entspricht einer Der Bezugswiderstand 50 Ω wird vorwie-<br />
Spannung von 224 mV an 50Ω. gend in der Hochfrequenztechnik verwendet.<br />
Er entspricht dem Wellen- und<br />
Abschlusswiderstand der gebräuchlichen<br />
Koaxialleitungen.<br />
Da "absolute Pegel" gleichbedeutend mit Spannungs- oder Leistungswerten sind, werden anstelle von<br />
L p bzw. L u oft einfach die Symbole P bzw. U verwendet.<br />
Beispiele: U = -60 dBV entsprechen U = 1 mV; P = 13 dBm entsprechen P = 20 mW.<br />
Der Zusammenhang zwischen Pegel und Dämpfung bzw. Verstärkung kann einfach im Kopf berechnet<br />
werden, da durch die logarithmischen Grössen die Division in eine Subtraktion reduziert wird:<br />
A p = L p1 − L p2 [dB]<br />
(1.21)<br />
Währenddem die Pegel L p1 und L p2 durchaus beispielsweise die Einheit "dBm" aufweisen können, so<br />
haben Dämpfung und Verstärkung immer die Einheit "dB"!<br />
HTI Biel, Signalübertragung 1.1
1.2 Signale im Zeitbereich<br />
6<br />
Signale stellen meist eine Nachricht dar. Diese können in verschiedenen Formen (Töne, Bilder, Daten)<br />
vorliegen. Nachrichten sind demnach Funktionen oder Zeichen, die zum Zweck der Weitergabe<br />
Informationendarstellen. Die physikalische Darstellung einerNachricht nennt man Nachrichtensignal.<br />
Das Nutzsignal - oft auch nur Signal genannt - setzt sich aus dem Nachrichtensignal und dem zur<br />
Übertragung allenfalls notwendigen Hilfssignal zusammen. Die von der Nachricht abhängigen<br />
Merkmale des Nutzsignals heissen Signalparameter.<br />
Praktische Signale werden in der Regel auch Merkmale enthalten, welche die Übertragung stören<br />
können. Man nennt diese Signalanteile daher Störsignale.<br />
Der zeitliche Verlauf einer physikalischen Grösse lässt sich durch ihre Zeitfunktion beschreiben. Die<br />
in Bild 1.3a gezeigte Sinusschwingung wird zwar sehr oft eingesetzt, entspricht jedoch kaum den<br />
praktisch vorkommenden Nachrichten. Sobald Amplitude und Frequenz der Sinuschwingung einmal<br />
bekannt sind, kann die Zeitfunktion problemlos weiterberechnet werden. Sie enthält dann im Sinne<br />
der Informationstheorie keine Informationen mehr. Nur unvorhersehbare Zustandsänderungen, wie<br />
sie z.B. in Bild 1.3b auftreten, sind als Nachrichten zu interpretieren.<br />
Bild 1.3 Zeitfunktionen: a) Vorhersehbare Zeitfunktion (ohne Nachricht)<br />
b) Unvorhersehbare Zeitfunktion, die eine Nachricht enthalten kann.<br />
Signale lassen sich weiter in kontinuierliche und diskrete Funktionen unterteilen:<br />
• Analogsignale stellen einen kontinuierlichen Vorgang kontinuierlich dar. Zu jedem Zeitpunkt ist<br />
also ein beliebiger Signalwert möglich.<br />
• Zeitdiskrete (abgetastete) Signale zeigen die Nachricht nur in bestimmten Zeitpunkten in wertkontinuierlicher<br />
(analoger) Form.<br />
• Digitalsignale zeigen dagegen eine wertdiskrete (quantisierte) oder eine wert- und zeitdiskrete<br />
Form der Nachricht. Bei wertdiskreten Signalen sind nur bestimmte Amplitudenwerte (Stufen)<br />
zulässig.<br />
In Bild 1.47 ist jeweils die gleiche Funktion in analoger, wertdiskreter, zeitdiskreter, sowie wert- und<br />
zeitdiskreter Form dargestellt.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 1.2
Bild 1.4 Einteilung in kontinuierliche (analoge) und diskrete (digitale) Signale.<br />
7<br />
Zeitfunktionen werden im Labor mit dem Oszilloskop gemessen, wobei auch hier analoge und digitale<br />
Geräte gebräuchlich sind.<br />
Bild 1.5 zeigt einige in der Nachrichtentechnik gebräuchliche Signale mit ihrer Zeitfunktion.<br />
Bild 1.5 Zeitfunktionen in der Nachrichtentechnik.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 1.2
1.3 Frequenzband und Spektrum<br />
8<br />
Damit übertragungstechnische Systeme richtig dimensioniert werden können, ist es wichtig, den<br />
Frequenzinhalt (Spektrum) eines Signals angeben zu können. In diesem Kapitel soll daher der<br />
Zusammenhang zwischen Zeitfunktion und Spektrum genauer untersucht werden.<br />
Ein reines Sinussignal besteht aus einer periodischen Schwingung mit fester Frequenz f = 1/T,<br />
der<br />
Amplitude Û und allenfalls dem Nullphasenwinkel ϕ.<br />
Es lässt sich mit folgender Gleichung beschreiben:<br />
u(t) = Û ⋅ sin (ωt +ϕ)<br />
(1.22)<br />
Dabei gilt:<br />
Die Kreisfrequenz ω hat die Einheit "s -1 " oder "rad/s"; die Frequenz f dagegen die Einheit "Hz". Eine<br />
Frequenz mit der Einheit "s -1 ω=2πf<br />
" zu bezeichnen, ist falsch und führt oft zu Verwechslungen mit ω.<br />
Diegleiche Informationkann auch imSpektrumdargestellt werden(Bild1.6). Das Amplitudenspektrum<br />
enthält eine Spektrallinie mit der Amplitude Û bei der Frequenz f. Diese Darstellungsart wird etwa<br />
auch Linienspektrum genannt. Da sich die Phaseninformation nicht im gleichen Diagramm einbauen<br />
lässt, wird ein zusätzliches Diagramm nötig, das Phasenspektrum.<br />
Bild 1.6 Darstellung einer Sinusschwingung als Zeitfunktion und als Spektrum.<br />
Die Spektraldarstellung, bestehend aus Amplituden- und Phasenspektrum, enthält somit die gleiche<br />
Information wie die Zeitfunktion.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 1.3
Spektrum periodischer Signale (Fourier-Reihe):<br />
9<br />
Ist ein Signal zwar periodisch, aber nicht sinusförmig, so treten zusätzlich zur Grundschwingung<br />
sogenannte Oberschwingungen auf.<br />
Nach dem französischen Mathematiker Fourier kann jedes periodische Signal durch eine<br />
Reihe harmonischer Schwingungen approximiert werden. Harmonische sind ganzzahlige<br />
Vielfache der Grundfrequenz.<br />
Zwischen Grundschwingung, Oberschwingungen und Harmonischen gelten die folgenden Zusammenhänge:<br />
f 1 =f=1/T 1. Harmonische oder Grundschwingung<br />
f 2 = 2·f 2. Harmonische oder 1. Oberschwingung<br />
f 3 = 3·f 3. Harmonische oder 2. Oberschwingung<br />
... ...<br />
f n = n·f n. Harmonische oder (n-1). Oberschwingung<br />
Bild 1.7 zeigt die Zeitfunktion und das Spektrum eines allgemeinen, periodischen Signals.<br />
Bild 1.7 Zeitfunktion und Spektrum eines allgemeinen, periodischen Signals.<br />
Die Fourier-Reihe findet man im Mathematikbuch in der folgenden Form:<br />
∞<br />
f(x) = ∑ (an cos nx + bn sin nx)<br />
n = 0<br />
= a 0 + a 1 cos x + a 2 cos 2x +…+a n cos nx +…<br />
+b 1 sin x + b 2 sin 2x +…+b n sin nx +…<br />
(1.23)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 1.3
10<br />
Zur Bestimmung der Koeffizienten a 0, a n und b n muss die Zeitfunktion jeweils über eine Periode von<br />
0 ... 2π integriert werden:<br />
(1.24)<br />
Der Zeitpunkt 0 kann beliebig gewählt werden. Wichtig ist nur, dass über eine ganze Periode integriert<br />
wird.<br />
Für die Anwendung der Fourier-Reihe in der Elektrotechnik soll nun über eine Zeitperiode 0 ... T<br />
integriert werden. Aus der Veränderliche x wird nun ωt, wobei nur die Zeit t eine Variable ist.<br />
Für ω gilt: ω= .<br />
2π<br />
Damit wird die Fourier-Reihe:<br />
T<br />
und die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten:<br />
∞<br />
a 0<br />
=<br />
2π<br />
1 ⌠ f(x) dx<br />
2π<br />
2π<br />
⌡ 0<br />
an = 1 ⌠ f(x) cos nx dx<br />
π<br />
⌡ 0<br />
2π<br />
bn = 1 ⌠ f(x) sin nx dx<br />
π<br />
f(t) = ∑ (an cos nωt + bn sin nωt)<br />
n = 0<br />
⌡ 0<br />
= a 0 + a 1 cos ωt + a 2 cos 2ωt +…+a n cos nωt +…<br />
+b 1 sin ωt + b 2 sin 2ωt +…+b n sin nωt +…<br />
a0 = 1<br />
T<br />
⌠<br />
T ⌡<br />
0<br />
an = 2<br />
T<br />
⌠<br />
T ⌡<br />
0<br />
bn = 2<br />
T<br />
⌠<br />
T ⌡<br />
0<br />
f(t) dt<br />
f(t) cos nωt dt<br />
f(t) sin nωt dt<br />
(1.25)<br />
(1.26)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 1.3
11<br />
JedeHarmonische wird inder Fourier-Reihe durchzwei Komponenten dargestellt:eine cosinusförmige<br />
mit der Amplitude an und eine sinusförmige mit der Amplitude bn. Da die beiden Komponenten die<br />
gleiche Frequenz aufweisen, können sie in eine resultierende Amplitude Ûn (→ Amplitudenspektrum)<br />
und eine Phase ϕn (→ Phasenspektrum) zusammengefasst werden. Wir erhalten damit eine weitere<br />
Darstellung der Fourier-Reihe:<br />
Dabei bedeuten:<br />
Spektrum von nichtperiodischen Signalen (Fourier-Integral):<br />
∞<br />
f(t) = Û 0 + ∑<br />
n = 1<br />
Û n ⋅ sin(nωt +ϕ n)<br />
Û 0 = U 0 = a 0 → Gleichspannungskomponente<br />
2 2<br />
Û n = √⎺ ⎺⎺⎺⎺ an + bn<br />
ϕ n = arctan a n<br />
b n<br />
ϕ n = arctan a n<br />
b n<br />
→ Amplitudenspektrum<br />
→ Phasenspektrum für b n > 0 , bzw.<br />
+ π für b n < 0<br />
(1.27)<br />
(1.28)<br />
Fourier-Reihen geben die Möglichkeit, periodische Funktionen durch eine Summe von Sinus- und<br />
Cosinusfunktionen darzustellen und ein sogenanntes Linienspektrum zu entwickeln. In der Praxis<br />
treten jedoch viele Vorgänge auf, die nicht periodisch sind. Die Analyse nichtperiodischer Funktionen,<br />
z.B. einmaliger Impulse, führt zu einem Spektrum, das alle Frequenzen zwischen Null und Unendlich<br />
enthält.<br />
Anstelle der Fourier-Reihe tritt das Fourier-Integral, das sich über alle Frequenzen von Null bis<br />
Unendlich erstreckt.<br />
Auf eine Ableitung des Fourier-Integrals soll hier verzichtet werden [1]. Hingegen kann der Übergang<br />
von einem Linienspektrum zu einem kontinuierlichen Spektrum anschaulich gezeigt werden.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 1.3
Als Ausgangsbasis dient das Spektrum von kurzen periodischen Impulsen:<br />
12<br />
Bild 1.8 Zeitfunktion und Spektrum von periodischen Impulsen der Länge τ und der Periode T, 5T und T → ∞.<br />
Wird nun die Periodendauer T vergrössert, so nimmt die Grundfrequenz f =1/Tab, die Spektrallinien<br />
kommen näher zueinander zu liegen und werden immer kleiner. Beim Übergang T →∞schliesslich<br />
geht f → 0 und die Linien "verschmelzen" ineinander, - das Spektrum wird kontinuierlich. Gleichzeitig<br />
gehen die Amplituden der Spektrallinien gegen Null. Um zu erreichen, dass die kontinuierliche<br />
Spektralfunktion nicht verschwindende Werte besitzt, muss eine neue Grösse - die Amplitudendichtefunktion<br />
- eingeführt werden. Hierzu bezieht man die Spannung auf ein Frequenzintervall ∆f.<br />
Der Quotient Û/∆f hat auch im Grenzfall ∆f→0 einen endlichen Wert. Diesen Grenzwert bezeichnet<br />
man als Spektralfunktion U(f):<br />
⎛ Û ⎞<br />
U(f) = lim ⎜ ⎟<br />
∆f → 0⎝<br />
∆f ⎠<br />
(1.29)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 1.3
2 VERZERRUNGEN UND STÖRUNGEN<br />
2.1 Informationsminderung<br />
13<br />
Ein Signal wird in einem Übertragungssystem auf verschiedene Weise beeinflusst. An den verschiedensten<br />
Stellen können Störungen ins System eindringen und sich dem Nutzsignal (Nachrichtensignal)<br />
überlagern.<br />
Beispiele von Störungen:<br />
a) auf dem Übertragungsweg<br />
- Rauschen (verschiedene Ursachen)<br />
- Einstreuung von Schalttransienten (Schalter, Relais, Elektromotoren, etc.),<br />
- Netzeinstreuungen (50 Hz oder Oberwellen)<br />
- Übersprechen, Nebensprechen (unerwünschte Sprache, Musik oder andere<br />
Signale von benachbarten Leitungen oder Kanälen)<br />
b) in Geräten (Sender, Empfänger, Geräte auf dem Übertragungsweg)<br />
- Widerstands- und/oder Halbleiterrauschen<br />
- Einstreuung (induktiv, kapazitiv oder via Netz)<br />
- Quantisierungsrauschen<br />
Verschiedene Übertragungsverfahren und -systeme weisen gegenüber verschiedenen Störungen<br />
unterschiedliche Störfestigkeit auf.<br />
Das Nachrichtensignal ist im Übertragungssystem, insbesonders auf dem Übertragungsweg, verschiedenen<br />
Verzerrungen unterworfen. Dadurch wird die Form des Signals verändert. Man unterscheidet<br />
zwischen linearen und nichtlinearen Verzerrungen.<br />
Soll ein Signal möglichst formgetreu übertragen werden, so wirken sich alle Arten der Verzerrungen<br />
in starkem Masse aus. Formtreue ist bei allen Signalen nötig, die nicht direkt ein Sinnesorgan des<br />
Menschen ansprechen, besonders bei Impulsen. Demgegenüber sind die Sinnesorgane Auge und Ohr<br />
nicht allen Arten von Verzerrungen gegenüber gleich empfindlich, wie die folgende Übersicht zeigt:<br />
Sinnesorgan Lineare Verzerrungen Nichtlineare Verzerrungen<br />
Amplitudenverzerrungen Phasenverzerrungen<br />
Ohr 1 0 2<br />
Auge 1 2 0<br />
2 = sehr empfindlich, 1 = empfindlich, 0 = wenig empfindlich<br />
Bild 2.1 Verzerrungsempfindlichkeit der menschlichen Organe Auge und Ohr.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.1
14<br />
Eine der Grundaufgaben der Übertragungstechnik ist die Übertragung von Information mit genügend<br />
grosser Qualität. Störungen und Verzerrungen jeder Art wirken sich informationsmindernd aus. Aus<br />
diesem Grund ist die Kenntnis und die quantitative Erfassung dieser Effekte von grosser Bedeutung<br />
für die Beurteilung der Qualität eines Übertragungssystem.<br />
2.2 Lineare Verzerrungen<br />
Verformung durch ein lineares System.<br />
Merkmal: Das verzerrte Signal enthält keine neuen Frequenzkomponenten, die nicht schon im<br />
ursprünglichen, unverzerrten Signal vorhanden waren. Nur die Amplituden und Phasen<br />
der bereits vorhandenen Komponenten werden verändert.<br />
Die Eigenschaften eines linearen Systems sind nicht von der Aussteuerung abhängig, das Überlagerungsprinzip<br />
ist gültig.<br />
2.2.1 Komplexer Frequenzgang<br />
Die Darstellung der komplexen Ausgangsspannung bezogen auf die komplexe Eingangsspannung in<br />
Funktion der (Kreis-)Frequenz heisst Frequenzgang.<br />
Die allgemeine Darstellung lautet:<br />
H(ω) = K(ω) ⋅ e (2.1)<br />
Der Betrag des Frequenzgangs |H(ω)| = K(ω) heisst Amplitudengang, die Phase ϕ(ω) von H(ω)<br />
entsprechend Phasengang.<br />
jϕ(ω)<br />
2.2.2 Amplitudenverzerrungen<br />
Der Frequenzgang eines verzerrungsfreien Systems kann folgendermassen dargestellt werden:<br />
H(ω) = K ⋅ e −jt p ω<br />
Gemäss Gl. (2.2) gilt für den Amplitudengang im verzerrungsfreien Fall:<br />
| H(ω) | = K = konstant<br />
Merkmal: Die Verstärkung des Eingangssignals ist unabhängig von der Frequenz.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.2<br />
(2.2)<br />
(2.3)
Bei Amplitudenverzerrungen (Verstärkungsverzerrungen) gilt:<br />
Bild 2.2 Lineare Verzerrungen im Amplituden- und Phasengang.<br />
2.2.3 Phasenverzerrungen<br />
Gemäss Gl. (2.2) gilt für den Phasengang im verzerrungsfreien Fall:<br />
Merkmal: t p = Phasenlaufzeit (Verzögerungszeit des Signals) ist unabhängig von der Frequenz.<br />
Bei Phasenverzerrungen (Laufzeitverzerrungen) gilt:<br />
ϕ(ω) = arg H(ω) ≠ Konst.⋅ω = nichtlinear<br />
15<br />
ϕ(ω) = arg H(ω) = − t p ⋅ω = linear<br />
In praktischen Systemen ist es meist nicht nötig, im gesamten Frequenzbereich f = 0 ... ∞ eine konstante<br />
Phasenlaufzeit zu erreichen. Es genügt für ein phasenverzerrungsfreies System, wenn im interessierenden<br />
Frequenzbereich die Gruppenlaufzeit t g konstant ist:<br />
t g = − dϕ(ω)<br />
dω<br />
| H(ω) | ≠ konstant<br />
= konst. ⇒ keine Phasenverzerrung<br />
Ist die Gruppenlaufzeit nicht konstant, so sind Phasenverzerrungen vorhanden.<br />
Bild 2.3 Phasengang mit teilweise konstanter<br />
Gruppenlaufzeit.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.2<br />
(2.4)<br />
(2.5)
16<br />
Lineare Verzerrungen treten in Leitungen (Freileitungen, Kabel etc.) auf, entstehen aber auch als<br />
Folge von Reflexionen bzw. Mehrwegempfang (Multipath). Auch Filter in Geräten auf dem<br />
Übertragungsweg (auch im Sender und Empfänger) können lineare Verzerrungen erzeugen.<br />
2.3 Nichtlineare Verzerrungen<br />
Unter nichtlinearen Verzerrungen versteht man die Signalverformung in nichtlinearen Systemen bzw.<br />
an nichtlinearen Kennlinien.<br />
Merkmal: Es treten neue Frequenzkomponenten auf, die im ursprünglichen, unverzerrten Signal noch<br />
nicht vorhanden waren.<br />
Nichtlineare Verzerrungen können zum Beispiel in aktiven Elementen (Verstärker etc.) und in<br />
Übertragern bzw. Induktivitäten (magnetischer Kreis mit Eisen) entstehen (Begrenzung, Sättigung).<br />
Die Eigenschaften eines nichtlinearen Systems sind von der Aussteuerung abhängig, das Überlagerungsprinzip<br />
ist nicht mehr gültig.<br />
2.3.1 Aussteuerungskennlinie<br />
Bei mehrstufigen Verstärkern beispielsweise ist häufig in den letzten Stufen und in der Ausgangsstufe<br />
die Verstärkung nicht mehr linear, d.h. nicht mehr amplitudenunabhängig. Das Ausgangssignal weist<br />
dann nichtlineare Verzerrungen auf, weil die Signalamplitude in den letzten Stufen so gross geworden<br />
ist, dass die Kennlinien bis in ihre nichtlinearen Bereiche ausgesteuert werden.<br />
Bild 2.4 Lineare und nichtlineare Aussteuerungskennlinien.<br />
Zur Berechnung der durch gekrümmte Kennlinien entstehenden Verzerrungen, benötigt man eine<br />
mathematische Beschreibung der Nichtlinearitäten.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.3
17<br />
Der Zusammenhang zwischen den Momentanwerten der Ausgangsspannung u 2 und der Eingangsspannung<br />
u 1 eines Systems (= Kennlinie) werde durch ein Potenzpolynom approximiert (als Approximationsausdrücke<br />
werden auch Exponentialpolynome, trigonometrische Reihen und transzendente<br />
Funktionen benützt):<br />
Nach einigen trigonometrischen Umformungen erhält man die Frequenzkomponenten der Ausgangsspannung:<br />
2.3.2 Klirrfaktor<br />
2 3<br />
u2 = C0 + C1 ⋅ u1 + C2 ⋅ u1 + C3 ⋅ u1 + …<br />
u 1 = Û 1 ⋅ sin ωt<br />
2 2 3 3<br />
⇒ u2 = C0 + C1 ⋅ Û 1 ⋅ sin ωt + C2 ⋅ Û 1 ⋅ sin ωt + C3 ⋅ Û 1 ⋅ sin ωt + …<br />
⇒ u2 = C0 + C2 ⋅ 1<br />
2 ⋅ Û 2<br />
1 + …<br />
+ ⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
− ⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
− ⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
C1 ⋅ Û 1 + C3 ⋅ 3<br />
4 ⋅ Û 3 ⎫<br />
1 + … ⎬ sin ωt<br />
⎭<br />
C2 ⋅ 1<br />
2 ⋅ Û 2 ⎫<br />
1 + … ⎬ cos 2ωt<br />
⎭<br />
C3 ⋅ 1<br />
4 ⋅ Û 3 ⎫<br />
1 + … ⎬ sin 3ωt +− …<br />
⎭<br />
Oft ist es umständlich und unnötig das beim Auftreten von nichtlinearen Verzerrungen entstehende<br />
Signalspektrum darzustellen. Es interessiert vielfach nur ein Mass, das die Abweichungen eines<br />
periodischen Signals von der reinen Sinusschwingung angibt. Dieses Mass kann durch den Klirrfaktor<br />
k ausgedrückt werden.<br />
Der Gesamtklirrfaktor k ist folgendermassen definiert:<br />
k =<br />
2 2 2<br />
√⎺ ⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺<br />
U2 + U3 +…+Um<br />
2 2 2 2<br />
√⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺<br />
U1 + U2 + U3 +…+Um<br />
U 1 ... U m: Spannungen (Effektivwerte) aller Harmonischen.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.3<br />
(2.6)<br />
(2.7)<br />
(2.8)<br />
(2.9)
Es ist üblich, den Klirrfaktor in % oder auch in dB anzugeben:<br />
Man unterscheidet noch weiter Klirrfaktoren 2., 3., ...n-ter Ordnung.<br />
Der Klirrfaktor n-ter Ordnung k n ist folgendermassen definiert:<br />
18<br />
(2.10)<br />
(2.11)<br />
(2.12)<br />
Es ist zu beachten, dass der Klirrfaktor keine systeminhärente Grösse darstellt, da er vorallem von<br />
der Amplitude, aber auch von der Frequenz des Eingangssignals abhängig ist.<br />
Zur Messung des Klirrfaktors benützt man ein Effektivwert-Voltmeter. Damit misst man das Ausgangssignal<br />
mit und ohne Grundwelle, wobei ein allfällig vorhandener Gleichspannungsanteil vorgängig<br />
der Messung eliminiert werden muss. Der Quotient der so erhaltenen Messwerte ist gemäss<br />
Gl.(2.9) der gesuchte Klirrfaktor. Die Unterdrückung der Grundwelle erfolgt mit einem<br />
Serieresonanzkreis. Geräte, bestehend aus einem Effektivwert-Voltmeter, einem abstimmbaren<br />
Serieresonanzkreis und einem Quotientenbildner, werden als Klirrfaktor-Messbrücken bezeichnet.<br />
2.3.3 Intermodulation<br />
k [%] = k ⋅ 100% [%]<br />
k [dB] = 20 ⋅ lg k [dB]<br />
k n<br />
=<br />
U n<br />
2<br />
√⎺ ⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺<br />
U1 + U2<br />
2 2<br />
+…+Um<br />
Liegt am Eingang eines Systems mit einer nichtlinearen Kennlinie ein Signal, das aus zwei harmonischen<br />
Schwingungen ( u1 = Û 11 sin ω1t + Û 12 sin ω2t) besteht, entstehen am Ausgang Frequenzkomponenten,<br />
die nicht nur bei ganzzahligen Vielfachen der Eingangsfrequenzen liegen,<br />
sondern auch bei linearen Kombinationen dieser Frequenzen<br />
( ω1 ±ω2 , 2ω1 ±ω2 , ω1 ± 2ω2 , … ). Dieser Effekt wird als Intermodulation bezeichnet.<br />
Intermodulationsverzerrungen spielen vor allem bei der Modulation eine Rolle.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.3
2.4 Rauschen<br />
2.4.1 Allgemeines<br />
19<br />
Bei einer Signalübertragung treten oft sehr kleine Signale auf. Ihr Pegel muss durch starkes Verstärken<br />
heraufgesetzt werden. Dabei ist nun zu beachten, dass in jedem Teil des Übertragungssystems dem<br />
informationstragenden Signal (= Nutzsignal) Störsignale überlagert werden, die sich informationsmindernd<br />
auswirken (→ 2.1). Die Beeinträchtigung der Übertragung hängt natürlich von der Intensität<br />
(in bezug auf die Nutzsignalintensität) und der Art der Störung ab.<br />
Bei der Übertragung analoger Signale hat sich als Mass für die Qualität der Störabstand S/N (in dB)<br />
eingebürgert, wobei S die Signalleistung und N die Störleistung darstellt. Handelt es sich bei der<br />
Störung um Rauschsignale, so spricht man auch vom Signal-Rauschleistungsverhältnis.<br />
Ein Rauschsignal ist ein stochastisches (zufälliges) Signal, dessen Verlauf nicht deterministisch ist,<br />
d.h. nicht zum voraus analytisch beschrieben werden kann. Von einem Rauschsignal können dafür<br />
statistische Angaben gemacht werden.<br />
Bei digitalen Signalen spielen störungsbedingte Verformungen solange keine Rolle, als die Entscheidung<br />
für einen bestimmten diskreten Zustand mit hoher Sicherheit möglich ist. Überschreiten<br />
die Störungen jedoch eine gewisse Intensitätsschwelle, so wird die Signalerkennung unsicher, und es<br />
entstehen Fehler. Als Qualitätsmass bietet sich hier die Fehlerwahrscheinlichkeit P e an.<br />
Die durch periodische Störungen hervorgerufene Beeinträchtigung einer Signalübertragung lässt sich<br />
ohne weiteres quantitativ erfassen, da ja periodische Signale sowohl im Zeitbereich, als auch im<br />
Frequenzbereich (mit Hilfe von Fourierreihen), beschrieben werden können.<br />
Entsprechende Berechnungen für Übersprechen oder Büschelstörungen sind dagegen sehr schwierig<br />
da die zugehörigen Zufallsprozesse nichtstationär sind (d.h. statistische Eigenschaften des Störsignals<br />
sind zeitvariant), was zur Folge hat dass Störabstände oder Fehlerwahrscheinlichkeiten selber nicht<br />
mehr deterministisch sind.<br />
Da es sich bei Rauschsignalen in der Regel um stationäre Signale handelt (d.h. statistische Eigenschaften<br />
sind zeitinvariant) kann die Störung einer Nachrichtenübertragung durch Rauschen in<br />
befriedigender Weise ermittelt werden. Die folgenden Ausführungen beschränken sich auf diese<br />
Störungsart, die bei praktischen Übertragungssystemen auch tatsächlich sehr häufig auftritt.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.4
2.4.2 Rauschsignale<br />
2.4.2.1 Einführung<br />
20<br />
In Bild 2.5 ist der mögliche Verlauf eines Rauschsignals<br />
dargestellt. Wie in der Einleitung erklärt wurde, handelt<br />
es sich hier um ein nicht voraussagbares, stochastisches<br />
(zufälliges) Signal. Wir benötigen geeignete Beschreibungsmethoden<br />
für solche Signale. Im Vordergrund<br />
stehen dabei die Beziehungen zwischen stochastischen<br />
Bild 2.5 Beim Rauschen handelt es sich um ein Signalen und verschiedenen statistischen Kenngrössen.<br />
stochastisches Signal.<br />
Zum besseren Verständnis sollen an dieser Stelle die wichtigsten theoretischen Grundlagen zur<br />
Beschreibung stochastischer Signale aufgeführt werden.<br />
2.4.2.2 Theoretische Grundlagen zur Beschreibung stochastischer Signale<br />
Wir gehen aus von einem zufälligen Experiment:<br />
Bild 2.6 ω ist das Ergebnis eines zufälligen<br />
Experimentes.<br />
Bei jedem Versuch eines zufälligen Experimentes tritt genau ein Ergebnis ein. Die Menge der möglichen, einander<br />
ausschliessenden Ergebnisse wird Ergebnisraum Ω genannt. Als Ereignis bezeichnet man eine Teilmenge des Ergebnisraums<br />
Ω. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis des zufälligen Experimentes mit einem Ereignis A i übereinstimmt,<br />
wird folgendermassen definiert:<br />
P (Ai ) =<br />
(2.13)<br />
Eine Zufallsgrösse X ist eine Funktion, die den Ergebnisraum Ω auf die Menge der reellen Zahlen R abbildet: X: Ω→R<br />
Damit wird für jedes ein Ereignis.<br />
In anderen Worten ausgedrückt: Bei vielen Zufallsexperimenten können die eintretenden Ergebnisse durch Zahlen (z.B.<br />
durch die Augenzahlen eines Würfels) gekennzeichnet werden.<br />
n(Ai) N<br />
= ZahldergünstigenVersuche<br />
GesamtzahlderVersuche<br />
r ∈ R {ω:X(ω) < r}<br />
Bild 2.7 Die Funktion X bildet den<br />
Ergebnisraum Ω auf die<br />
Menge der reellen Zahlen R ab.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.4
Unter der Verteilungsfunktion F X(r) der Zufallsgrösse X versteht man nun die Wahrscheinlichkeit, dass X(ω)
22<br />
Man erkennt, dass die hier betrachteten statistischen Kennwerte alle bestimmt werden können, falls die Verteilungsdichte<br />
p X(r) bekannt ist.<br />
Viele stochastische Prozesse haben die Eigenschaft, dass sich zwar im einzelnen keine erkennbare Gesetzmässigkeit zeigt,<br />
aber dafür sich im prinzipiellen Verhalten hinsichtlich der Zeit nichts ändert. Man denke etwa an das thermische Rauschen<br />
einer Verstärkerstufe. Bei gleichbleibendem physikalischen Hintergrund ändern sich die physikalischen Kennwerte nicht<br />
und wir sprechen von einem stationären Prozess. Unter einem stationären stochastischen Prozess verstehen wir also einen<br />
Prozess, dessen statistischen Kenngrössen unabhängig von der Zeit sind. In der Mehrzahl nachrichtentechnischer<br />
Anwendungen können die obigen statistischen Kennwerte durch eine zeitliche Mittelung einer Musterfunktion des<br />
betrachteten Prozesses, also ohne explizite Kenntnis der Verteilungsdichte p X(r) bestimmt werden.<br />
Als Beispiel für die Musterfunktion eines stochastischen Prozesses diene eine Spannung u(t). Die<br />
Berechnung der betrachteten statistischen Kennwerte als zeitliche Mittelwerte lautet:<br />
1.) Arithmetischer Mittelwert (= Erwartungswert):<br />
(2.17)<br />
Der arithmetische Mittelwert entspricht somit dem DC-Anteil des stochastischen Signals. Handelt<br />
es sich bei u(t) um ein Rauschsignal, so ist dieser Wert 0.<br />
2.) Quadratischer Mittelwert:<br />
Der quadratische Mittelwert entspricht der an 1Ω auftretenden mittleren Leistung.<br />
3.) Effektivwert (RMS: "root mean square"):<br />
4.) Streuung (= Varianz):<br />
δ 2 = lim<br />
T →∞<br />
Die Streuung entspricht der an 1 Ω auftretenden mittleren AC-Leistung.<br />
5.) Standardabweichung:<br />
1<br />
2T<br />
u(t) = lim<br />
T →∞<br />
u 2 (t) = lim<br />
T →∞<br />
+T<br />
+T<br />
1 ⌠ u(t) dt<br />
2T ⌡<br />
−T<br />
+T<br />
1 ⌠ u<br />
2T ⌡<br />
−T<br />
2 (t) dt<br />
Ueff = U = √⎺ ⎺⎺ u 2 (t)<br />
⌠(u(t)−u(t))<br />
2 dt ⇒ δ 2 = u 2 (t)−(u(t)) 2<br />
⌡<br />
−T<br />
δ = √⎺δ 2<br />
(2.18)<br />
(2.19)<br />
(2.20)<br />
(2.21)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.4
23<br />
Ein stochastisches Signal (z.B. Rauschspannung u r(t)) ist jedoch durch die Wahrscheinlichkeitsverteilungallein<br />
noch nicht hinreichend charakterisiert. Sein Leistungsdichtespektrum L s(f) ist ein weiteres<br />
wichtiges Charakteristikum, das als Kennfunktion im Frequenzbereich dient:<br />
6.) Leistungsdichte:<br />
L s(f) = lim<br />
∆f → 0<br />
(2.22)<br />
Daraus lässt sich die Leistung innerhalb eines gegebenen Frequenzbandes (0 ... f 1) berechnen:<br />
P(f 1) = ⌠ ⌡ 0<br />
Bild 2.8 Beispiele für Leistungsdichtespektren L s(f) von Rauschsignalen. Bei "weissem Rauschen" ist die Leistungsdichte<br />
frequenzunabhängig.<br />
(2.23)<br />
Bemerkung: Das Leistungsdichtespektrum tritt bei stochastischen Signalen an die Stelle des<br />
Amplitudendichtespektrums nichtperiodischer deterministischer Signale. Bei stochastischen<br />
Signalen kann keine Amplitudendichte angegeben werden, da der Zeitverlauf<br />
u(t) nicht bekannt ist.<br />
Das Leistungsdichtespektrum ist das Fourierintegral der Autokorrelationsfunktion (Wiener-<br />
Khintchine-Theorem). Diese ist ein Mass für die Übereinstimmung einer Zeitfunktion (= Musterfunktion<br />
eines stochastischen Prozesses)mit einer anderen,die sich nur um eine zeitliche Verschiebung<br />
von der ersteren unterscheidet.<br />
Die Definition der Autokorrelationsfunktion lautet:<br />
R ss(τ) = lim<br />
T →∞<br />
∆P(f)<br />
∆f<br />
Dadurch wird der Grad der inneren Vewandtschaft einer Zeitfunktion gekennzeichnet.<br />
f 1<br />
L s(f) df<br />
+T<br />
1 ⌠ s(t)⋅s(t +τ)dt<br />
2T ⌡<br />
−T<br />
(2.24)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.4
24<br />
In vielen Fällen kann das Rauschen als sogenannt weisses, gauss- (= normal-) verteiltes Rauschen<br />
angesehen werden:<br />
Bild 2.9 Eigenschaften von weissem, gaussverteilten Rauschen.<br />
(2.25)<br />
Voraussetzungen:<br />
- Weisses Rauschen liegt vor, wenn die spektrale Leistungsdichte des Rauschsignals innerhalb des<br />
Frequenzbereichs des betrachteten Systems konstant ist.<br />
- Rauschvorgänge sind immer die Summe von Elementar-Ergebnissen mit beliebiger Verteilung.<br />
Auf Grund des zentralen Grenzwertsatzes ist die Summe im allgemeinen normalverteilt.<br />
2.4.3 Rauschquellen<br />
Bei der Nachrichtenübertragung wird bezüglich der Störerscheinungen unterschieden zwischen der<br />
bereits am Empfängereingang auftretenden, von äusseren Quellen hervorgerufenen Rauschleistung<br />
und der im Empfänger selbst von inneren Quellen hervorgerufenen Rauschleistung.<br />
2.4.3.1 Innere Rauschquellen<br />
a) Thermisches Rauschen:<br />
p u(u) =<br />
1<br />
⋅ e<br />
√⎺⎺2π⋅δ<br />
Jeder ohmsche Widerstand erzeugt ein Rauschen, bedingt durch die ungeordnete Wärmebewegung<br />
der Ladungsträger (Brownsche Bewegung). Reine Reaktanzen rauschen nicht, wohl aber die Verlustwiderstände<br />
praktischer L und C. Thermisches Rauschen wird deshalb oft auch Widerstandsrauschen<br />
genannt.<br />
Experimentelle und theoretische Untersuchungen von Johnson und Nyquist ergaben 1928:<br />
2<br />
ur (t) = 4 kTBR<br />
⎛ (u − u)2<br />
⎜−<br />
⎝ 2δ 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
wobei: k = 1,38 . 10 -23 [Ws/K] T = abs. Temperatur [K]<br />
(Boltzmann-Konstante) B = Bandbreite [Hz]<br />
R = Widerstand [Ω]<br />
(2.26)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.4
25<br />
Der quadratische Mittelwert ist nicht abhängig von der Lage des Frequenzintervalls. Es handelt sich<br />
also um weisses Rauschen. Weiter ist das thermische Rauschen gaussverteilt.<br />
Bild 2.10 Ersatzschemas eines rauschenden Widerstandes.<br />
Der rauschende Widerstand R kann an einen Lastwiderstand R L mit gleicher Grösse (R =R L , d.h.<br />
leistungsmäsige Anpassung) die maximale Leistung abgeben. Diese beträgt:<br />
Bei Raumtemperatur (T=290K) wird mit dem folgenden Wert gerechnet:<br />
b) Stromrauschen<br />
(2.27)<br />
Stromrauschen tritt in Halbleitern und Röhren, die von Gleichströmen durchflossen werden, auf Grund<br />
der Quantennatur des elektrischen Stromes auf. Es handelt sich auch hier um weisses, gaussverteiltes<br />
Rauschen, das dem Gleichstrom I 0 überlagert ist.<br />
Der quadratische Mittelwert beträgt:<br />
c) Weitere innere Rauschquellen:<br />
- Stromverteilungsrauschen (Transistoren, Röhren) = weisses Rauschen<br />
- Funkelrauschen oder 1/f-Rauschen = farbiges Rauschen.<br />
Tritt durch Oberflächeneffekte bei Halbleitern und Röhren auf.<br />
Äquivalenter Rauschwiderstand:<br />
P r max = k ⋅ T ⋅ B<br />
k ⋅ T 0 = 4 ⋅ 10 −21 W/Hz ˆ= −174 dBm/Hz ⇒ P r max = 4 ⋅ 10 −21 ⋅ B [W]<br />
2<br />
ir (t) = 2 ⋅ e ⋅ I0 ⋅ B<br />
e = 1, 6 ⋅ 10 −19 As (Elementarladung)<br />
(2.28)<br />
Die Wirkung der verschiedensten Rauschquellen kann auch durch einen äquivalenten Rauschwiderstand<br />
modelliert werden (= Rauschwiderstand, der gleich viel thermisches Rauschen liefert, wie die<br />
zu ersetzende Rauschquelle):<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.4
26<br />
(2.29)<br />
Das betrachtete Element kann nach der Einführung dieses äquivalenten Rauschwiderstandes R äq als<br />
rauschfrei angenommen werden. R äq "vertritt" also die effektive Rauschquelle, hat aber auf das<br />
Nutzsignal keinerlei Einfluss.<br />
2.4.3.2 Äussere Rauschquellen<br />
a) Kosmisches Rauschen: Stammt vorallem von den Fixsternen der Galaxien. Das kosmische<br />
Rauschen nimmt umgekehrt zur dritten Potenz der Frequenz<br />
ab. Dies ist auch ein Grund, weshalb der Satellitenfunk im<br />
Frequenzbereich zwischen 1GHz und 10GHz liegt.<br />
b) Atmosphärisches Rauschen: Verursacht durch Blitzentladungen und Wärmerauschen.<br />
c) Man-Made-Rauschen: Elektromotoren, Zündfunken, Schaltvorgänge, etc. Die Intensität<br />
hängt stark von der Örtlichkeit ab.<br />
2.4.4 Rauschkenngrössen<br />
2.4.4.1 Rauschbandbreite<br />
Räq = 4 kT0B 2<br />
ir (t)<br />
Der Frequenzgang eines Systems beeinflusst sowohl das Nutzsignal, als auch das Rauschsignal.<br />
Gegeben sei die folgende Anordnung:<br />
Bild 2.11 Ideale Rauschquelle mit der Rauschleistungsdichte L in(f) am Eingang eines Systems mit dem Frequenzgang<br />
H(f).<br />
2<br />
Gesucht ist die Rauschleistung am Ausgang.<br />
u out<br />
=<br />
2<br />
ur (t)<br />
4 kT0B HTI Biel, Signalübertragung 2.4
Für die Rauschleistungsdichte am Ausgang des Systems gilt (ohne Beweis):<br />
Gemäss Gl.(2.23) gilt:<br />
u out<br />
2 (t) = Pout = ⌠<br />
Handelt es sich beim Eingangsrauschen um weisses Rauschen, so gilt:<br />
27<br />
L out (f) = |H(f)| 2 ⋅L in (f)<br />
In diesem Fall (d.h. bei weissem Rauschen) kann die sogenannte Rauschbandbreite eingeführt werden, die diejenige<br />
Bandbreite darstellt, bei der - bei gegebenem weissem Eingangsrauschen und idealer Rechteck-Übertragungsfunktion mit<br />
2<br />
dem Wert | H(f)| max - dieselbe Rauschleistung am Ausgang erscheint, wie beim ursprünglichen System. Diese Rauschbandbreite<br />
Br berechnet sich wie folgt:<br />
Eine anschauliche Darstellung von B r findet man in Bild 2.12.<br />
∞<br />
⌡ 0<br />
Lout (f) df = ⌠<br />
∞<br />
Lin (f)⋅|H(f)|<br />
⌡<br />
0<br />
2 df<br />
2<br />
uout(t) = Lin ⋅ ⌠<br />
∞<br />
| H(f)|<br />
⌡<br />
0<br />
2 df<br />
B r<br />
2<br />
⇒ ur out<br />
=<br />
∞<br />
⌠ | H(f)|<br />
⌡<br />
0<br />
2 df<br />
2<br />
| H(f)| max<br />
2<br />
(t) = Lin ⋅|H(f)| max<br />
⋅B r<br />
(2.30)<br />
(2.31)<br />
(2.32)<br />
(2.33)<br />
(2.34)<br />
Bild 2.12 Weisses Rauschen mit der Rauschbandbreite Br 2<br />
ergibt - bei gleichem | H(f)| max - die gleiche<br />
Leistung wie das gefärbte Rauschen am Ausgang<br />
des Systems.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.4
2.4.4.2 Rauschabstand, Rauschzahl, Rauschmass, Rauschtemperatur<br />
28<br />
Wie oben erwähnt, ist einem übertragenen Signal mit der Signalleistung P s stets ein Rauschsignal mit<br />
der Leistung P r überlagert. Das Leistungsverhältnis P s/P r wird Signal-/Rauschverhältnis, bei Angabe<br />
in logarithmischem Mass Rauschabstand genannt. Durch innerhalb der Übertragungsstrecke auftretende<br />
Rauschquellen ist der Rauschabstand örtlich unterschiedlich, beispielsweise zwischen Eingang<br />
und Ausgang eines Verstärkers. Um ein allgemeines Mass für das hinzukommende Rauschen<br />
zu erhalten, bildet man das als Rauschzahl F (manchmal auch als Rauschfaktor) bezeichnete Verhältnis<br />
der Signal-/Rauschverhältnisse auf Eingangs- und Ausgangsseite.<br />
Rauschzahl: F =<br />
P s1<br />
P ra1<br />
P s2<br />
P r2<br />
=<br />
⎛ S ⎞<br />
⎝ N ⎠in ⎛ S ⎞<br />
⎝ N ⎠out (2.35)<br />
Voraussetzungen für die Definition der Rauschzahl: thermisches Rauschen (kT 0B) und Leistungsanpassung<br />
(R =R e) am Eingang!<br />
Zur Bestimmung der Rauschzahl F betrachten wir den in Bild 2.13 dargestellten Verstärker mit der<br />
Leistungsverstärkung V p :<br />
Bild 2.13 Anordnung zur Definition der Rauschzahl eines Zweitors (z.B. Verstärker). Bei P ra1 muss es sich um<br />
thermisches Rauschen (kT 0B) handeln.<br />
Am Eingang dieses Verstärkers tritt zusätzlich zur Signalleistung P s1 die äussere Rauschleistung P ra1<br />
(thermisches Rauschen) auf. Am Eingang des Verstärkers beträgt das Signal-/Rauschverhältnis somit<br />
P s1/P ra1. Auf Grund der Leistungsverstärkung V p treten beide Leistungen als P s2 und P ra2 verstärkt am<br />
Ausgang auf. Dazu addiert sich noch die im Verstärker selbst entstehende, innere Rauschleistung P ri2.<br />
Am Ausgang erscheint deshalb das folgende Signal-/Rauschverhältnis:<br />
⎛ S ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ N ⎠ out<br />
=<br />
P s2<br />
P ra2 + P ri2<br />
=<br />
V p ⋅ P s1<br />
V p ⋅ P ra1 + P ri2<br />
(2.36)<br />
Der Quotient der beiden Signal-/Rauschverhältnisse an Ein- und Ausgang ergibt so, mit der<br />
Randbedingung P ra1 = kT 0B , die gesuchte Rauschzahl F:<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.4
F =<br />
Pri2 Vp ⋅ Pra1 Der zweite Summand wird Zusatzrauschzahl F z genannt.<br />
29<br />
P s1/P ra1<br />
V p ⋅ P s1/(V p ⋅ P ra1 + P ri2)<br />
(2.37)<br />
Die Zusatzrauschzahl Fz bezeichnet das durch den Verstärker zusätzlich erzeugte Rauschen, bezogen<br />
.<br />
auf die verstärkte Eingangs- Rauschleistung Vp Pra1 .<br />
Ein nichtrauschender Verstärker hat eine Zusatzrauschzahl Fz = 0 und die Rauschzahl F =1.<br />
Die Rauschzahl (noise figure) wird vielfach logarithmisch angegeben. Man spricht dann etwa auch<br />
vom Rauschmass:<br />
F [dB] = 10 ⋅ lg F<br />
= 1 +<br />
(2.38)<br />
Das Rauschen eines Zweitors kann alternativ auch mit einer zusätzlichen Rauschquelle am Eingang<br />
(statt am Ausgang) beschrieben werden. Es gilt dann für das Ausgangs-Rauschsignal:<br />
P r2 = V p ⋅ P r1 = V p ⋅(P ra1 + P ri1)<br />
(2.39)<br />
P ra1 ist wie in Bild 2.13 das thermische Rauschen der Quelle. P ri1 ist das auf den Eingang umgerechnete,<br />
zusätzliche Rauschen des Zweitors. Durch das Einführen dieser zusätzlichen Rauschquelle am Eingang<br />
wird das Zweitor "rauschfrei".<br />
Es ist üblich, das zusätzliche Rauschen am Eingang P ri1 mit der äquivalenten Rauschtemperatur T ä<br />
auszudrücken:<br />
T ä<br />
=<br />
P ri1<br />
k ⋅ B =<br />
P ri2<br />
V p ⋅ k ⋅ B<br />
(2.40)<br />
Der Zusammenhang zwischen der äquivalenten Rauschtemperatur T ä und dem Rauschfaktor F lautet:<br />
F = 1 + (2.41)<br />
Das Arbeiten mit Rauschtemperaturen (anstelle von Rauschfaktoren) ist vorallem dann zweckmässig,<br />
wenn die äussere Eingangs-Rauschquelle Pra1 nicht thermischem Rauschen bei Raumtemperatur kT0B entspricht. Dies ist beispielsweise bei Satellitenbodenstationen der Fall, deren Richtantennen das<br />
Rauschen des "kalten" Himmels (z.B. T = 20 K) empfangen.<br />
Tä T0 P ri2<br />
V p ⋅ P ra1<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.4
2.4.4.3 Rauschen mehrstufiger Systeme:<br />
30<br />
Bei der Zusammenschaltung mehrerer Zweitore trägt jede Stufe zum Gesamtrauschen bei. Für den<br />
in Bild 2.14 dargestellten Fall mit 2 Stufen, ergibt sich eine Gesamtrauschzahl F tot .<br />
Bild 2.14 Die Zusammenschaltung mehrerer rauschender Stufen ergibt einen Gesamtrauschfaktor F tot, der von<br />
den Rauschfaktoren und den Leistungsverstärkungen V p abhängt.<br />
Die Gesamtrauschzahl für beliebig viele Stufen kann nach folgender Formel berechnet werden:<br />
Ftot = F1 + (2.42)<br />
Während also die erste Stufe voll mit ihrer Rauschzahl F1 eingeht, liefert die 2. Stufe nur noch einen<br />
relativ geringen Anteil, der sich aus ihrer zusätzlichen Rauschzahl Fz2 =F2-1 dividiert durch die<br />
Verstärkung der ersten Stufe Vp1 ergibt. Das bedeutet einerseits, dass die Eingangsstufe in einem<br />
mehrstufigen System immer besonders rauscharm sein muss. Andererseits sollte die erste Stufe eine<br />
möglichst grosse Verstärkung besitzen. Dadurch wird der Beitrag der folgenden Stufen gering.<br />
F2 − 1 F3 − 1<br />
+<br />
+ …<br />
Vp1 Vp1 ⋅ Vp2 Die einzelnen Rauschzahlen und auch die Gesamtrauschzahl F tot sind mit thermischem Rauschen kT 0B<br />
am Eingang definiert. In der Zusammenschaltung wird z.B. am Ausgang der ersten Stufe ein bedeutend<br />
grösseres Rauschen auftreten, vorallem wenn diese eine grosse Verstärkung aufweist. Das Eigenrauschen<br />
der nachfolgenden Stufen hat nun bei verstärktem Eingangsrauschen einen geringeren<br />
Einfluss auf den Rauschabstand, als wenn nur thermisches Rauschen an ihren Eingängen anliegen<br />
würde. Die obige Formel berücksichtigt dieses Verhalten.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 2.4
3 ZWEITOR-THEORIE<br />
3.1 Allgemeines<br />
31<br />
Die Unterteilung von übertragungstechnischen Systemen in Teilschaltungen führt zu Blöcken mit 1,<br />
2 oder mehreren Toren, bzw. Klemmenpaaren (Bild 3-1). Am häufigsten sind dabei Zweitore (Verstärker,<br />
Filter). An den Ein- und Ausgängen des Systems findet man Eintore (Quellen, Belastungen).<br />
Schaltungen mit mehr als 2 Toren (Mischer, Weichen) sind seltener anzutreffen.<br />
Bild 3.1 Unterteilung eines Systems in n-Tore.<br />
Enthält ein n-Tor Quellen, so wird es als aktives n-Tor bezeichnet. Passive n-Tore enthalten dagegen<br />
keine Quellen, also nur passive Bauelemente.<br />
Weiter werden lineare und nichtlineare n-Tore unterschieden. Lineare Schaltungen zeigen ein aussteuerungsunabhängiges<br />
Verhalten. Der Überlagerungssatz gilt. Ihr Verhalten lässt sich mit linearen<br />
Gleichungen und der komplexen Wechselstromrechnung beschreiben.<br />
In den nächsten Kapiteln geht es nun darum, die Eigenschaften von linearen Ein- und Zweitoren "von<br />
aussen" zu beschreiben. Der innere Aufbau der Blöcke muss dabei nicht bekannt sein (black box), nur<br />
seine Kenngrössen. Oft werden auch einzelne bekannte Teilblöcke zu einem neuen Gesamtblock<br />
kombiniert, dessen resultierende Kenngrössen dann berechnet werden soll.<br />
3.2 Eintore (Zweipole)<br />
3.2.1 Passive Eintore<br />
Passive Schaltungen enthalten keine Quellen, sie können daher keine Wirkleistung abgeben.<br />
Zur Beschreibung der Eigenschaften genügt es, Spannung und Strom an den Klemmen zu definieren.<br />
Als Kenngrössen können daraus Impedanz Z oder Admittanz Y berechnet werden.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.1
Bild 3.2 Die Kenngrösse eines linearen, passiven Eintors ist seine Impedanz oder Admittanz<br />
32<br />
Bei Eintoren ohne Klemmenpaar tritt der Reflexionsfaktor r an die Stelle der Impedanz oder Admittanz.<br />
3.2.2 Aktive Eintore<br />
Aktive Eintore enthalten Quellen und können damit Wirkleistung abgeben. Nach Helmholtz kann<br />
jedes lineare Eintor, auch wenn es mehrere Quellen enthält, entweder als Ersatz-Spannungsquelle mit<br />
Spannungsquelle U 0 und Innenimpedanz Z i oder als Ersatz-Stromquelle mit Stromquelle I 0 und<br />
Innenadmittanz Y i dargestellt werden.<br />
Bild 3.3 Ersatzschaltungen für aktive Eintore.<br />
Impedanz: Z = U<br />
I<br />
Admittanz: Y =<br />
Die Ersatzelemente dieser Quellen berechnen sich aus der Leerlaufspannung U L =U 0 und dem<br />
Kurzschlussstrom I K =I 0:<br />
1<br />
Z i = =<br />
Y (3.4)<br />
i<br />
Praktische Spannungsquellen haben eine niederohmige Innenimpedanz, im Idealfall wird Zi =0.<br />
Praktische Stromquellen sind hochohmig, d.h. Yi ist klein. Im Idealfall wird Yi =0.<br />
U L<br />
I K<br />
Als Spezialfälle gehören auch die negativen Widerstände zu den aktiven Eintoren, da zu deren Realisierung<br />
Verstärkerschaltungen benötigt werden.<br />
I<br />
U<br />
Es gilt somit: Z = 1<br />
Y<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.2<br />
(3.1)<br />
(3.2)<br />
(3.3)
3.2.3 Leistungsanpassung<br />
33<br />
Es soll nun der Leistungsabtausch zwischen einem aktiven und einem passiven Eintor untersucht<br />
werden.<br />
Bild 3.4 Ein aktives Eintor gibt die Wirkleistung P L<br />
an die Last Z L ab.<br />
Als einfachsten Fall können sowohl Z i =R i als auch Z L =R L reell angenommen werden. Damit ist die<br />
von R L aufgenommene Wirkleistung<br />
P L = |U 0 | 2 R L<br />
(R i + R L) 2<br />
Die abgegebene Leistung P L wird maximal, wenn R L =R i. Dieser Fall wird Leistungsanpassung<br />
genannt. Die maximal abgebbare Leistung wird somit:<br />
P L max = | U 0 | 2<br />
4 ⋅ R i<br />
Aus Bild 3.4 ist ersichtlich, dass der durch die Last fliessende Strom auch durch den Quellenwiderstand<br />
R i fliesst. Somit wird auch im aktiven Eintor Wirkleistung (= Wärme) erzeugt. Im Fall der<br />
Leistungsanpassung ist die Leistung in der Quelle gleich gross wie die Leistung in der Last. Der<br />
Wirkungsgrad η = Abgegebene Leistung/Gesamtleistung beträgt hier 50%.<br />
Hier zeigt sich ein grosser Unterschied zwischen Signalübertragung und Energietechnik:<br />
In der Signalübertragung treten meistens sehr kleine Leistungen auf, und es muss auf einen genügenden<br />
Abstand zum thermischen Grundrauschen geachtet werden. Aus diesem Grunde muss eine maximale<br />
Leistungsabgabe, also Leistungsanpassung, angestrebt werden. Der Wirkungsgrad spielt kaum eine<br />
Rolle.<br />
In der Energietechnik wäre Leistungsanpassung viel zu teuer und unnötig. Es muss hingegen auf einen<br />
guten Wirkungsgrad geachtet werden.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.2<br />
(3.5)<br />
(3.6)
34<br />
Bild 3.5 Leistungsabgabe P L /P Lmax und<br />
Wirkungsgrad P L /P tot als<br />
Funktion des Widerstandsverhältnisses<br />
R L /R i.<br />
Es soll nun noch der allgemeine Fall mit komplexem Z i und Z L betrachtet werden.<br />
Z i =R i +jX i<br />
Z L =R L +jX L<br />
Bild 3.6 Quelle und Last mit komplexen Impedanzen (allgemeiner Fall).<br />
Die abgegebene Wirkleistung P L entsteht im Wirkwiderstand R L:<br />
P L = |I | 2 ⋅R L I =<br />
→ P L =<br />
Diese Leistung wird maximal, wenn sich die Blindkomponenten X i und X L aufheben und die<br />
Wirkwiderstände R i und R L gleich gross sind.<br />
Die allgemeine Bedingung für Leistungsanpassung lautet demnach:<br />
*<br />
Z L = Z i<br />
U 0<br />
(R i + R L)+j(X i + X L)<br />
| U 0 | 2 ⋅R L<br />
(R i + R L) 2 +(X i + X L) 2<br />
Z L = R L + jX L = R i − jX i<br />
(3.7)<br />
(konjugiert komplex) (3.8)<br />
→ R L = R i und X L = −X i für die Komponenten, resp.<br />
| Z L | = |Z i | und ϕ L = − ϕ i für die Zeiger.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.2
35<br />
Im Zusammenhang mit Leitungen, wenn sich das Signal quasi von der Quelle gelöst hat, muss der<br />
Begriff "Anpassung" anders formuliert werden:<br />
Für Anpassung, resp. maximale Leistungsabgabe, muss eine Leitung mit ihrer Wellenimpedanz Z w<br />
abgeschlossen sein (reflexionsfreier Abschluss) (→ 5.3.4).<br />
3.3 Zweitore (Vierpole)<br />
3.3.1 Grundgleichungen linearer Zweitore<br />
Lineare, passive Eintore konnten durch eine einzige Grösse Z oder Y vollständig beschrieben werden.<br />
Bei Zweitoren ist jedoch im allgemeinen die Eingangsimpedanz des einen Tors von der Beschaltung<br />
des anderen Tors abhängig. Zur Beschreibung eines Zweitors werden daher weitere Messungen<br />
benötigt, in welche auch die Grösse der aussenliegenden Abschlüsse eingeht.<br />
Es ist nun zweckmässig, wenn aus den Ergebnissen solcher Messungen Kenngrössen gewonnen<br />
werden, die das Zweitor für sich allein charakterisieren: sog. Zweitorparameter.<br />
Zur Beschreibung eines allgemeinen Vierpols wären an sich vier Gleichungen mit je vier Koeffizienten<br />
notwendig. Beschränkt man sich jedoch auf Zweitore, so genügen zwei Gleichungen mit jeweils zwei<br />
Parameter. Der durchdie eine Klemme des Tors hineinfliessende Strom muss durch die andere Klemme<br />
des gleichen Tors wieder hinausfliessen. Die Potentialdifferenzen zwischen den Eingangs- und den<br />
Ausgangsklemmen interessieren zudem in der Regel nicht.<br />
Bild 3.7 Definition der Spannungen und Ströme bei einem Zweitor.<br />
Unter den erläuterten Voraussetzungen wird das elektrische Verhalten eines linearen Zweitors durch<br />
zwei lineare unabhängige Gleichungen zwischen den beiden Torspannungen U 1, U 2 und den beiden<br />
Torströmen I 1, I 2 beschrieben. Die Torströme sind generell in das Zweitor hinein definiert.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.3
3.3.2 Zweitorparameter<br />
3.3.2.1 Allgemeines<br />
36<br />
Mit den erwähnten Spannungen und Strömen können total 6 verschiedene Gleichungssysteme definiert<br />
werden. Aus der Leitungstheorie abgeleitet, sind noch zwei weitere Beschreibungen gebräuchlich.<br />
Alle Parameter der Gleichungssysteme sind generell komplex. Sie sollen in der Regel mit Kleinbuchstaben<br />
bezeichnet werden, wobei der "Komplexstrich" weggelassen wird.<br />
Bei den meisten Zweitorparameter bedeutet Index "11" eine Eingangseigenschaft, Index "12" eine<br />
Rückwärtseigenschaft, Index "21" eine Vorwärtseigenschaft und Index "22" ein Ausgangseigenschaft.<br />
3.3.2.2 z-Parameter (Impedanz-Parameter)<br />
Gleichungssystem:<br />
Neben diesem Gleichungssystem sind auch folgende Schreibweisen gebräuchlich:<br />
Matrixschreibweise:<br />
Impedanzmatrix:<br />
Abgekürzte<br />
Matrixschreibweise:<br />
U 1 = z 11I 1 + z 12I 2<br />
U 2 = z 21I 1 + z 22I 2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
U 1<br />
U 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ = ⎛ ⎜<br />
⎝<br />
(Z) = ⎛ ⎜ ⎝<br />
z 11<br />
z 21<br />
z 11<br />
z 21<br />
(U) = (Z)(I)<br />
z 12<br />
z 22<br />
z 12<br />
z 22<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
I 1<br />
I 2<br />
Zu jedem Gleichungssystem kann ein Ersatzschema angegeben werden, welches unabhängig von der<br />
tatsächlichen Schaltung im Zweitor ist. Für die Impedanzparameter gilt folgendes Schema:<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Bild 3.8 Ersatzschema für z-Parameter.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.3<br />
(3.9)
37<br />
Zum Bestimmen der einzelnen Zweitorparameter wird jeweils der eine Summand in der Gleichung<br />
durch äussere Beschaltung Null gesetzt und die Gleichung nach dem verbleibenden Parameter<br />
umgestellt. Daraus ergeben sich folgende Definitionsgleichungen für die z-Parameter:<br />
z11 = U 1 ⎥<br />
I<br />
⎥<br />
1 ⎥ I2 = 0<br />
z12 = U 1 ⎥<br />
I<br />
⎥<br />
2 ⎥ I1 = 0<br />
z21 = U 2 ⎥<br />
I<br />
⎥<br />
1 ⎥ I2 = 0<br />
z22 = U 2 ⎥<br />
I<br />
⎥<br />
2 ⎥ I1 = 0<br />
Eingangsimpedanz<br />
bei Leerlauf am Ausgang<br />
Rückwärts-Übertragungsimpedanz<br />
bei Leerlauf am Eingang<br />
Vorwärts-Übertragungsimpedanz<br />
bei Leerlauf am Ausgang<br />
Ausgangsimpedanz (3.10)<br />
bei Leerlauf am Eingang<br />
Anwendungsgebiet der z-Parameter: • Serieschaltung von Zweitoren (→ 3.3.4).<br />
3.3.2.3 y-Parameter (Admittanz-Parameter)<br />
Gleichungssystem:<br />
Matrixschreibweise:<br />
I 1 = y 11U 1 + y 12U 2<br />
I 2 = y 21U 1 + y 22U 2<br />
Definitionsgleichungen für die y-Parameter:<br />
y 11<br />
=<br />
I 1<br />
⎥<br />
U 1 ⎥ U2 = 0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
I 1<br />
I 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ = ⎛ ⎜<br />
⎝<br />
y 11<br />
y 21<br />
y 12<br />
y 22<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
U 1<br />
U 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Eingangsadmittanz<br />
bei Kurzschluss am Ausgang<br />
(Y) = ⎛ ⎜ ⎝<br />
y 11<br />
y 21<br />
y 12<br />
y 22<br />
Bild 3.9 Ersatzschema für y-Parameter.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(3.11)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.3
y 12<br />
y 21<br />
y 22<br />
=<br />
=<br />
=<br />
I 1<br />
⎥<br />
U 2 ⎥ U1 = 0<br />
I 2<br />
⎥<br />
U 1 ⎥ U2 = 0<br />
I 2<br />
⎥<br />
U 2 ⎥ U1 = 0<br />
38<br />
Rückwärts-Übertragungsadmittanz<br />
bei Kurzschluss am Eingang<br />
Vorwärts-Übertragungsadmittanz<br />
bei Kurzschluss am Ausgang<br />
Ausgangsadmittanz (3.12)<br />
bei Kurzschluss am Eingang<br />
Anwendungsgebiete der y-Parameter: • Parallelschaltung von Zweitoren (→ 3.3.4)<br />
• Beschreibung von Feldeffekt-Transistoren<br />
• Hochfrequenzverhalten von Bipolar-Transistoren<br />
(bis ≈200 MHz)<br />
3.3.2.4 h-Parameter (Hybrid-Parameter)<br />
Gleichungssystem:<br />
Matrixschreibweise:<br />
U 1 = h 11I 1 + h 12U 2<br />
I 2 = h 21I 1 + h 22U 2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
U 1<br />
Definitionsgleichungen für die h-Parameter:<br />
h11 = U 1 ⎥<br />
I<br />
⎥<br />
1 ⎥ U2 = 0<br />
h12 = U 1 ⎥<br />
U 2 ⎥ I1 = 0<br />
I 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ = ⎛ ⎜<br />
⎝<br />
h 11<br />
h 21<br />
h 12<br />
h 22<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
I 1<br />
U 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Eingangsimpedanz<br />
bei Kurzschluss am Ausgang<br />
Spannungsrückwirkung<br />
bei Leerlauf am Eingang<br />
(H) = ⎛ ⎜ ⎝<br />
h 11<br />
h 21<br />
h 12<br />
h 22<br />
Bild 3.10 Ersatzschema für h-Parameter.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(3.13)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.3
h 21<br />
h 22<br />
=<br />
=<br />
I 2<br />
⎥<br />
I 1 ⎥ U2 = 0<br />
I 2<br />
⎥<br />
U 2 ⎥ I1 = 0<br />
39<br />
Stromverstärkung<br />
bei Kurzschluss am Ausgang<br />
Ausgangsadmittanz (3.14)<br />
bei Leerlauf am Eingang<br />
Anwendungsgebiete der h-Parameter: • Serie-Parallel-Schaltung von Zweitoren (→ 3.3.4)<br />
• Niederfrequenzverhalten von Bipolar-Transistoren<br />
3.3.2.5 a-Parameter (Ketten-Parameter)<br />
Gleichungssystem:<br />
U 1 = a 11U 2 + a 12(−I 2)<br />
I 1 = a 21U 2 + a 22(−I 2)<br />
(3.15)<br />
Bei den a-Parameter werden jeweils die Eingangsgrössen U 1 und I 1 in Funktion der Ausgangsgrössen<br />
U 2 und -I 2 dargestellt. Sie unterscheiden sich darin von den bisher betrachteten z-, y- und h-Parameter.<br />
Definitionsgleichungen für die a-Parameter:<br />
a11 = U 1 ⎥<br />
U 2 ⎥ I2 = 0<br />
a12 = U 1 ⎥<br />
a 21<br />
a 22<br />
=<br />
=<br />
−I 2 ⎥ U2 = 0<br />
I 1<br />
⎥<br />
U 2 ⎥ I2 = 0<br />
I 1<br />
⎥<br />
−I 2 ⎥ U2 = 0<br />
Spannungsdämpfung<br />
bei Leerlauf am Ausgang<br />
"Übertragungsimpedanz"<br />
bei Kurzschluss am Ausgang<br />
"Übertragungsadmittanz"<br />
bei Leerlauf am Ausgang<br />
Es kann kein sinnvolles Ersatzschema angegeben werden.<br />
"Stromdämpfung" (3.16)<br />
bei Kurzschluss am Ausgang<br />
Anwendungsgebiet der a-Parameter: • Kettenschaltung von Zweitoren (→ 3.3.4).<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.3
3.3.2.6 Weitere Parameter<br />
40<br />
Die folgenden Zweitorparameter werden entweder nur in Spezialgebieten eingesetzt, oder sie sind<br />
weniger gebräuchlich. Der Vollständigkeit halber sind sie hier mit minimalen Kommentaren aufgeführt.<br />
• b-Parameter (reziproke a-Parameter)<br />
Gleichungssystem:<br />
• k-Parameter (reziproke h-Parameter)<br />
Gleichungssystem:<br />
U 2 = b 11U 1 + b 12(−I 1)<br />
I 2 = b 21U 1 + b 22(−I 1)<br />
(B) = (A) −1<br />
I 1 = k 11U 1 + k 12I 2<br />
U 2 = k 21U 1 + k 22I 2<br />
(K) = (H) −1<br />
Anwendungsgebiet der k-Parameter: • Parallel-Serie-Schaltung von Zweitoren (→ 3.3.4)<br />
• Wellenparameter (Betriebsparameter)<br />
(3.17)<br />
(3.18)<br />
Wellenparameter sind aus der Leitungstheorie (→ 5.3.2) abgeleitet und besonders für symmetrische<br />
Zweitore geeignet. Bei einem symmetrischen Zweitor können Eingang und Ausgang vertauscht<br />
werden, ohne dass sich an seinem äusseren Verhalten etwas ändert.<br />
Zur Beschreibung eines Zweitors mit Wellenparameter werden zwei Wellenwiderstände Z W1 und Z W2,<br />
sowie zwei komplexe Wellenübertragungsmasse Γ 1 und Γ 2 benötigt. Die physikalischen Bedeutungen<br />
dieser Parameter sind nachfolgend erläutert:<br />
Wellenwiderstände: Der Wellenwiderstand ist die Eingangsimpedanz des einen Tors, wenn das<br />
andere Tor mit seinem Wellenwiderstand abgeschlossen ist:<br />
Z W1 = Z IN| Z2 = Z W2<br />
Z W2 = Z OUT| Z1 = Z W1<br />
(3.19)<br />
Komplexe Wellen- Das komplexe Wellenübertragungsmass ist definiert als der natürliche<br />
übertragungsmasse: Logarithmus des Verhältnisses der Eingangs- zur Ausgangsspannung (oder<br />
der entsprechenden Ströme) des mit seinem Wellenwiderstandes abgeschlossenen<br />
Zweitors. Es muss in beiden Richtungen definiert werden:<br />
Γ1 = ln U 1 ⎥<br />
U 2 ⎥ Z2 = ZW2 Γ2 = ln U 2 ⎥<br />
U 1 ⎥ Z1 = ZW1 (3.20)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.3
41<br />
Es ist üblich, Γ in Komponentenform auszudrücken. Der Realteil a entspricht<br />
dem Dämpfungsmass in [Np], der Imaginärteil b dem Phasenmass in [rad]:<br />
Die Wellenparameter können mit folgenden Formeln aus den Kettenparameter berechnet werden:<br />
Z W1 = √⎺⎺ a 11a 12<br />
a 21a 22<br />
Anwendungsgebiete der Wellenparameter: • Leitung als Zweitor<br />
• Wellenparameter-Filter<br />
• s-Parameter (Streuparameter)<br />
(3.21)<br />
(3.22)<br />
Wie die Wellenparameter sind auch die Streuparameter aus der Leitungstheorie abgeleitet. Sie eignen<br />
sich besonders für Frequenzen > 100 MHz, bei denen keine exakten Strom- und Spannungsmessungen<br />
an den Toren mehr möglich sind. Zudem ist bei diesen Frequenzen das Realisieren von Kurzschluss<br />
und Leerlauf als Messbedingung zunehmend problematisch.<br />
Anstelle von Spannung und Strom werden bei den s-Parameter in das Zweitor einfallende Spannungswellen<br />
a 1 und a 2, bzw. vom Zweitor reflektierte Spannungswellen b 1 und b 2 zueinander in<br />
Beziehung gesetzt. Das Zweitor ist beidseitig über Leitungsstücke mit reflexionsfreiem Abschluss an<br />
die Last bzw. den Generator angeschlossen.<br />
Gleichungssystem:<br />
Γ = a + jb<br />
Z W2 = √⎺⎺ a 22a 12<br />
a 21a 11<br />
Γ1 = ln(√⎺ ⎺⎺⎺ a11a22 +√⎺ ⎺⎺⎺ a12a21) Γ2 = ln ⎛ ⎜<br />
⎝<br />
b 1 = s 11a 1 + s 12a 2<br />
b 2 = s 21a 1 + s 22a 2<br />
Bedeutung der s 11: Eingangsreflexionsfaktor<br />
s-Parameter: s 12: Rückwärts-Betriebsübertragungsfaktor<br />
s 21: Vorwärts-Betriebsübertragungsfaktor<br />
s 22: Ausgangsreflexionsfaktor<br />
Anwendungsgebiete der s-Parameter: • Beschreibung beliebiger Zweitore (Transistoren, Filter)<br />
bei hohen Frequenzen (> 100 MHz bis Mikrowellen).<br />
• Messtechnik bei hohen Frequenzen.<br />
1<br />
√⎺ ⎺⎺⎺ a11a22 −√⎺ ⎺⎺⎺<br />
a 12a 21<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(3.23)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.3
3.3.3 Umrechnungen<br />
42<br />
Da jede Zweitormatrix ein Zweitor vollständig beschreibt, können die Parameter beliebig ineinander<br />
umgerechnet werden:<br />
(Z)<br />
(Y)<br />
(A)<br />
(H)<br />
(K)<br />
z 11<br />
z 21<br />
z 22<br />
det Z<br />
−z 21<br />
det Z<br />
z 11<br />
z 21<br />
1<br />
z 21<br />
det Z<br />
z 22<br />
−z 21<br />
z 22<br />
1<br />
z 11<br />
z 21<br />
z 11<br />
(Z) (Y) (A) (H) (K)<br />
z 12<br />
z 22<br />
−z 12<br />
det Z<br />
z 11<br />
det Z<br />
det Z<br />
z 21<br />
z 22<br />
z 21<br />
z 12<br />
z 22<br />
1<br />
z 22<br />
−z 12<br />
z 11<br />
det Z<br />
z 11<br />
y 22<br />
det Y<br />
−y 21<br />
det Y<br />
y 11<br />
y 21<br />
−y22 y21 −det Y<br />
y 21<br />
−y 12<br />
det Y<br />
y 11<br />
det Y<br />
Allgemein gilt: det X=x 11 x 22 -x 12 x 21.<br />
1<br />
y 11<br />
y 21<br />
y 11<br />
det Y<br />
y 22<br />
−y21 y22 Bild 3.11 Umrechnungstabelle für gebräuchliche Zweitor-Parameter.<br />
y 12<br />
y 22<br />
−1<br />
y 21<br />
−y11 y21 −y12 y11 det Y<br />
y 11<br />
y 12<br />
y 22<br />
1<br />
y 22<br />
a 11<br />
a 21<br />
1<br />
a 21<br />
a 22<br />
a 12<br />
−1<br />
a 12<br />
a 11<br />
a 21<br />
a 12<br />
a 22<br />
−1<br />
a 22<br />
a 21<br />
a 11<br />
1<br />
a 11<br />
det A<br />
a 21<br />
a 22<br />
a 21<br />
−detA<br />
a 12<br />
a 11<br />
a 12<br />
a 12<br />
a 22<br />
det A<br />
a 22<br />
a 21<br />
a 22<br />
−det A<br />
a 11<br />
a 12<br />
a 11<br />
det H<br />
h 22<br />
−h 21<br />
h 22<br />
1<br />
h 11<br />
h 21<br />
h 11<br />
−det H<br />
h 21<br />
−h 22<br />
h 21<br />
h 11<br />
h 21<br />
h 22<br />
det H<br />
−h 21<br />
det H<br />
h 12<br />
h 22<br />
1<br />
h 22<br />
−h 12<br />
h 11<br />
det h<br />
h 11<br />
−h 11<br />
h 21<br />
−1<br />
h 21<br />
h 12<br />
h 22<br />
−h 12<br />
det H<br />
h 11<br />
det H<br />
1<br />
k 11<br />
k 21<br />
k 11<br />
det K<br />
k 22<br />
−k 21<br />
k 22<br />
1<br />
k 21<br />
k 11<br />
k 21<br />
k 22<br />
det K<br />
−k 21<br />
det K<br />
k 11<br />
−k 12<br />
k 11<br />
det K<br />
k 11<br />
k 12<br />
k 22<br />
1<br />
k 22<br />
k 22<br />
k 21<br />
det K<br />
k 21<br />
−k 12<br />
det K<br />
k 11<br />
det K<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.3<br />
k 21<br />
k 12<br />
k 22
3.3.4 Zusammenschaltung von Zweitoren<br />
• Serieschaltung<br />
Bild 3.12 Serieschaltung von Zweitoren<br />
43<br />
Bei der Serieschaltung gelten für die einzelnen<br />
SpannungenundStröme folgende Beziehungen:<br />
U 1 = U’ 1 + U" 1 U 2 = U’ 2 + U" 2<br />
I 1 = I’ 1 = I" 1 I 2 = I’ 2 = I" 2<br />
Damit wird das Gleichungssystem für das<br />
Gesamtzweitor:<br />
U 1 = (z’ 11 + z" 11)I 1 + (z’ 12 + z" 12)I 2<br />
U 2 = (z’ 21 + z" 21)I 1 + (z’ 22 + z" 22)I 2<br />
Die z-Parameter des Gesamtzweitors entsprechen somit der Summe der einzelnen z-Parameter der<br />
beiden in Serie geschalteten Zweitore:<br />
(Z) = ⎛z’ 11 + z" 11<br />
⎜<br />
⎝z’<br />
21 + z" 21<br />
z’ 12 + z" 12⎞<br />
⎟<br />
z’ 22 + z" 22⎠<br />
(Z) = (Z’) + (Z")<br />
(3.24)<br />
Eine Serieschaltung von Zweitoren nach der obigen Formel ist nur dann zulässig, wenn die Potentialdifferenz zwischen<br />
e’ und a’ gleich derjenigen zwischen e" und a" ist.<br />
• Parallelschaltung • Serie-Parallelschaltung • Parallel-Serieschaltung<br />
Bild 3.13 Bild 3.14 Bild 3.15<br />
(Y) = (Y’) + (Y") (H) = (H’) + (H") (K) = (K’) + (K")<br />
(3.25) (3.26) (3.27)<br />
Wie bei den z-Parameter, können auch hier die einzelnen Parameter der Gesamtschaltung als Summe<br />
der entsprechenden Teilschaltungsparameter ausgedrückt werden: z.B. h11 = h’ 11 + h" 11.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.3
• Kettenschaltung<br />
44<br />
Die bisher betrachteten Zusammenschaltungen konnten immer durch die Addition bestimmter<br />
Matrizen gelöst werden. Bei der Kettenschaltung mit a-Parameter muss jedoch anders vorgegangen<br />
werden.<br />
Bild 3.16 Kettenschaltung oder Kaskadenschaltung von Zweitoren.<br />
Gemäss Bild 3.16 kann das Gleichungssystem wie folgt geschrieben werden:<br />
Durch Einsetzen ergibt sich:<br />
U 1 = U’ 1 = a’ 11U’ 2 + a’ 12(−I’ 2) = a’ 11U" 1 + a’ 12I" 1<br />
I 1 = I’ 1 = a’ 21U’ 2 + a’ 22(−I’ 2) = a’ 21U" 1 + a’ 22I" 1<br />
Für die zweite Gleichung folgt analog:<br />
wobei U" 1 = a" 11U 2 + a" 12(−I 2)<br />
und I" 1 = a" 21U 2 + a" 22(−I 2)<br />
U 1 = (a’ 11a" 11 + a’ 12a" 21)U 2 + (a’ 11a" 12 + a’ 12a" 22)(−I 2)<br />
I 1 = (a’ 21a" 11 + a’ 22a" 21)U 2 + (a’ 21a" 12 + a’ 22a" 22)(−I 2)<br />
Die Kettenmatrix des resultierenden Zweitors entspricht somit dem Produkt der Kettenmatrizen der<br />
Einzelzweitore:<br />
(A) = (A’)(A") = ⎛a’ 11a" 11 + a’ 12a" 21 a’ 11a" 12 + a’ 12a" 22⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝a’<br />
21a" 11 + a’ 22a" 21 a’ 21a" 12 + a’ 22a" 22⎠<br />
(3.28)<br />
Achtung! Die Reihenfolge der Matrizen muss der Reihenschaltung der Zweitore in der Schaltung<br />
entsprechen, da bei der Matrizenmultiplikation das Kommutativgesetz nicht gilt!<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.3
3.3.5 Betriebsverhalten<br />
45<br />
Die Betriebseigenschaften eines Zweitors berücksichtigen die äusseren Beschaltungen am Eingang<br />
(Z G) und am Ausgang (Z L).<br />
Bild 3.17 Zum Betriebsverhalten eines Zweitors gehören neben den Verstärkungen<br />
noch die Eingangs- und die Ausgangsimpedanzen Z IN und Z OUT.<br />
Für die Umrechnung<br />
zwischen Impedanz Z<br />
und Admittanz Y gilt<br />
allgemein:<br />
Y = 1<br />
Z<br />
• Eingangsimpedanz<br />
Z IN =<br />
(3.29)<br />
• Ausgangsimpedanz<br />
(3.30)<br />
• Spannungsverstärkung<br />
(3.31)<br />
• Stromverstärkung<br />
(3.32)<br />
• Leistungsverstärkung<br />
(3.33)<br />
• Betriebsspannungsverstärkung<br />
(3.34)<br />
Die Betriebsspannungsverstärkung bezieht die Ausgangsspannung des Zweitors U2 auf diejenige<br />
Eingangsspannung, die bei Leistungsanpassung mit vernachlässigten Blindanteilen am Eingang<br />
auftreten würde (U1 =UG/2). Eine schlechte Eingangsanpassung wirkt sich daher auf VB aus, nicht<br />
aber auf Vu. U 1<br />
I 1<br />
Z OUT = U 2<br />
I 2<br />
V u = U 2<br />
U 1<br />
V i = I 2<br />
I 1<br />
Vp = P2 P1 V B =<br />
U 2<br />
U G/2<br />
Weiter gebräuchlich ist die Betriebsleistungsverstärkung (Transducer Gain) V T, die aus V B berechnet<br />
werden kann:<br />
V T<br />
=<br />
P 2<br />
P 1 max<br />
= P 2<br />
U G 2<br />
4R G<br />
G 2 L<br />
= |VB|⋅ GG (3.35)<br />
Die Formeln zur Berechnung der Betriebseigenschaften eines allgemeinen Zweitors aus seinen<br />
Parametern sind auf der folgenden Seite zusammengestellt.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.3
Z IN<br />
Z OUT<br />
V u<br />
V i<br />
V p<br />
46<br />
(Z) (Y) (A) (H) (K)<br />
z 11 − z 12z 21<br />
z 22 + Z L<br />
z 22 − z 12z 21<br />
z 11 + Z G<br />
z 21Z L<br />
det Z + z 11Z L<br />
−z 21<br />
z 22 + Z L<br />
| z 21 | 2 R L<br />
| z 22 + Z L | 2 R IN<br />
y 22 + Y L<br />
det Y + y 11Y L<br />
y 11 + Y G<br />
det Y + y 22Y G<br />
−y 21<br />
y 22 + Y L<br />
y 21Y L<br />
det Y + y 11Y L<br />
| y 21 | 2 G L<br />
| y 22 + Y L | 2 G IN<br />
a 11Z L + a 12<br />
a 21Z L + a 22<br />
a 12 + a 22Z G<br />
a 11 + a 21Z G<br />
Dabei gelten: ZG = RG + jXG YG = GG + jBG ZL = RL + jXL YL = GL +jBL ZIN = RIN + jXIN YIN = GIN +jBIN Bild 3.18 Zusammenstellung der wichtigsten Betriebseigenschaften eines Zweitors.<br />
Für die Betriebsspannungsverstärkungen gelten folgende Formeln:<br />
V B<br />
=<br />
U 2<br />
U G/2<br />
Z L<br />
a 11Z L + a 12<br />
−1<br />
a 21Z L + a 22<br />
R L<br />
| a 22 + a 21Z L | 2 R IN<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
2z 21Z L<br />
h 11 − h 12h 21<br />
h 22 + Y L<br />
h 11 + Z G<br />
det H + h 22Z G<br />
−h 21<br />
det H + h 11Y L<br />
h 21<br />
1 + h 22Z L<br />
| h 21 | 2 R L<br />
| 1 + h 22Z L | 2 R IN<br />
(z 11 + Z G)(z 22 + Z L)−z 12z 21<br />
−2y 21Y G<br />
(y 11 + Y G)(y 22 + Y L)−y 12y 21<br />
2Z L<br />
a 11Z L + a 12 +(a 21Z L + a 22)Z G<br />
−2h 21<br />
(h 11 + Z G)(h 22 + Y L)−h 12h 21<br />
2k 21Y GZ L<br />
(k 11 + Y G)(k 22 + Z L)−k 12k 21<br />
k 22 + Z L<br />
det K + k 11Z L<br />
k 22 − k 12k 21<br />
k 11 + Y G<br />
k 21Z L<br />
k 22 + Z L<br />
−k 21<br />
det K + k 11Z L<br />
| k 21 | 2 R L<br />
| detK + k 11Z L | 2 R IN<br />
(3.36)<br />
(3.37)<br />
(3.38)<br />
(3.39)<br />
(3.40)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 3.3
4 FILTERTHEORIE<br />
4.1 Einführung<br />
4.1.1 Allgemeines<br />
47<br />
Ein elektrisches Filter ist ein Netzwerk, das ein Eingangssignal in gewünschter Art und Weise in ein<br />
Ausgangssignal verwandelt. Die Signale können im Zeit- oder Frequenzbereich betrachtet werden,<br />
dementsprechend können auch die Anforderungen im Zeit- oder Frequenzbereich definiert sein. Filter<br />
sind mehrheitlich frequenzselektive, lineare Netzwerke, welche gewisse Frequenzbereiche übertragen<br />
und andere dämpfen. Elektrische Filter sind grundlegend für die moderne Elektrotechnik. Telephon,<br />
TV, Radio, Radar und Datenübertragung sind nur einige Beispiele aus dem Gebiet der Nachrichtentechnik,<br />
in denen Filter eine wesentliche Rolle spielen.<br />
Die frequenzselektiven Filter, mit denen wir uns im weiteren beschäftigen wollen, lassen sich in die<br />
fünf bekannten Grundtypen unterteilen:<br />
• Tiefpass (TP) • Bandpass (BP) • Allpass (AP)<br />
• Hochpass (HP) • Bandsperre (BS)<br />
4.1.2 Grundbegriffe für die Filtertheorie<br />
Für die Behandlung der Filtertheorie sollen vorerst die Begriffe Übertragungsfunktion, Frequenzgang,<br />
Amplituden- und Phasengang betrachtet werden.<br />
Übertragungsfunktion (UTF):<br />
Wir betrachten das in Bild 4.1 dargestellte, allgemeine, lineare, zeitinvariante Netzwerk mit konzentrierten<br />
Elementen (R,L,C).<br />
Bild 4.1 Netzwerk zur Definition der Übertragungsfunktion UTF.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.1
48<br />
Die Übertragungsfunktion H(s) ergibt sich aus dem Verhältnis der Laplace-Transformierten der<br />
Ausgangs- und Eingangsspannung:<br />
Die UTF hat als Argument somit die komplexe (Kreis-)Frequenzvariable s = σ + jω,<br />
die im<br />
Gegensatz zu jω auch zeitlich an- oder abklingende Sinusschwingungen darzustellen erlaubt.<br />
Für die Übertragungsfunktion des in Bild 4.1 abgebildeten Netzwerks ergibt sich eine gebrochen<br />
rationale Funktion der komplexen Frequenzvariablen s:<br />
Dabei gilt:<br />
• H(s) ist eine gebrochen rationale Funktion in s.<br />
• Die Ordnung der UTF beträgt n (= höchste Potenz des Nenners).<br />
• n ≥ m.<br />
• Zähler- und Nennerpolynom der UTF sind Polynome mit reellen und konstanten Koeffizienten.<br />
• Die Koeffizienten sind unabhängig vom Eingangssignal.<br />
• H(s) ist die Laplace-Transformierte der Stossantwort h(t) des betrachteten Systems.<br />
Pol-Nullstellen-Darstellung:<br />
H(s) = L{u2(t)} L{u1(t)} = U 2(s)<br />
U 1(s)<br />
H(s) = b ms m + b m − 1s m − 1 +…+b 1s + b 0<br />
a ns n + a n − 1s n − 1 +…+a 1s + a 0<br />
= N(s)<br />
D(s)<br />
Die Wurzeln (= Lösungen) der Gleichung N(s) = 0 ergeben die m endlichen Nullstellen, die Wurzeln<br />
der Gleichung D(s) = 0 die n Pole des Netzwerkes. H(s) ist 0 bei den Nullstellen und ∞ bei den Polen.<br />
Damit lässt sich H(s) auch in folgender Darstellung angeben:<br />
H(s) = K ⋅ (s − z1)(s − z2)…(s − zm) (s − p1)(s − p2)…(s − pn) = K ⋅ ∏ m<br />
i = 1(s<br />
− zi)<br />
n<br />
(s − pj) Die UTF H(s) ist also vollständig durch ihre Pole und Nullstellen, sowie durch eine multiplikative<br />
Konstante K bestimmt.<br />
Die Wurzeln von Polynomen mit reellen Koeffizienten sind entweder reell oder treten als konjugiert<br />
komplexe Paare auf. Zähler und Nenner von H(s) können somit als Produkt von Polynomen 1. und<br />
2. Ordnung mit reellen Koeffizienten dargestellt werden:<br />
H(s) = K ⋅ ∏ r<br />
i = 1(s<br />
2 + 2σzis +ωzi t<br />
∏j = 1(s<br />
2 + 2σpjs +ωpj ∏ j = 1<br />
2 m<br />
)⋅∏i = 2r + 1<br />
2 n<br />
)⋅∏j = 2t + 1<br />
, wobei K = b m<br />
a n<br />
(s − z i)<br />
(s − p j)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.1<br />
(4.1)<br />
(4.2)<br />
(4.3)<br />
(4.4)
49<br />
Pole und Nullstellen können in der (komplexen) s-Ebene graphisch dargestellt werden. Ein Beispiel<br />
einer UTF mit 4 Polen und Nullstellen ist in Bild 4.2 abgebildet.<br />
Bild 4.2 Pol-/Nullstellen-Diagramm.<br />
Aus praktischen Gründen - damit ein Netzwerk stabil ist - müssen alle Pole in der linken Halbebene<br />
liegen.<br />
Praktisch bedeutsam ist der Zusammenhang zwischen der UTF H(s) und dem einfach messbaren<br />
Frequenzgang H(jω) (→ 2.2.1).<br />
Der Frequenzgang:<br />
Um das Verhalten eines linearen Netzwerkes im eingeschwungenen Zustand zu ermitteln, ersetzen<br />
wir in der UTF H(s) s durch jω und erhalten so den (komplexen) Frequenzgang H(jω). H(jω) gibt das<br />
Verhältnis des eingeschwungenen Ausgangssignal zum anregenden harmonischen (sinusförmigen)<br />
Eingangssignal der Frequenz ω an:<br />
H(jω) kann auch in Polarform angegeben werden:<br />
Amplituden- und Phasengang:<br />
H(s)| s = jω = H(jω)<br />
H(jω) = | H(jω)| ⋅ e jϕ(ω)<br />
Wie schon in Abschnitt 2.2.1 beschrieben wurde, heisst der Betrag des Frequenzgangs |H(jω)| =K(ω)<br />
Amplitudengang und der Winkel ϕ(ω) Phasengang. Es ist zweckmässig, den Amplitudengang in einer<br />
logarithmischen Darstellung<br />
G(jω) = 20 ⋅ lg| H(jω)|<br />
anzugeben, damit der (logarithmische) Amplitudengang der Kaskade entkoppelter Teilnetzwerke<br />
durch Addition der logarithmischen Teilamplitudengänge berechnet werden kann. Die graphische<br />
Darstellung von 20 ⋅ lg| H(jω)| und ϕ je in Funktion von log ω bezeichnet man als Bode-Diagramm.<br />
Eine für die Filtertheorie wichtige Grösse ist die schon in Abschnitt 2.2.3 definierte Gruppenlaufzeit<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.1<br />
(4.5)<br />
(4.6)<br />
(4.7)
50<br />
τ g = − dϕ(ω)<br />
dω<br />
Konstante Gruppenlaufzeit bedeutet einen linearen Phasengang!<br />
Eine anschauliche Betrachtung findet man in Bild 4.3, wo der Betrag der UTF |H(s)| in einer 3-D-<br />
Darstellung abgebildet ist.<br />
Bild 4.3 Dreidimensionale Darstellung der Betragsfunktion einer Übertragungsfunktion UTF.<br />
Dabei entspricht der Schnitt längs der jω-Achse dem Amplitudengang des Netzwerkes. In Bild 4.4<br />
sind je ein Beispiel eines Amplitudengangs für ein TP-, HP- und BP-Filters angegeben.<br />
Bild 4.4 Übertragungsfunktion und Amplitudengang eines TP, HP und BP 2. Ordnung.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.1<br />
(4.8)
4.1.3 Vorgehensweise für den Filterentwurf<br />
51<br />
Eine der wichtigsten Aufgaben der Filtertheorie ist die Bestimmung einer Schaltung, die einen vorgegebenen<br />
Amplitudengang aufweist. In der modernen Filtertheorie wird dieses Problem in 3 Schritten<br />
gelöst:<br />
Schritt 1: Formulieren der Filterspezifikation<br />
Die technischen Anforderungen an die Übetragungseigenschaften eines Filters werden häufig im<br />
Frequenzbereich mit Hilfe eines Toleranzschemas beschrieben. Ein Beispiel eines solchen Toleranzschemas<br />
ist in Bild 4.5 dargestellt.<br />
Bild 4.5 Filterspezifikation mittels Toleranzschema (Stempel/Matrize-Schema).<br />
Im Toleranzschema ist der Dämpfungsverlauf (in dB) in Funktion der Frequenz spezifiziert. Die<br />
Dämpfungsfunktion A(ω) entspricht dabei dem reziproken Verlauf des Amplitudengangs:<br />
Im Durchlassbereich bestimmt der Stempel die maximal zulässige Dämpfung A max. Im Sperrbereich<br />
bestimmt die Matrize die minimal zulässige Dämpfung A min.<br />
Schritt 2: Lösen des Approximationsproblems<br />
Nach der Festlegung des Toleranzschemas muss das sogenannte Approximationsproblem gelöst<br />
werden. Darunter versteht man die Bestimmung einer UTF H(s), deren Amplitudengang das in Schritt<br />
1 spezifizierte Toleranzschema erfüllt. Als zweite Bedingung muss diese UTF zu einem realisierbaren<br />
Netzwerk gehören.<br />
Schritt 3: Realisierung der UTF<br />
A [dB](ω) = 20 ⋅ lg<br />
1<br />
| H(jω)|<br />
Zuletzt muss eine Schaltung gefunden werden, deren UTF der in Schritt 2 gefundenen UTF H(s)<br />
entspricht.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.1<br />
(4.9)
4.2 Approximation im Frequenzbereich<br />
4.2.1 Grundsätzliches<br />
52<br />
Die am weitesten verbreiteten Approximationsarten sind die vier Standardapproximationen nach<br />
Butterworth, Tschebyscheff, Cauer und Bessel. Wie wir in Abschnitt 4.2.4 sehen werden, lassen sich<br />
die UTF von HP-, BP- und BS-Filtern durch entsprechende Frequenztransformationen aus einer TP-<br />
UTF ableiten. Es genügt somit, wenn wir nur die Standardapproximationen für TP-Filter betrachten.<br />
4.2.2 Die Tiefpass-Approximation<br />
Die Frequenznormierung:<br />
Um das Rechnen mit unhandlichen Zahlen zu umgehen und die Approximation zu vereinheitlichen,<br />
führen wir normierte Frequenzen ein. Betrachten wir dazu das in Bild 4.6 angegebene TP-<br />
Toleranzschema:<br />
Bild 4.6 Normierung der Frequenzachse.<br />
Normierung:<br />
(4.10)<br />
(4.11)<br />
Bei TP und HP ist die Normierung bezüglich der Durchlass-Grenzfrequenz ω D (→ ω r = ω D), oder<br />
bezüglich der 3dB-Grenzfrequenz ω 3dB (→ ω r = ω 3dB), zweckmässig. Bei BP und BS wählen wir zur<br />
Normierung die Mittenfrequenz ω m.<br />
Zur Entnormierung wird in der normierten Funktion S durch s/ω r ersetzt.<br />
S =<br />
s<br />
ω r<br />
Ω = ω<br />
ω r<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.2
Allgemeiner Ansatz der Approximationen:<br />
53<br />
Ziel dieses Abschnittes ist es also zu zeigen, wie die Koeffizienten c i der allgemeinen, normierten<br />
TP-UTF<br />
H TP(S) =<br />
(4.12)<br />
bestimmt werden müssen, damit der daraus resultierende Amplitudengang eine gewünschte Spezifikation<br />
erfüllt. A 0 entspricht dabei einer konstanten Verstärkung (für alle Frequenzen gleich) und hat<br />
für die Filterung keine Bedeutung. Meistens wird A 0 = 1 gewählt.<br />
Da die Amplitudenfunktion |H(jω)| eine gerade Funktion, also eine Funktion von Ω 2 ist, wird für alle<br />
TP-Standardapproximationen der folgende Ansatz gemacht:<br />
K(Ω 2 | H(jΩ)|<br />
) wird charakteristische Funktion genannt. Für den TP muss gelten:<br />
2 =<br />
1<br />
1 + K(Ω 2 )<br />
(4.13)<br />
(4.14)<br />
In der Folge sollen die vier Tiefpass-Standardapproximationen kurz beschrieben und einander<br />
gegenübergestellt werden. Weiter soll gezeigt werden, wie mit Hilfe von Tabellenwerken das<br />
Approximationsproblem für den Entwurf konkreter Filter einfach gelöst werden kann.<br />
Approximation nach Butterworth:<br />
Bei der Approximation nach Butterworth geht man vom folgenden Potenzansatz für die charakteristische<br />
Funktion K(Ω 2 ) aus:<br />
(4.15)<br />
Dabei ist n die Ordnung des Filters und Ω die normierte Frequenz. Der Amplidudengang lautet somit:<br />
(4.16)<br />
Der Amplitudengang nimmt also - wie bei TP gefordert - mit zunehmendem Ω ab. Der nächste Schritt<br />
ist die Bestimmung der UTF H(S) aus dem Amplitudengang |H(jΩ)|:<br />
A 0<br />
1 + c 1S + c 2S 2 +…+c nS n<br />
K(Ω 2 ) 1 für Ω 1 (Sperrbereich)<br />
K(Ω 2 ) 1 für 0 ≤ Ω < 1 (Durchlassbereich)<br />
K(Ω 2 ) = (Ω 2 ) n<br />
| H(jΩ) | =<br />
1<br />
√⎺ ⎺⎺⎺⎺ 1 +Ω 2n<br />
| H(jΩ) | → H(S)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.2
54<br />
In der Literatur (z.B. Tietze/Schenk [2]) sind Methodenbeschrieben, wie dieser Übergang durchgeführt<br />
wird. Es soll hier nicht detailliert auf diese Berechnung eingegangen werden, da die resultierenden<br />
UTF für beliebige Ordnungen n - sowohl für den Butterworth-Ansatz, wie auch für andere<br />
Standardapproximationen - in Form von Koeffizienten-Tabellen in manchen Büchern zu finden sind.<br />
Eine Handrechnung der Koeffizienten muss daher gar nie durchgeführt werden.<br />
Beispiel: Der Ansatz für ein Butterworth TP Filter 2.Ordnung (n = 2) lautet nach Gl. 4.16:<br />
In Tietze/Schenk findet man die Butterworth-Koeffizienten für die normierte UTF 2. Ordnung:<br />
Sie lauten: c 1 = 1,4142 und c 2 = 1,000.<br />
(4.17)<br />
(4.18)<br />
Zur Kontrolle können diese Koeffizienten in der UTF (Gl. 4.18) eingesetzt werden und dann der Amplitudengang<br />
berechnet werden. Die Rechnung zeigt, dass der so berechnete Amplitudengang genau dem<br />
Butterworth-Ansatz in Gl. 4.17 entspricht.<br />
Für eine beliebige Ordnung n beziehen sich die tabellierten Koeffizienten auf die allgemeine normierte<br />
UTF n-ter Ordnung gemäss Gl. 4.12. Da es für die Realisierung von Filtern vielfach günstig ist, wenn<br />
der Nenner der UTF in Faktoren zerlegt ist, sind in vielen Tabellenwerken oft die Koeffizienten des<br />
in Faktoren zerlegten Nenners der UTF angegeben. In Tietze/Schenk beispielsweise findet man die<br />
folgende Darstellung:<br />
H(S) =<br />
| H(jΩ) | =<br />
H(S) =<br />
Eigenschaften der Butterworth Approximation:<br />
1<br />
√⎺ ⎺⎺⎺ 1 +Ω 4<br />
In Bild 4.7 sind Amplitudengänge von Butterworth-TP-Filtern für verschiedene Ordnungen n und<br />
A 0 = 1 dargestellt.<br />
A 0<br />
1 + c 1S + c 2S 2<br />
A 0<br />
∏ i(1 + a iS + b iS 2 )<br />
(4.19)<br />
Bild 4.7 Amplitudengänge von<br />
Butterworth-TP-Filtern für<br />
verschiedene Ordnungen n.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.2
55<br />
Dabei gilt: • |H(jΩ)| ist maximal für Ω = 0 (für alle n) und weist keine Welligkeit auf, da alle<br />
Nullstellen der charakteristischen Funktion K(Ω 2 ) im Frequenzursprung liegen.<br />
• | H(jΩ) | Ω = 1 =<br />
√⎺ ⎺⎺⎺ 1 + 1 √⎺ 2<br />
. Man beachte, dass dadurch der Butterworth-Ansatz<br />
automatisch zur Frequenznormierung auf die 3dB-Grenzfrequenz ω3dB führt.<br />
• Im Sperrbereich Ω > 1 weisen die Amplitudengänge eine asymptotische Steilheit von<br />
−n ⋅ 20dB/Dekade auf.<br />
• Die Anforderungen an ein Filter sind durch das Toleranzschema gegeben. Die dort<br />
gegebenen Werte A max und A min (beide in dB), sowie ω D und ω S bestimmen die minimal<br />
benötigte Ordnung n, die ein Butterworth-TP-Filter aufweisen muss. Diese minimale<br />
Ordnung kann mit der folgenden Formel berechnet werden:<br />
• Der Zusammenhang zwischen der 3dB-Grenzfrequenz ω 3dB und ω D lautet:<br />
(4.20)<br />
(4.21)<br />
Die UTF eines Butterworth-TP-Filters bei gegebenem Toleranzschema kann nun nach folgendem<br />
Rezept einfach mit Hilfe von Tabellen bestimmt werden:<br />
1. Mit Gl. 4.20 bestimmt man die benötigte Ordnung des Filters.<br />
1<br />
2n = 1<br />
n ≥<br />
ω 3dB = ω D ⋅<br />
lg 100, 1 ⋅ A min<br />
− 1<br />
10 0, 1 ⋅ A max<br />
− 1<br />
2 ⋅ lg ⎛ ωS ⎞<br />
⎝ ωD ⎠<br />
2. Mit Gl. 4.21 bestimmt man die 3dB-Grenzfrequenz ω 3dB. ω 3dB entspricht dabei gerade der<br />
Referenzfrequenz ω r der Frequenznormierung.<br />
3. Mit derKenntnis der Ordnungn können inTabellenwerken (z.B. Tietze/Schenk) die Koeffizienten<br />
der normierten UTF gefunden werden.<br />
4. Mit der Kenntnis der Referenzfrequenz ωr = ω3dB kann aus der normierten UTF die tatsächliche<br />
UTF durch die folgende Substitution (gemäss Gl. 4.10) bestimmt werden:<br />
S =<br />
s<br />
=<br />
s<br />
ω r<br />
2n<br />
1<br />
√⎺ ⎺⎺⎺⎺⎺⎺<br />
10 0,1 ⋅ A max − 1<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.2<br />
ω 3dB
Beispiel: Gegeben sei die folgende Filterspezifikation (gemäss Bild 4.5):<br />
56<br />
• A max = 0,7 dB • A min = 30 dB • f D = 2 kHz • f S = 4 kHz<br />
Gesucht ist die mit dem Butterworth-Ansatz approximierte UTF minimaler Ordnung, deren Amplitudengang<br />
das gegebene Toleranzschema erfüllt.<br />
Lösung:<br />
1. Mit Gl. 4.20 ergibt sich für n: n ≥ 6,24. Die benötigte Filterordnung beträgt somit n =7.<br />
2. Mit Gl. 4.21 ergibt sich für die 3dB-Grenzfrequenz:<br />
3. In Tietze/Schenk findet man die Koeffizienten der normierten UTF des Butterworth-TP 7. Ordnung.<br />
Diese UTF lautet:<br />
1<br />
4. Die entnormierte UTF erhält man nun einfach durch die Substitution<br />
In Bild 4.8 ist der Amplitudengang sowie das Pol-Nullstellen-Diagramm dieses Filters angegeben.<br />
a) c)<br />
b)<br />
ω 3dB = 1, 13 ⋅ω D = 2 ⋅π⋅2, 27kHz.<br />
(1 + S)⋅(1 + 1, 8019S + S 2 )⋅(1 + 1, 247S + S 2 )⋅(1 + 0, 445S + S 2 )<br />
S → s<br />
ω 3dB<br />
= s ⋅ 70, 26µs.<br />
Bild 4.8 a) Amplitudengang<br />
2 kHz (f D) ... 2,27 kHz (f 3dB)<br />
b) Amplitudengang<br />
0,4 kHz ... 4 kHz (f S)<br />
c) Pol-Nullstellen-Diagramm<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.2
Approximation nach Tschebyscheff:<br />
57<br />
Bei der Butterworth-Approximation sind alle Nullstellen der charakteristischen Funktion K(Ω 2 ) im<br />
Frequenzursprung, was zu einem Amplitudengang ohne Welligkeit führt. Durch eine Verteilung der<br />
Nullstellen von K(Ω 2 ) im Durchlassbereich erreicht man einen steileren Übergang vom Durchlassbereich<br />
in den Sperrbereich und damit ein selektiveres Filter. Dies geschieht mit dem Ansatz von<br />
Tschebyscheff, der hier nicht explizit angegeben werden soll. An dieser Stelle sollen nur die<br />
wichtigsten Eigenschaften dieser Standardapproximation angegeben werden.<br />
Eigenschaften der Tschebyscheff Approximation:<br />
• Im Durchlassbereich Ω < 1 verläuft der Amplitudengang nicht monoton, sondern besitzt eine<br />
Welligkeit mit konstanter Amplitude. Unter der Welligkeit versteht man das Verhältnis von<br />
maximaler zu minimaler Amplitude im Durchlassbereich. Sie wird meistens in dB angegeben.<br />
Diese Welligkeit kann mit der Wahl des sogenannten Rippelfaktors e bestimmt werden. Dabei<br />
gilt für den Durchlassbereich:<br />
| H(jΩ) | min<br />
| H(jΩ) | max<br />
(4.22)<br />
Die Welligkeit wird natürlich durch die maximale Dämpfung im Durchlassbereich A max [dB]<br />
bestimmt. Der Zusammenhang lautet:<br />
(4.23)<br />
• Im Sperrbereich hat der Amplitudengang - gleich wie beim Butterworth-TP-Filter - eine<br />
asymptotische Steilheit von −n ⋅ 20dB/Dekade.<br />
Im Gegensatz zum Butterworth-TP-Filter ist aber<br />
der Übergang vom Durchlassbereich in den Sperrbereich steiler. Dieser Übergang wird umso<br />
steiler, je grösser die Welligkeit im Durchlassbereich ist.<br />
• Analog zum Butterworth-Filter kann aus den Anforderungen des Toleranzschemas die benötigte<br />
Filterordnung berechnet werden. Der Zusammenhang lautet:<br />
Dabei kann die arcosh-Funktion mit dem folgenden Ausdruck ausgewertet werden:<br />
• Der Zusammenhang zwischen der 3dB-Grenzfrequenz ω 3dB und ω D lautet:<br />
=<br />
1<br />
√⎺ ⎺⎺⎺⎺ 1 + e 2<br />
e = √⎺ ⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺ 10 0,1 ⋅ Amax − 1<br />
n ≥<br />
10<br />
arcosh√⎺⎺⎺ 0, 1 ⋅ A min<br />
− 1<br />
10 0, 1 ⋅ A max<br />
− 1<br />
arcosh ⎛ ωS ⎝<br />
(4.24)<br />
(4.25)<br />
(4.26)<br />
Zur Illustration sind in Bild 4.9 die Amplitudengänge von Tschebyscheff-TP-Filtern 4. Ordnung bei<br />
verschiedenen Welligkeiten abgebildet.<br />
ω D<br />
⎞<br />
⎠<br />
arcosh x = ln(x + √⎺ ⎺⎺⎺⎺ x 2 − 1)<br />
ω 3dB = ω D ⋅ cosh ⎡ ⎢ ⎣<br />
1<br />
n<br />
⋅ arcosh 1<br />
e<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦
Bild 4.9 Tschebyscheff-Tiefpass-Filter 4. Ordnung mit verschieden grossen Welligkeiten.<br />
58<br />
Welligkeit:<br />
1 → 3dB<br />
2 → 2dB<br />
3 → 1dB<br />
4 → 0,5 dB<br />
5 → 0 dB (Butterworth)<br />
Man erkennt gut, dass bei grösserer Welligkeit ein steilerer Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich<br />
erfolgt. Die asymptotische Steilheit ist jedoch in allen Fällen gleich.<br />
Beispiel: Gegeben sei wiederum die folgende Filterspezifikation (gemäss Fig. 4.5):<br />
• Amax = 0,7 dB • Amin = 30 dB • fD = 2 kHz • fS = 4 kHz<br />
Mit Gleichung 4.24 erhält man: n ≥ 3,81<br />
Obiges Toleranzschema wird somit mit einem Tschebyscheff-TP-Filter 4. Ordnung erfüllt. Der Aufwand im<br />
Vergleich zum Butterworth-Filter - es muss bei gleicher Spezifikation 7. Ordnung aufweisen - ist also kleiner.<br />
Approximation nach Cauer:<br />
Der Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich lässt sich noch weiter versteilern, indem im<br />
Sperrbereich Nullstellen im Amplitudengang eingebaut werden. Dabei entsteht im Sperrbereich<br />
ebenfalls eine (gleichmässige) Welligkeit des Amplitudengangs. Solche Filter haben in der Literatur<br />
vielfach auch die folgenden Bezeichnungen: Komplette Tschebyscheff-Filter, Tschebyscheff-Cauer-<br />
Filter oder Elliptische Filter. Der Amplitudengang eines Cauer-Filters ist in Bild 4.10 dargestellt.<br />
Die wichtigsten Eigenschaften der Cauer-Approximation sind:<br />
Bild 4.10 Cauer-Tiefpass-Filter weisen<br />
im Sperrbereich ebenfalls eine<br />
Welligkeit auf.<br />
• Im Durchlassbereich existiert eine Welligkeit des Amplitudengangs, die gleich ist wie bei den<br />
Tschebyscheff-TP-Filtern.<br />
• Im Sperrbereich existiert ebenfalls eine Welligkeit des Amplitudengangs, respektive des<br />
Dämpfungsverlaufs. Die Dämpfung schwankt dabei zwischen A min und ∞.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.2
59<br />
• Für die Bestimmung des minimal benötigten Filtergrades und des Zusammenhangs zwischen der<br />
3dB-Grenzfrequenz ω 3dB und ω D gibt es hier keine analytischen Formeln. Die zur Erfüllung eines<br />
gegebenen Toleranzschemas benötigte minimale Filterordnung kann z.B. mit Hilfe von Nomogrammen<br />
(= Grafische Darstellung der Filterordnung in Funktion der Parameterwerte des<br />
Toleranzschemas) bestimmt werden.<br />
In unserem Beispiel (A max = 0,7 dB; A min = 30 dB; f D = 2 kHz; f S = 4 kHz) kann aus einem solchen<br />
Nomogramm die minimale Filterordnung n = 3 herausgelesen werden. Dies bedeutet, dass der<br />
Aufwand - bezüglich der Filterordnung - im Vergleich zu den bisher betrachteten Approximationsarten<br />
noch einmal reduziert wurde.<br />
• Im Gegensatz zuden Butterworth-und Tschebyscheff-Filtern handeltes sich bei denCauer-Filtern<br />
um keine Allpolfilter (nur Pole in der UTF) mehr, da auch Nullstellen der UTF vorkommen. Die<br />
UTF eines Cauer-Filters unterscheidet sich somit von der gewöhnlichen TP-UTF gemäss Gl. 4.12<br />
dadurch, dass statt der Konstante A 0 im Zähler ein Polynom in s auftritt.<br />
Approximation nach Bessel:<br />
Bei den bisher betrachteten Approximationen wurde versucht, den Amplitudengang eines idealen<br />
TP-Filters (d.h. A max =0; A min = ∞; f D = f S) möglichst gut nachzubilden. An den Phasengang wurden<br />
hingegen keine Anforderungen gestellt. Bei der Approximation nach Bessel sind TP-Filter mit möglichst<br />
linearer Phase, d.h. konstanter Gruppenlaufzeit zu realisieren. Die Approximation besteht darin,<br />
die Koeffizienten so zu wählen, dass die Gruppenlaufzeit unterhalb der Grenzfrequenz Ω D möglichst<br />
wenig von Ω abhängt. Bild 4.11 zeigt die Amplitudengänge von Bessel-TP verschiedener Ordnungen<br />
n.<br />
Weitere Approximationen:<br />
Bild 4.11 Amplitudengänge von<br />
Bessel-TP-Filtern für<br />
verschiedene Ordnungen n.<br />
Neben den eben beschriebenen vier Standardapproximationen, die alle auf der Approximation im<br />
Frequenzbereich (Dämpfung, Gruppenlaufzeit) beruhen, existieren noch andere Approximationsarten.<br />
Als Beispiel sei hier noch die Approximation nach Gauss erwähnt, bei der die Filterkoeffizienten so<br />
gewählt werden, dass die Filter-Stossantwort näherungsweise normalverteilt ist (→ Approximation<br />
im Zeitbereich). Der Vorteil dieser Approximationsart liegt in einem guten Einschwingverhalten.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.2
4.2.3 Vergleich der Tiefpass-Standardapproximationen<br />
60<br />
In diesem Abschnitt werden die Vor- und Nachteile der vorgestellten TP-Approximationsarten<br />
zusammengefasst.Dabei solldas Verhalten derverschiedenapproximierten Filter sowohl imFrequenzals<br />
auch Zeitbereich betrachtet werden. Während im Frequenzbereich eine möglichst gute Approximation<br />
des Amplitudengangs des idealen TP-Filters (= Rechteck) erwünscht ist, wird im Zeitbereich<br />
ein möglichst gutes Einschwingverhalten des Filters gefordert.<br />
Zur Beurteilung des Einschwingverhaltens eines Netzwerkes wird vielfach die Schrittantwort, also<br />
der Verlauf des Ausgangssignals beim Anlegen eines Spannungsschrittes am Eingang, betrachtet. In<br />
Bild 4.12a sind die Amplitudengänge von je einem Bessel-, Butterworth- und Tschebyscheff-TP Filter<br />
4.Ordnung (alle mit gleicher 3dB-Frequenz) dargestellt. In Bild 4.12b findet man die entsprechenden<br />
Schrittantworten solcher Filter.<br />
a) b)<br />
Bild 4.12 Vergleich der TP-Standardapproximationen 4. Ordnung: a) im Frequenzbereich, und b) im<br />
Zeitbereich (Schrittantwort).<br />
1: Bessel 3: Tschebyscheff mit 0,5 dB Welligkeit<br />
2: Butterworth 4: Tschebyscheff mit 3 dB Welligkeit<br />
Wenn wir die Amplitudengänge sowie die Schrittantworten der vier betrachteten TP-Approximationen<br />
miteinander vergleichen, stellen wir die folgenden Unterschiede fest:<br />
• Das Bessel-Filter weist den flachsten Übergang zwischen Durchlass- und Sperrbereich auf. Es<br />
stellt somit die schlechteste Näherung an den idealen Tiefpassamplitudengang (Rechteck) dar.<br />
Dafür besitzt das Bessel-Filter eine sehr lineare Phase (konstante Gruppenlaufzeit) und daraus<br />
abgeleitet ein vergleichsweise gutes Einschwingverhalten, was zu einem optimalen Rechteckübertragungsverhalten<br />
führt.<br />
• Das Butterworth-Filter zeigt im Vergleich zum Besselfilter einen merklich steileren Übergang<br />
zwischen Durchlass- und Sperrbereich. Das Einschwingverhalten ist jedoch gegenüber dem<br />
Besselfilter schlechter (langsamerer Anstieg, Überschwingen).<br />
• Das Tschebyscheff-Filter erfüllt unsere Wünsche bezüglich Amplitudengang noch besser.<br />
Erkauft wird dies allerdings mit einem noch schlechteren Einschwingverhalten.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.2
61<br />
Lassen wir beim Tschebyscheff-Filter im Durchlassbereich eine noch grössere Welligkeit zu, so<br />
verläuft der Übergang zwischen Durchlass- und Sperrbereich noch steiler. Das Einschwingverhalten<br />
verschlechtert sich jedoch abermals erheblich.<br />
• Beim Cauer-Filter (in Bild 4.12 nicht dargestellt) resultiert ein noch steilerer Übergang vom<br />
Durchlass- in den Sperrbereich. Das Einschwingverhalten wird dadurch jedoch noch schlechter<br />
als bei den Tschebyschefffiltern.<br />
Die Gegenüberstellung der Frequenzgänge und der Gruppenlaufzeiten bei verschiedenen Ordnungen<br />
n ist für drei der vier betrachteten Approximationsarten in Bild 4.13 dargestellt.<br />
Bild 4.13 Gegenüberstellung der Amplitudengänge (oben) und Gruppenlaufzeiten (unten) von Butterworth-,<br />
Tschebyscheff- und Bessel-Tiefpässen verschiedener Ordnung mit der 3dB-Grenzfrequenz 1Hz.<br />
Es lässt sich also feststellen, dass Approximationen mit besserem Amplitudenverhalten jeweils ein<br />
schlechteres zeitliches Verhalten aufweisen. Die Frage, welches Filter das beste ist, lässt sich somit<br />
nicht generell beantworten. Es hängt davon ab, ob gutes Frequenz- und/oder gutes Zeitverhalten<br />
erwünscht ist.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.2
4.2.4 Übergang zu beliebigen Filtern durch Frequenztransformation<br />
62<br />
Wie schon im vorangehenden Abschnitt erwähnt wurde, lassen sich die HP-, BP-, und BS-UTF aus<br />
einer TP-Approximation gewinnen.<br />
Die Approximation eines HP-, BP-, oder BS-Filters wird in drei Schritten durchgeführt:<br />
1. Transformation<br />
Toleranzschema.<br />
eines vorgeschriebenen Toleranzschemas in ein entsprechendes TP-<br />
2. Approximation des TP-Toleranzschemas in bekannter Weise.<br />
3. Rücktransformation der gefundenen TP-UTF in die UTF des gewünschten Filtertyps.<br />
Die Tiefpass-Hochpass-Transformation:<br />
Die normierte HP-UTF kann durch die Frequenztransformation<br />
aus der normierten TP-UTF gewonnen werden. Damit wird:<br />
Transformation des Toleranzschemas:<br />
Bild 4.14 Hochpass → Tiefpass-Transformation.<br />
TP→HP-Transformation durch direkte Substitution:<br />
Es gilt:<br />
Durch Substitution von S durch 1/S ergibt sich aus der allgemeinen TP-UTF<br />
die allgemeine HP-UTF:<br />
H TP(S) =<br />
H HP(S) =<br />
S (TP) →(HP)<br />
1<br />
S<br />
⎛ 1 ⎞<br />
H HP(S) = H TP⎜<br />
⎟<br />
⎝ S ⎠<br />
A 0<br />
1 + c 1S + c 2S 2 +…+c nS n<br />
A 0 ⋅ S n<br />
Ω STP<br />
S n + c 1S n − 1 + c 2S n − 2 +…+c n<br />
=<br />
1<br />
Ω SHP<br />
(4.27)<br />
(4.28)<br />
(4.29)<br />
(4.30)<br />
(4.31)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.2
Die Tiefpass-Bandpass-Transformation:<br />
63<br />
Die normierte BP-UTF eines in logarithmischer Darstellung symmetrischen BP-Filters<br />
( ωS1 ⋅ωS2) kann durch folgende Frequenztransformation aus der normierten<br />
ω r = √⎺⎺⎺⎺⎺<br />
ω B1 ⋅ω B2 = √⎺⎺⎺ ⎺<br />
TP-UTF gewonnen werden:<br />
S (TP) →(BP)<br />
wobei B der normierten BP-Bandbreite entspricht:<br />
S 2 + 1<br />
B ⋅ S<br />
ω r entspricht der Bandpass-Mittenfrequenz. Damit wird:<br />
Transformation des Toleranzschemas:<br />
Bild 4.15 Bandpass → Tiefpass-Transformation.<br />
TP→BP-Transformation durch direkte Substitution:<br />
Es gilt:<br />
(4.32)<br />
(4.33)<br />
(4.34)<br />
(4.35)<br />
Durch direkte Substitution von S durch ergibt sich aus der TP-UTF die gewünschte BP-UTF.<br />
Beispiel für ein Term 1.Ordnung:<br />
→ H BP(S) =<br />
B = ω B 2 −ω B1<br />
ω r<br />
⎛<br />
H BP(S) = H TP⎜<br />
⎝<br />
S 2 + 1<br />
B ⋅ S<br />
H TP(S) =<br />
S 2 + 1<br />
B ⋅ S<br />
1<br />
+ a<br />
= Ω B2 −Ω B1<br />
S 2 + 1<br />
B ⋅ S<br />
1<br />
S + a<br />
Wie man sieht, erhöht sich durch die Transformation die Filterordnung um den Faktor 2.<br />
=<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
B ⋅ S<br />
S 2 + a ⋅ B ⋅ S + 1<br />
Ω STP = Ω S 2 −Ω S1<br />
Ω B2 −Ω B1<br />
(4.36)<br />
(4.37)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.2
Die Tiefpass-Bandsperre-Transformation:<br />
64<br />
Die normierte BS-UTF eines in logarithmischer Darstellung symmetrischen BS-Filters<br />
( ωS1 ⋅ωS2) kann durch folgende Frequenztransformation aus der normierten<br />
ω r = √⎺⎺⎺⎺⎺<br />
ω B1 ⋅ω B2 = √⎺⎺⎺ ⎺<br />
TP-UTF gewonnen werden:<br />
S (TP) →(BS)<br />
(4.38)<br />
Dabei entspricht B wiederum der normierten BS-Bandbreite B =<br />
BS-Mittenfrequenz. Somit wird:<br />
ωr = ΩB2−ΩB1, und ωr der<br />
H BS(S)<br />
Transformation des Toleranzschemas:<br />
=<br />
⎛ B ⋅ S<br />
H TP⎜<br />
⎝ S 2 ⎞<br />
⎟<br />
+ 1 ⎠<br />
Bild 4.16 Bandsperre → Tiefpass-Transformation.<br />
TP→BS-Transformation durch direkte Substitution:<br />
B ⋅ S<br />
B ⋅ S<br />
S 2 + 1<br />
ω B2 −ω B1<br />
Es gilt:<br />
Ω STP = Ω B 2 −Ω B1<br />
Ω S2 −Ω S1<br />
(4.39)<br />
(4.40)<br />
Durch direkte Substitution von S durch ergibt sich aus der TP-UTF die gewünschte BP-UTF.<br />
S<br />
Auch hier wird die Filterordnung um den Faktor 2 erhöht.<br />
2 + 1<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.2
4.3 Realisierung von Filtern<br />
4.3.1 Überblick<br />
65<br />
Mit der in 4.2 vorgestellten Theorie haben wir nun die Möglichkeit, die UTF eines beliebigen<br />
Filter-Grundtyps zu berechnen. Noch offen steht die technische Realisierung dieser UTF. Mit diesem<br />
Thema wollen wir uns im vorliegenden Abschnitt befassen.<br />
Ein Überblick über die wichtigsten heute vorhandenen Filterbauarten ist in Bild 4.17 gegeben.<br />
Bild 4.17 Übersicht über die wichtigsten Filterbauarten.<br />
Je nach Anforderungen bezüglich Frequenzbereich, notwendiger Genauigkeit und Selektivität, Leistungsbedarf,<br />
Abmessungen, Kosten, benötigte Stückzahlen etc., stellt die eine oder andere Bauart die<br />
beste Lösung dar. Die heute am weitesten verbreiteten Filtertechnologien sind die Passiv-RLC-, die<br />
Aktiv-(RC-), die Switched-Capacitor-(SC-) und die Digital-Filter. Diese vier Realisierungstechniken<br />
sollen in der Folge kurz diskutiert und einander gegenübergestellt werden.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.3
66<br />
Als zu Beginn dieses Jahrhunderts erstmals elektrische Filter eingesetzt wurden, handelte es sich dabei<br />
ausschliesslich um passive RLC-Filter. Diese Bauart wird auch heute noch verwendet, - vorallem bei<br />
höheren Frequenzen. Im Niederfrequenzbereich werden jedoch meist grosse und teure Induktivitäten<br />
nötig. Eine Alternative zu den passiven RLC-Filter sind die aktiven RC-Filter, bestehend aus<br />
Widerständen, Kondensatoren und Operationsverstärkern (Opamp). Das aktive Element (Opamp) ist<br />
dabei nötig, weil mit passiven RC-Netzwerken nur Pole auf der negativ reellen Achse realisiert werden<br />
können.<br />
Verglichen mit den passiven RLC-Filtern besitzen die aktiven RC-Filter folgende Vorteile:<br />
• Niedrige Kosten: Die Bauteilkosten aktiver Filter sind gewöhnlich geringer, besonders bei<br />
sehr tiefen Frequenzen, bei denen die Spulen gross und teuer werden.<br />
• Kleine Abmessungen und geringes Gewicht: Durch das Einsparen der Spulen werden die<br />
aktiven Filter (vor allem bei tieferen Frequenzen) kleiner und leichter als die RLC-Filter.<br />
• Entkopplung der einzelnen Filterstufen: Die Eingangsimpedanz eines aktiven RC-Filters ist<br />
im allgemeinen hoch und die Ausgangsimpedanz sehr klein. Aus diesem Grund lassen sich leicht<br />
mehrere Filter hintereinanderschalten (kaskadieren). Dies wiederum vereinfacht den Entwurf,<br />
da ein Filter hoher Ordnung aus mehreren Filterstufen zusammengesetzt werden kann.<br />
• Verstärkung: Zusätzlich zur Filterfunktion können mit einem aktiven Filter die Signale verstärkt<br />
oder abgeschwächt werden.<br />
• Abstimmung: Es gibt geeignete Verfahren, mit denen aktive RC-Filter einfach abgestimmt<br />
werden können.<br />
Diesen Vorteilen stehen die folgenden Nachteile gegenüber:<br />
• Stromverbrauch: Die aktiven Filter benötigen eine Stromversorgung und verbrauchen daher<br />
Energie.<br />
• Frequenzbereich: Bedingt durch die endliche Bandbreite der Opamp liegt der obere Frequenzbereich<br />
der heute realisierbaren aktiven RC-Filter bei typischerweise einigen 100 kHz bis<br />
maximal einigen MHz.<br />
• Rauschen/Dynamikbereich: Der Dynamikbereich eines aktiven RC-Filters wird einerseits<br />
durch den Aussteuerungsbereich der Verstärker und andererseits durch das Rauschen der<br />
Widerstände und Verstärker eingeschränkt. Er ist deutlich kleiner als bei den RLC-Filtern.<br />
• Sensitivität: Aktive RC-Filter reagieren im allgemeinen empfindlicher (sensitiver) auf<br />
Änderungen der Bauteilwerte als RLC-Filter.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.3
67<br />
Die zunehmende Miniaturisierung der elektronischen Schaltungen liess vor einiger Zeit den Wunsch<br />
aufkommen, vollintegrierte Filter herzustellen. Weder passive RLC- noch aktive RC-Filter sind jedoch<br />
dazu geeignet, da sich Spulen und Widerstände nur sehr ungenau und mit sehr hohem Platzbedarf<br />
integrieren lassen. Schon seit Maxwell ist bekannt, dass man unter gewissen Voraussetzungen<br />
Widerstände durch Kombinationen von Schaltern und Kondensatoren nachbilden kann, - beides<br />
Elemente, welche sich hervorragend für die Integration in der heute weit verbreiteten MOS-<br />
Technologie eignen. Die Widerstände in den aktiven RC-Filtern können auf diese Weise durch<br />
geschaltete Kondensatoren ersetzt werden. Dies führt zu sogenannten<br />
Switched-Capacitor-(SC)-Filtern, die nur noch aus Schaltern, Kondensatoren und Opamps zusammengesetzt<br />
sind und sich demnach gut integrieren lassen. SC-Filter gehören zu den sogenannt analog<br />
abgetasteten Netzwerken (wertkontinuierliche, zeitdiskrete Signale) und haben die folgenden<br />
Eigenschaften:<br />
• Genauigkeit: Die UTF eines SC-Filters hängt nur von Kapazitätsverhältnissen und der Taktfrequenz<br />
ab. Da die Genauigkeit sowohl der Verhältnisse integrierter Kapazitäten, wie auch der<br />
(quarzgesteuerten) Taktfrequenz sehr hoch ist, können mit dieser Technik hochgenaue Filter<br />
realisiert werden, die nicht abgestimmt werden müssen.<br />
• Kleine Temperaturabhängigkeit: Die UTF ist praktisch temperaturunabhängig.<br />
• Intergrierbarkeit: Wie schon erwähnt, sind SC-Filter für die Vollintegration hervorragend<br />
geeignet.<br />
• Aliasing: SC-Filter sind zeitdiskrete Filter, d.h., es werden abgetastete Signale verarbeitet.<br />
Wegen dem dabei entstehenden Aliasing muss dem SC-Filter ein Antialiasing-Filter (zeitkontinuierliches<br />
Filter mit geringen Anforderungen an die Genauigkeit) vorgeschaltet werden.<br />
• Rauschen/Dynamikbereich: Das Rauschen bei einem SC-Filter wird durch das Rauschen der<br />
Opamp und der Schalter verursacht. Es ist im allgemeinen grösser als bei aktiven RC-Filtern<br />
und verringert deshalb die Dynamik. Während mit aktiven RC-Filtern eine Dynamik von 80 ...<br />
120 dB erreicht werden kann, liegt sie bei SC-Filtern im Bereich 50 ... 90 dB.<br />
• Leistungsbedarf: Durch die Integration in MOS-Technik ergibt sich ein sehr geringer Leistungsbedarf.<br />
• Frequenzbereich: Die Grenzfrequenzen von SC-Filtern liegen typischerweise im Bereich von<br />
0,1 Hz ... 100 kHz. Mit Hilfe der Gallium-Arsenid-Technik (GaAs) können SC-Filter mit<br />
Grenzfrequenzen im Bereich einiger MHz realisiert werden.<br />
• Aufwand: Für die Integration eines SC-Filters wird weniger Chipfläche benötigt als für aktive<br />
RC-Filter, da Widerstände einiges mehr an Platz benötigen als Kondensatoren und Schalter.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.3
68<br />
Neben diesen drei analogen (resp. analog abgetasteten) Filtertechniken finden heute und in Zukunft,<br />
dank den enormen technologischen Fortschritten, die digitalen Filter eine immer grössere Verbreitung.<br />
Bei den digitalen Filtern wird das zu filternde Signal periodisch zu diskreten Zeitpunkten abgetastet<br />
und die so entstehenden Abtastwerte in digitale (binäre) Zahlen gewandelt (AD-Wandlung). Die<br />
Verarbeitung der so entstehenden Zahlen erfolgt dann in einem digitalen Rechenwerk (z.B. Signalprozessor).<br />
Zur Beschreibung von zeitdiskreten Filtern (SC, Digital) wird die Z-Transformation<br />
verwendet. Die Z-Transformation ermöglicht - analog zur Laplace-Transformation bei<br />
zeitkontinuierlichen Systemen - eine Beschreibung zeitdiskreter Signale und Systeme im Frequenzbereich.<br />
Entsprechend wird ein zeitdiskretes Filter mit einer Z-UTF beschrieben, aus der analog zur<br />
UTF in s der Frequenzgang ermittelt werden kann. Es gibt nun Methoden, die die Transformation einer<br />
gegebenen UTF in s in eine entsprechende Z-UTF (bei gleichbleibendem Amplitudengang) erlauben.<br />
Somit ist es möglich, die hier beschriebenen Approximationsverfahren, die eine UTF in s liefern, auch<br />
für den Entwurf von zeitdiskreten Filtern (SC und Digital) zu verwenden. Die Vorteile der digitalen<br />
Realisierung liegen in der sehr hohen Genauigkeit und der hohen Flexibilität, während als Nachteile<br />
gegenüber den analogen Filtern der eingeschränkte Frequenzbereich, sowie der meist höhere Stromverbrauch<br />
und Aufwand zu nennen sind.<br />
Im nächsten Abschnitt soll auf die RLC- und aktive RC-Filter-Realisierung noch näher eingegangen<br />
werden.<br />
4.3.2 Entwurf passiver RLC Filter<br />
Beim Entwurf von passiven RLC-Filtern (auch Reaktanzfilter genannt), gehen wir von folgendem<br />
Grundschema aus:<br />
Bild 4.18 Grundschema für den Entwurf passiver RLC-Filter.<br />
In der Folge soll der Entwurf passiver RLC-Filter nach der Betriebsparameter-Theorie kurz skizziert<br />
werden. Bei diesem Entwurfsverfahrendenktman sich die vonderQuelle maximal verfügbare Leistung<br />
P max aufgeteilt in die übertragene Leistung P 2 und die reflektierte Leistung P r (Bild 4.19).<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.3
Bild 4.19 Schematische Darstellung des Leistungsflusses bei passiven Filtern.<br />
69<br />
Da das LC-Zweitor im Idealfall verlustlos ist (realisitische Annahme bei Spulen und Kondensatoren<br />
mit hohen Güten), gilt:<br />
P 2 = P 1<br />
P r = P max − P 2<br />
(4.41)<br />
(4.42)<br />
Mit der Eingangsimpedanz Z IN(s) (Bild 4.19) kann P r berechnet werden. Nach längerer Rechnung<br />
erhält man:<br />
P r = P max − P 2 = P max ⋅|r(s)| 2<br />
wobei r(s) = Z IN(s) −R G<br />
Z IN(s) +R G<br />
dem Reflexionsfaktor entspricht. Das Vorgehen für den Entwurf ist nun folgendermassen:<br />
(4.43)<br />
(4.44)<br />
1. Der Reflexionsfaktor r(s) kann eindeutig aus der gegebenen UTF H(s) bestimmt werden (über<br />
die sogenannte Feldtkellergleichung).<br />
2. Aus r(s) kann die Eingangsimpedanz Z IN(s) bestimmt werden (→ Gl. 4.44).<br />
3. Mit der sogenannten Kettenbruchzerlegung (= Syntheseverfahren für den Entwurf einer passiven<br />
Schaltung aus einer gegebenen Eingangsimpedanz) erhalten wir aus Z IN(s) das<br />
gewünschte LC-Zweitor.<br />
Dieser recht mühsame Weg für den Entwurf passiver RLC-Filter kann in der Praxis umgangen werden,<br />
indem man entweder auf schon berechnete und katalogisierte Filter zurückgreift (z.B. in [3], [4] oder<br />
[5]) oder Computerprogramme benützt. In beiden Fällen kann man direkt - ohne die explizite<br />
Ermittlung der UTF - aus dem Toleranzschema (A max, A min, ω D, ω S) und der Angabe der gewünschten<br />
Approximationsart (Butterworth, Tschebyscheff, Cauer, Bessel) die passive RLC-Schaltung erhalten.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.3
4.3.3 Entwurf aktiver RC Filter<br />
70<br />
Es gibt mehrere Schaltungskonzepte für den Entwurf von aktiven RC-Filtern. Die zwei wichtigsten<br />
sind:<br />
1. Kaskaden-Filter: Die Filter basieren auf entkoppelten Baublöcken 1., 2. oder (selten) 3.<br />
Ordnung, die zur Realisierung von Filtern höherer Ordnung kaskadiert werden.<br />
2. LC-Filter-Simulation: Bei dieser Entwurfsmethode wird von der LC-Filterstruktur ausgegangen,<br />
da diese die kleinstmögliche Empfindlichkeit gegenüber Bauteiltoleranzen aufweist.<br />
Durch Simulation von Spulen mit aktiven Elementen und Kapazitäten (z.B. Gyrator) ergeben<br />
sich daraus aktive RC-Filter.<br />
Wir wollen uns hier auf Kaskadenfilter beschränken.<br />
Ein Filter beliebiger Ordnung mit einer gegebenen UTF H(s) lässt sich durch die Kaskadierung von<br />
Sektionen 1. und 2. Ordnung realisieren. Dazu stellen wir H(s) als Produkt von Termen 1. und 2.<br />
Ordnung auf:<br />
(4.45)<br />
Dabei entspricht H 1(s) einem Term 1. Ordnung (vorhanden bei ungerader Ordnung des gesamten<br />
Filters) und H i(s) sind Terme 2. Ordnung. In der Folge werden je eine TP-Sektion 1. und 2. Ordnung<br />
genauer betrachtet. Am Schluss sind dann noch je eine Schaltung 2. Ordnung für die Realisierung<br />
eines HP und BP sowie einer BS angegeben.<br />
TP-Sektion 1. Ordnung:<br />
H(s) = H 1(s)⋅ ∏H<br />
i(s)<br />
Ein TP-Filter 1. Ordnung, dessen UTF nicht von<br />
der nachfolgenden Sektion abhängig ist, lässt<br />
sich z.B. mit der nebenstehenden Schaltung<br />
realisieren. Die UTF lautet:<br />
H(s) = −<br />
s +<br />
Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen<br />
TP-UTF 1. Ordnung<br />
Bild 4.20 Aktiver Tiefpass 1. Ordnung.<br />
lassen sich die zur Berechnung der Komponenten notwendigen Beziehungen bestimmen:<br />
1<br />
R2C H(s) = − K ⋅ωp s +ωp C : wählbar R1 =<br />
1<br />
K ⋅ C ⋅ωp R2 =<br />
1<br />
C ⋅ωp K<br />
i = 2<br />
1<br />
R 1 C<br />
(4.46)<br />
(4.47)<br />
(4.48)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.3
TP-Sektion 2. Ordnung:<br />
71<br />
Ein TP-Filter 2. Ordnung, dessen UTF ebenfalls nicht von der nachfolgenden Sektion abhängig ist,<br />
lässt sich z.B. mit der folgenden Schaltung realisieren:<br />
Die zugehörige UTF lautet:<br />
Bild 4.21 Aktiver Tiefpass 2. Ordnung.<br />
Dabei gilt:<br />
β = 1 +<br />
Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen TP-UTF 2. Ordnung<br />
R4 R3 und R = R1//R2 erhalten wir die folgenden Dimensionierungsgleichungen:<br />
ω p<br />
=<br />
1<br />
RC<br />
H(s) = K ⋅<br />
2σ p =<br />
H(s) =<br />
3 −β<br />
RC<br />
β⋅R 2<br />
R 1 + R 2<br />
(4.49)<br />
(4.50)<br />
(4.51)<br />
(4.52)<br />
Die 4 Gleichungen enthalten die 5 Unbekannten R, C, β, R 1 und R 2, so dass wir eine Grösse frei wählen<br />
können. Legen wir C fest, so sind die restlichen Grössen durch die nachstehenden Gleichungen<br />
gegeben:<br />
(4.53)<br />
Die Widerstände R3 und R4 können bis auf ihr Verhältnis frei gewählt werden. Es zeigt sich jedoch,<br />
dass der DC-Offset minimal wird, wenn beide Opamp-Eingänge mit demselben DC-Widerstand<br />
abgeschlossen sind. Damit wird:<br />
2 ⋅β<br />
R3 =<br />
β−1 (4.54)<br />
⋅ R R4 = 2 ⋅β⋅R<br />
2<br />
ωp s 2 + s ⋅ 2 ⋅σ p +ω p 2<br />
K =<br />
C : wählbar β = 3 − 2σ p<br />
ω p<br />
R =<br />
1<br />
C ⋅ω p<br />
R 1 = β⋅ R<br />
K<br />
⋅<br />
1<br />
R 2 C 2<br />
s 2 (3 −β)<br />
+ s ⋅ RC<br />
βR 2<br />
R 1 + R 2<br />
R =<br />
+ 1<br />
R 2 C 2<br />
R 2<br />
R 1R 2<br />
R 1 + R 2<br />
=<br />
R 1 ⋅ R<br />
R 1 − R<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.3
HP-, BP- und BS-Sektionen 2.Ordnung:<br />
72<br />
Für die HP-, BP-, und BS-Realisierungensollen in der Folge noch je eine Sektion2.Ordnung angegeben<br />
werden Best [5]:<br />
Hochpass:<br />
Die UTF dieses HP-Filters 2.Ordnung<br />
lautet:<br />
Bild 4.22 Aktiver Hochpass 2. Ordnung. H(s) = −K⋅ s<br />
(4.55)<br />
2 2<br />
+ s ⋅ 2 ⋅σp +ωp Die Dimensionierung der Schaltung in Bild 4.22 erfolgt mit den folgenden Gleichungen:<br />
Bandpass:<br />
Bild 4.23 Aktiver Bandpass 2. Ordnung.<br />
Die UTF dieses BP-Filters 2.Ordnung<br />
lautet:<br />
s ⋅ 2 ⋅σp H(s) = −K⋅ s 2 2<br />
+ s ⋅ 2 ⋅σp +ωp Die Dimensionierung der Schaltung in Bild 4.23 erfolgt mit den folgenden Gleichungen:<br />
R 1<br />
C 1 = K ⋅ C 2 R 2 =<br />
=<br />
1<br />
2Kσ pC<br />
R 2<br />
2 ⋅σ p<br />
ω p 2 (C1 + C 2 + C 3)<br />
=<br />
1<br />
σ pC<br />
R 3<br />
R 1<br />
=<br />
=<br />
s 2<br />
1<br />
ω p 2 R2C 2C 3<br />
σ p<br />
C(ω p 2 − 2Kσp 2 )<br />
(4.56)<br />
(4.57)<br />
(4.58)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.3
Bandsperre:<br />
Bild 4.24 Aktive Bandsperre 2. Ordnung.<br />
73<br />
Die UTF dieses BS-Filters 2.Ordnung<br />
lautet:<br />
Die Dimensionierung der Schaltung in Bild 4.24 erfolgt mit den folgenden Gleichungen:<br />
R ⋅ C =<br />
1<br />
ω p<br />
(4.59)<br />
(4.60)<br />
Beim Entwurf solcher Filter müssen noch weitere Punkte einbezogen werden, die hier aus Platzgründen<br />
nur noch kurz erwähnt werden können:<br />
• Dynamik (Aussteuerung der einzelnen Sektionen).<br />
• Sensitivität (Empfindlichkeit) gegenüber Bauteil-Toleranzen.<br />
• Nichtideale Effekte der Bauelemente.<br />
K = 2 − σ p<br />
ω p<br />
H(s) = K ⋅<br />
s 2 2<br />
+ωp s 2 2<br />
+ s ⋅ 2 ⋅σp +ωp K = R 1 + R 2<br />
R 1<br />
Weitere Schaltungsvarianten für die Realisierung von Filtersektionen 1. und 2.Ordnung findet man in<br />
Tietze/Schenk [2] und Best [5].<br />
HTI Biel, Signalübertragung 4.3
5 LEITUNGSTHEORIE<br />
5.1 Einführung<br />
5.1.1 Übersicht<br />
74<br />
Die im Kapitel 1.1 definierten Blöcke (Zweitore) müssen oft über länger Distanzen miteinander<br />
verbunden werden. Dadurch entsteht ein weiterer Block der eine räumliche Ausdehnung aufweist. Er<br />
besteht bei drahtgebundener Signalübertragung aus einer Leitung und bei drahtloser Signalübertragung<br />
aus dem freien Raum.<br />
Die zu übertragenden elektrischen Signale breiten sich immer als elektromagnetische Wellen aus. Je<br />
nach Frequenzkönnen sie sich nichtnur imfreien Raum odervon Leitungengeführt ausbreiten,sondern<br />
auch Materie durchdringen.<br />
Bild 5.1 Das Spektrum der elektromagnetischen Wellen.<br />
Bei einer Ausbreitung im<br />
freien Raum lautet der<br />
Zusammenhang zwischen<br />
der Wellenlänge λ und der<br />
Frequenz f:<br />
λ = c<br />
f<br />
Je nach Frequenz dienen elektromagnetische Wellen den verschiedensten Aufgaben:<br />
• 50 Hz und 60 Hz sind die Frequenzen des technischen Wechselstroms zur Energieübertragung.<br />
Aber auch mit Gleichstrom und mit Wechselströmen bis 400 Hz wird Energie übertragen.<br />
• Ton- und Sprachfrequenzen erstrecken sich über den Frequenzbereich akustischer Schwingungen<br />
von etwa 20 Hz bis 20 kHz (NF).<br />
• Frequenzen bis > 100 GHz dienen zur Signalübertragung. Dabei können die Wellen bei all diesen<br />
Frequenzen durch Leitungen geführt werden. Sie lassen sich oberhalb etwa 30 kHz aber auch als<br />
Funkwellen durch den Raum übertragen.<br />
=<br />
300<br />
f [MHz]<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.1<br />
[m]<br />
(5.1)
75<br />
• Imoptischen Bereich erfolgt dieÜbertragung entwederim freien Raum oderinLichtwellenleitern.<br />
Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen erfolgt maximal mit der "Lichtgeschwindigkeit" (c ≈<br />
300 000 km/s bei Luft oder Vakuum), was zur Folge hat, das neben den zeitlichen Signalschwankungen<br />
auch räumliche Signalschwankungen auftreten.<br />
In Bild 5.2 sind einige gebräuchliche physikalische Formen von Übertragungskanälen zusammengestellt.<br />
Bild 5.2 Übertragungskanäle für elektromagnetische Wellen (Beispiele).<br />
Im Folgenden soll zwischen verschiedenen Ausbreitungsarten unterschieden werden:<br />
• TEM-Leitungen (transversal elektromagnetisch): z.B. Zweidrahtleitungen, Koaxialleitungen,<br />
Streifenleitungen. Bei TEM-Leitungen stehen die Feldlinien des elektrischen und des magnetischen<br />
Feldes senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Bei diesen Leitungen ist eine Ausbreitung von<br />
Gleichstrom an möglich. Hin- und Rückleiter sind klar definierbar (→ 5.2).<br />
• Nicht-TEM-Leitungen: z.B. Hohlleiter, Lichtwellenleiter (→ 5.5). Eine Ausbreitung ist erst ab<br />
einer bestimmten Frequenz möglich. Hin- und Rückleiter sind bei diesen Leitungen nicht mehr<br />
definierbar.<br />
• Ausbreitung im freien Raum. Die elektromagnetischen Wellen werden hier nicht von einer<br />
Leitung geführt,sondern breiten sich mehroderweniger frei aus (Funkverbindungen, Richtstrahl).<br />
Grundlage zu den elektromagnetischen Wellen sind die Maxwellschen Gleichungen, auf die im<br />
nächsten Kapitel kurz eingegangen werden soll.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.1
5.1.2 Einführung in die Maxwellschen Gleichungen<br />
76<br />
Obwohl die Maxwellschen Gleichungen zum Verständnis der weiteren Kapitel nicht nötig sind, sollen<br />
sie hier kurz zusammengestellt werden. Einige auch nur oberflächliche Kenntnisse über Felder und<br />
Wellen können bereits einiges zum Verständnis der nachfolgenden Theorie beitragen. Die folgenden<br />
Ausführungen stützen sich auf Kap 5.1.3 in [6].<br />
Vektordarstellung von Feldgrössen<br />
Ein stromdurchflossener Leiter ist bekanntlich von einem<br />
Magnetfeld umgeben. Eine bildliche Darstellung der<br />
Feldlinien ist zwar anschaulich, aber für Berechnungszwecke<br />
nicht ausreichend. Man möchte für jeden Punkt in<br />
der Umgebung die Grösse und die Richtung der<br />
magnetischen Feldstärke angeben können. Zweckmässigerweise<br />
verwendet man dazu Vektoren, die hier durch<br />
Fettdruck gekennzeichnet werden (Beispiel: Z). Als<br />
Koordinatensystem könnten kartesische Koordinaten (x, y,<br />
z) verwendet werden. Sinnvoller ist jedoch, die Koordinaten<br />
eines Feldpunktes durch den allgemeinen Ortsvektor<br />
r darzustellen. Damit wird z.B. die magnetische Feldstärke<br />
H(r). Diese Darstellung soll gemeint sein, wenn auch<br />
künftig das Argument weggelassen wird: H.<br />
Fluss, Flussdichte und Feldstärke<br />
Durch gedachte Flächen A kann man sich aus einem<br />
Strömungsfeld einen Ausschnitt abgegrenzt denken, den<br />
wir zunächst entsprechend Bild 5.3 annehmen wollen und<br />
bei dem wir Randeffekte vernachlässigen. Nennt man den<br />
Fluss I, so wird die Flussdichte J = I/A.<br />
Bild 5.3 Ausschnitt aus einem Feld.<br />
Im allgemeinen Fall kann man die Flussdichte für jedes<br />
infinitesimale Flächenelement angeben. Die Flussdichte ist<br />
J = dI/dA. Durch Integration über die Gesamtfläche kann<br />
man wieder auf den Fluss I kommen:<br />
I = ⌠ J dA<br />
⌡<br />
A<br />
(5.2)<br />
Mit der Wahl der Formelzeichen haben wir bereits den Fall<br />
eines elektrischen Strömungsfeldes vorbereitet. Die in Bild<br />
5.3 gezeichneten Begrenzungsflächen A seien unendlich<br />
leitfähige Platten, zwischen denen sich ein Material mit<br />
endlicher Leitfähigkeit befindet. Eine elektrische Urspannung<br />
Ue wird einen Strom (Fluss)<br />
I = GU (5.3)<br />
e<br />
verursachen. Wir führen statt Ue die elektrische Feldstärke<br />
E=Ue/d ein und dividieren durch die Fläche A:<br />
I<br />
A<br />
Gd<br />
= E = κE<br />
A<br />
(5.4)<br />
Der Faktor Gd/A ist die spezifische Leitfähigkeit κ (Einheit<br />
A/Vm). Man kann verallgemeinern und erhält für das<br />
elektrische Strömungsfeld<br />
J = κE<br />
(5.5)<br />
Die Flussdichte J und die elektrische Feldstärke E sind also<br />
an jeder Stelle proportional und gleich gerichtet, vorausgesetzt,<br />
dass κ reell ist.<br />
Von der Behandlung des Kondensators in den Grundlagen<br />
her kennen wir den Begriff des Verschiebungsstroms, der<br />
vielleicht als Fortsetzung des Leitungsstroms im Dielektrikum<br />
eingeführt wurde. In Bild 5.3 sei das Material<br />
zwischen den Platten nichtleitend und habe die<br />
Dielektrizitätskonstante ε = εrε0. Während bei einem<br />
Nichtleiter κ = 0 ist, gibt es keine Stoffe mit ε = 0, da εr ≥<br />
1 ist. Auch im Vakuum (ε = ε0) ergibt sich deshalb bei einer<br />
zeitlichen Änderung der elektrischen Feldstärke E ein<br />
Verschiebungsstrom.<br />
Wir wollen den Ausdruck "Flussdichte" (statt Verschiebungsstromdichte)<br />
D benutzen und erhalten<br />
D = εE<br />
(5.6)<br />
Schliesslich können wir uns in Bild 5.3 als Flächen A die<br />
Endflächen der Polschuhe eines Hufeisenmagneten vorstellen,<br />
zwischen denen ein Material mit der Permeabilität<br />
µ = µ rµ 0 liegen soll. Wieder sind (magnetische) Flussdichte<br />
B und (magnetische) Feldstärke H verknüpft:<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.1
B = µH<br />
(5.7)<br />
und der Zusammenhang mit dem (magnetischen) Fluss ist<br />
B = dΦ<br />
dA<br />
Φ = ⌠ B dA<br />
⌡<br />
A<br />
Induktions- und Durchflutungsgesetz<br />
(5.8)<br />
(5.9)<br />
Wir betrachten die schematische Darstellung in Bild 5.4.<br />
Im Zentrum steht jeweils ein Ausschnitt aus einer "Flussröhre",<br />
in der der gesamte Fluss vereinigt ist. Im Grenzfall<br />
wird es sich um eine einzige Flusslinie handeln. Solche<br />
linienförmige Gebilde, die von den Feldlinien "umwirbelt"<br />
werden, bezeichnet man als Wirbel eines Feldes.<br />
Bild 5.4 Induktionsgesetz (a) und Durchflutungsgesetz (b), mit wirbelbehaftetem<br />
(C) und wirbelfreiem (C’) Integrationsweg.<br />
An Stelle einer der kreisförmigen Feldlinien in Bild 5.4a<br />
können wir uns einen Drahtring vorstellen, der an einer<br />
Stelle offen ist. Dort kann man bei zeitlichen Änderungen<br />
desFlusses Φeine Spannung messen.Wir können aber auch<br />
rechnerisch diese Spannung bestimmen. Dabei gehen wir<br />
in kleinen Schritten vor, bei denen sich der Ortsvektor<br />
jeweils um dr ändert, bilden jeweils das Skalarprodukt E<br />
dr und erhalten dadurch einen kleinen Spannungsbeitrag<br />
du. Das Aufsummieren dieser Beträge gibt die gesuchte<br />
Spannung. Damit können wir das Induktionsgesetz<br />
anschreiben:<br />
⌠ E dr = −<br />
⌡<br />
C<br />
dΦ<br />
dt<br />
= − d ⌠ B dA<br />
dt ⌡<br />
A<br />
(5.10)<br />
Ein Integrationsweg, der keinen Wirbel einschliesst (Beispiel<br />
C’), wird stets die Spannung 0 ergeben.<br />
In Bild 5.4b müssen wir als "Fluss" den wahren Strom I,<br />
der also die Beiträge von Leitungs- und Verschiebungsstrom<br />
berücksichtigt, einsetzen. Damit wird das Durchflutungsgesetz:<br />
⌠ H dr =<br />
⌡<br />
C<br />
⌠⎛<br />
dD ⎞<br />
⎜J<br />
+ ⎟<br />
⌡⎝ dt ⎠<br />
A<br />
dA<br />
(5.11)<br />
77<br />
Wir haben in Bild 5.4 jeweils einen Ausschnitt einer<br />
Flussröhre gezeigt und fragen uns, wie sich dieselbe fortsetzt.<br />
Dabei genügt es, eine Flusslinie stellvertretend für<br />
alle anderen zu betrachten. Bekanntlich kann man einen<br />
Magneten beliebig oft unterteilen, ohne dass es gelingt,<br />
einen magnetischen "Mono-Pol" zu separieren. Man kann<br />
deshalb im Magnetfeld eine geschlossene Hülle, nennen<br />
wirsie ebenfalls A,an beliebiger Stelleanbringen; stetswird<br />
der in die Hülle eintretende Fluss gleich dem aus der Hülle<br />
austretenden Fluss sein. Dagegen ist es beim elektrischen<br />
Feld nicht zwingend, dass die Flusslinien geschlossene<br />
Gebilde sind, da es separierbare Ladungen gibt. Bild 5.5<br />
veranschaulicht diese Gegebenheiten.<br />
Bild 5.5 Geschlossene Hülle (A) im Magnetfeld und elektrisches Quellenfeld.<br />
Sie führen auf die Beziehungen<br />
⌠ B dA = 0<br />
⌡<br />
A<br />
⌠ D dA = Q<br />
⌡<br />
A<br />
(5.12)<br />
(5.13)<br />
Mit dieser Wiederholung einiger Grundlagen haben wir<br />
bereits eine vollständige Form der Maxwellschen Gleichungen<br />
behandelt.<br />
Formen der Maxwellschen Gleichungen<br />
Fassen wir die Gleichungen 5.10 bis 5.13 zusammen und<br />
ergänzen sie mit den auch für die anderen Formen gültigen<br />
"Materialgleichungen" 5.5 bis 5.7, so haben wir damit die<br />
Integralform der Maxwellschen Gleichungen vor uns.<br />
⌠<br />
⌡ A<br />
⌠ E dr = −<br />
⌡<br />
C<br />
d ⌠ B dA<br />
dt ⌡<br />
A<br />
⌠ H dr =<br />
⌡<br />
C<br />
⌠⎛<br />
dD ⎞<br />
⎜J<br />
+ ⎟<br />
⌡⎝ dt ⎠<br />
A<br />
dA<br />
B dA = 0 ⌠ D dA = Q<br />
⌡<br />
A<br />
B = µH J = κE D = εE<br />
Bild 5.6 Integralform der Maxwellschen Gleichungen.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.1
Besonders zu beachten ist die durch Gl. 5.10 und 5.11<br />
gegebene Verknüpfung der Felder: Ein veränderliches<br />
magnetisches Feld ruft ein veränderliches elektrisches Feld<br />
wach, dessen Feldlinien wiederum die Flusslinien eines<br />
neuen magnetischen Feldes bilden usw. Es ergibt sich aus<br />
den Maxwellschen Gleichungen explizit, dass rasch veränderliche<br />
elektromagnetische Felder gar nicht ortsfest sein<br />
können. Es muss somit eine Wellenausbreitung in Gang<br />
kommen.<br />
Die Gleichungen 5.10 und 5.11 beinhalten jeweils Ausdrücke<br />
der Form<br />
⌠ X dr = Wirbelstärke<br />
⌡<br />
C<br />
Die Gleichungen 5.12 und 5.13 sind vom Typ<br />
⌠ X dA = Quellenstärke<br />
⌡<br />
A<br />
(5.14)<br />
(5.15)<br />
In beiden Fällen ist der Wert auch vom Integrationsweg<br />
abhängig. Bezieht man aber die Wirbelstärken auf eine<br />
Fläche und die Quellenstärken auf ein Volumen, so erhält<br />
man Dichten, die eine Exklusivaussage über das Feld<br />
erlauben. Lässt man weiter die Flächen bzw. Volumina<br />
gegen Null streben, so erhält man Aussagen über einzelne<br />
Feldpunkte: Differentialform.<br />
rot E = − δB<br />
δt<br />
rot H = − J + δD<br />
δt<br />
div D = ρ div B = 0<br />
B = µH J = κE D = εE<br />
Bild 5.7 Differentialform der Maxwellschen Gleichungen (ρ ist die<br />
Raumladungsdichte).<br />
Der Ansatz mit den Differentialoperatoren (rot, div) bietet<br />
vergleichbare Vorteile wie der Ansatz der vom Koordinatensystem<br />
unabhängigen Integrale mit dem allgemeinen<br />
Ortsvektor r: man kann physikalische Sachverhalte in<br />
knapper Form charakterisieren, mit den Operatoren in<br />
allgemeiner Form rechnen und bei Bedarf an Zahlenrechnungen<br />
jederzeit in ein geeignetes spezielles Koordinatensystem<br />
umsteigen.<br />
78<br />
Wie kann man nun die Bedeutung von rot und div veranschaulichen<br />
und eine eventuelle Berechnung ermöglichen?<br />
Dazu definieren wir zuvor noch im kartesischen<br />
Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren i, j und k den<br />
sogenannten "Nabla-Operator":<br />
∇ =<br />
δ<br />
δx<br />
i + δ<br />
δy<br />
j + δ<br />
δz k<br />
(5.16)<br />
Allgemein ist in einem Vektorfeld X die Wirbeldichte<br />
(Rotation)<br />
rot X = ∇ X<br />
(5.17)<br />
und die Quellendichte (Divergenz)<br />
div X = ∇ X<br />
(5.18)<br />
Wir müssen also im einen Fall das Vektorprodukt, im<br />
anderen das Skalarprodukt bilden.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.1
5.1.3 Ausblick<br />
79<br />
Im Rahmen dieses Kapitels wird die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen auf physikalischen<br />
Übertragungskanälen behandelt. Dabei ist eine relativ grosse Längenausdehnung l selbstverständlich.<br />
Andere Schaltungsteile wie Verstärker, Filter, Leiterplatten, etc., werden hingegen zunächst nicht mit<br />
der Wellenausbreitung in Verbindung gesetzt, da ihre Abmessungen gering sind.<br />
Der Übergang zu immer höheren Betriebsfrequenzen führt jedoch zu immer kleineren Wellenlängen<br />
λ. Die Auswirkungen der Wellenausbreitung müssen nun beachtet werden, sobald die Längenausdehnung<br />
l nicht mehr gegenüber der Wellenlänge λ vernachlässigt werden kann.<br />
Die Wellenausbreitung muss aus diesem Grund heute oft bereits auf Leiterplatten, ja sogar in integrierten<br />
Schaltungen berücksichtigt werden.<br />
In der Hochfrequenztechnik ist die Wellenlänge oft so klein, dass Leitungen als Bauelemente eingesetzt<br />
werden können. Inhomogenitäten in Wellenleitern führen zu interessanten und komplexen Aufgabenstellungen:<br />
Übergänge zwischen verschiedenen Wellenleitertypen (z.B. symmetrisch/koaxial),<br />
Steckverbindungen. Antennen bilden Übergänge zwischen geführter Ausbreitung (Leitungen) und<br />
Freiraumausbreitung. [7]<br />
Kopplungen zwischen verschiedenen Wellenausbreitungen müssen im Gebiet der Elektromagnetischen<br />
Verträglichkeit EMV untersucht werden (Abschirmungen, etc.).<br />
5.2 Anschauliche Beschreibung der Ausbreitungsvorgänge auf TEM-Leitungen<br />
5.2.1 Definition der zu untersuchenden Leitung<br />
Anhand der auch in den Labors meistverbreiteten Leitungstypen - Koaxialleitung und Paralleldrahtleitung<br />
- sollen die Ausbreitungsvorgänge möglichst anschaulich dargelegt werden.<br />
Koaxialleitungen haben gegenüber "Erde" einen unsymmetrischen Aufbau. Ihr Vorteil liegt in der<br />
Abschirmung des Innenleiters. Am häufigsten sind die 50-Ω-Koaxialkabel, wobei sich 50 Ω nicht<br />
etwa auf einen ohmschen Widerstand beziehen, sondern den Wellenwiderstand Z w - eine wichtige<br />
Kenngrösse einer Leitung - bezeichnen.<br />
Die Paralleldrahtleitung, die auch Zweidrahtleitung, symmetrische Doppelleitung, oder nur symmetrische<br />
Leitung genannt wird, ist oft als verdrillte Leitung ausgeführt. Das Verdrillen vermindert einige<br />
Kopplungseffekte, hat aber auf die folgenden Überlegungen keinen Einfluss.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.2
80<br />
Beim Betrieb dieser Leitungen liegt eine Spannung zwischen den beiden Leitern, und es fliesst ein<br />
Strom. Die Feldlinien der dabei entstehenden elektrischen und magnetischen Felder sind in Bild 5.8<br />
dargestellt. Alle Feldlinien stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Beide Leitungsarten sind daher<br />
vom TEM-Typ (transversal elektromagnetisch).<br />
Bild 5.8 Querschnitte und Feldlinien (elektrisches Feld E und magnetisches Feld H) der wichtigsten Leitungstypen.<br />
Die Querschnitte der betrachteten Leitungen sollen über die ganze Leitungslänge l konstant bleiben,<br />
d.h. es handelt sich um homogene Leitungen.<br />
Die Eigenschaften einer Leitung sind nicht an einem Punkt konzentriert, sondern über die ganze<br />
Leitungslänge verteilt. Man spricht dabei von den Leitungsbelägen, die auf eine Längeneinheit (m<br />
oder km) bezogen sind:<br />
• Der Induktivitätsbelag L’ [H/km] stellt die Längsinduktivitäten der Leiter dar.<br />
• Der Kapazitätsbelag C’ [F/km] wird durch die Kapazität zwischen den beiden Leitern gebildet.<br />
• Der Widerstandsbelag R’ [Ω/km] stellt die ohmschen Verluste der Leiter dar.<br />
• Der Ableitungsbelag oder Leitwertbelag G’ [S/km] wird durch die Verluste im Dielektrikum<br />
zwischen den Leitern gebildet.<br />
Das Ersatzschema einer Leitung wird aus unendlich vielen, differentiell kleinen Leitungselementen<br />
gemäss Bild 5.9 gebildet. Die gezeigte asymmetrische Form kann für alle Leitungstypen verwendet<br />
werden.<br />
Bild 5.9 Ersatzschema mit differentiell kleinen Leitungsstücken dx.<br />
Die Elemente dieser Ersatzschaltung berechnen sich aus den Leitungsbelägen:<br />
dL = L’ ⋅ dx dC = C’ ⋅ dx dR = R’ ⋅ dx dG = G’ ⋅ dx<br />
(5.19)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.2
81<br />
Durch die vier Leitungsbeläge ist eine homogene Leitung vollständig definiert. Es ist jedoch zu<br />
beachten, dass die einzelnen Beläge mehr oder weniger frequenzabhängig sind.<br />
Für den einfachsten Fall der verlustlosen Leitung (R’ =0;G’ = 0) können die Induktivitäts- und<br />
Kapazitätsbeläge einfach angegeben werden. Die Leitungen können in Luft verlaufen oder in ein<br />
Medium mit ε r > 1, selten auch µ r > 1 eingebettet sein.<br />
Paralleldrahtleitung mit a » r:<br />
L’ = µ rµ 0<br />
π<br />
C’ = ε rε 0π<br />
ln a<br />
r<br />
Koaxialleitung bei ausreichend hohen Frequenzen (MHz):<br />
L’ = µ rµ 0<br />
2π<br />
ln a<br />
r<br />
ln D<br />
d<br />
C’ = 2 πε r ε 0<br />
1<br />
ln D<br />
d<br />
(5.20)<br />
(5.21)<br />
(5.22)<br />
(5.23)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.2
5.2.2 Der Ausbreitungsvorgang auf einer verlustlosen Leitung<br />
82<br />
Der Ausbreitungsvorgang soll nun anhand der gemäss Bild 5.10 beschalteten verlustlosen Leitung<br />
diskutiert werden.<br />
Bild 5.10 Einschalten einer Gleichspannung auf eine verlustlose Leitung.<br />
Beim Einschalten zurZeit t = 0 sind alle Kondensatoren dC auf derLeitung noch entladen, die Spannung<br />
am Abschlusswiderstand ist demnach u 2 = 0. Da der Energietransport höchstens mit Lichtgeschwindigkeit<br />
stattfinden kann, hat der Abschluss R 2 im Zeitraum t < c/l noch keinen Einfluss. Man könnte<br />
demnach R 2 abschalten oder kurzschliessen, ohne dass sich am Ablauf etwas ändern würde.<br />
Die Laufzeit kann man sich leicht anhand von Bild 5.10 vorstellen: Es dauert eine gewisse Zeit bis all<br />
die Energiespeicher (dL und dC) auf der Leitung aufgeladen sind. Wäre der Kettenleiter unendlich<br />
lang, so käme dieser Vorgang nie zu einem Ende, und der Generator müsste immer eine gleichbleibende<br />
Leistung abgeben.<br />
Berechnet man den Eingangswiderstand eines unendlich langen Kettenleiters gemäss Bild 5.10, so<br />
erhält man den Wert √⎺ ⎺⎺⎺ L’/C’ . Der Generator sieht also einen ohmschen Widerstand und gibt eine<br />
Wirkleistung ab, obschon die verlustlose Leitung ausschliesslich aus Blindwiderständen besteht. Im<br />
Fall der Anpassung ( R1 = √⎺ ⎺⎺⎺ L’/C’ ) wird die abgegebene Leistung maximal.<br />
Nach einer gewissen Laufzeit kommt nun die sich ausbreitende Welle am Abschlusswiderstand an.<br />
Es kommt nun entscheidend darauf an, welcher Abschluss R2 vorliegt. Bei Anpassung<br />
( R2 = √⎺ ⎺⎺⎺ L’/C’ ) kann die gesamte Welle im Abschluss aufgenommen werden. Es gibt Spezialfälle<br />
von R2, die keine Wirkleistung aufnehmen können: Kurzschluss und Leerlauf. In anderen, von<br />
Anpassung abweichenden Fällen, kann R2 nur einen Teil der Leistung verbrauchen. Da die verlustlose<br />
Leitung selbst keine Wirkleistung verbrauchen kann, gibt es in allen Fällen der Fehlanpassung am<br />
Leitungsende nur die Möglichkeit, mit einer "rücklaufenden Welle" Energie zum Generator zurückzuliefern.<br />
Frühestens nach der zweifachen Laufzeit kommt die rücklaufende Welle wieder am Generator an, und<br />
die Auswirkungen einer Fehlanpassung am Leitungsende werden am Leitungsanfang spürbar.<br />
Diese Gleichspannungs-Schaltvorgänge werden in Kap. 5.2.5 noch genauer behandelt.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.2
5.2.3 Differentialgleichungen der Leitung<br />
83<br />
Im letzten Kapitel wurde deutlich gezeigt, dass die Vorgänge auf Leitungen Funktionen des Ortes und<br />
der Zeit sind. Ausgehend vom differentiell kleinen Leitungsstück aus Bild 5.9 können wir nun die<br />
Spannungs- und Stromänderungen über dx durch die folgenden partiellen Differentialgleichungen<br />
angeben:<br />
− δu<br />
δx<br />
− δi<br />
δx<br />
= R’ i + L’ δi<br />
δt<br />
= G’ u + C’ δu<br />
δt<br />
(5.24)<br />
(5.25)<br />
Um nun beispielsweise den Strom zu eliminieren, leiten wir die eine Gleichung partiell nach t, die<br />
andere partiell nach x ab. Durch Einsetzen erhält man anschliessend :<br />
δ<br />
(5.26)<br />
Diese partielle Differentialgleichung bezeichnet man als Telegrafengleichung für die Spannung u.<br />
2 u<br />
δx 2 = L’C’ δ2u 2<br />
δt<br />
+<br />
δu<br />
(R’C’ + L’G’)<br />
δt<br />
+ R’G’u<br />
Wird anstelle des Stroms die Spannung eliminiert, so resultiert eine wie Gl. 5.26 aufgebaute Gleichung<br />
für den Strom; man muss dort nur u durch i ersetzen. Dies zeigt einmal mehr die Verkettung zwischen<br />
elektrischem und magnetischem Feld bei der Wellenausbreitung.<br />
5.2.4 Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenwiderstand<br />
Um die in Kap. 5.2.2 erklärte Wellenausbreitung nachzuweisen, ist es möglich, die Leitung wieder<br />
verlustlos anzunehmen, also R’ = 0 und G’ = 0 zu setzen. Damit vereinfacht sich die Telegrafengleichung<br />
5.26 zu<br />
δ<br />
(5.27)<br />
Die Lösung dieser Differentialgleichung wird besonders einfach, da wir bereits wissen, dass sich auf<br />
der Leitung im allgemeinen Fall eine "hinlaufende" und eine "rücklaufende" Welle mit gleicher<br />
Geschwindigkeit vp ausbreiten. Wir setzen daher<br />
2 u<br />
δx 2 = L’C’ δ2u δt 2<br />
für die hinlaufende Spannungswelle uh(x, t) = uh(x − vpt) (5.28)<br />
und für die rücklaufende Spannungswelle ur(x, t) = ur(x + vpt) (5.29)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.2
84<br />
Die Spannung an irgend einer Stelle x auf der Leitung muss sich nun aus der hinlaufenden und der<br />
rücklaufenden Spannungswelle zusammensetzen:<br />
(5.30)<br />
Diesen Lösungsansatz erfüllt Gl. 5.27 für<br />
1<br />
v<br />
folgende Ausbreitungsgeschwindigkeit: p =<br />
√⎺ ⎺⎺⎺ L’C’<br />
(5.31)<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit:<br />
Für die homogene zylindrische Anordnung ergibt sich bei ε r = µ r = 1, d.h. in Luft oder Vakuum, als<br />
grösstmögliche Ausbreitungsgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit c:<br />
(5.32)<br />
In anderen Medien verläuft<br />
c<br />
v<br />
die Ausbreitung langsamer: p =<br />
ε (5.33)<br />
rµ r<br />
Wellenwiderstand:<br />
u(x, t) = u h(x − v pt) + u r(x + v pt)<br />
Bereits früher wurde erwähnt, dass bei elektromagnetischen Wellen das magnetische und das elektrische<br />
Feld miteinander verknüpft sind. Man kann sich nun bei Leitungen vom TEM-Typ mit der<br />
Betrachtung der Spannung begnügen, weil nach Maxwell die beiden Feldgrössen an irgendeiner Stelle<br />
in einem festen Verhältnis zueinander stehen, welches durch den Wellenwiderstand Z w (auch Z L oder<br />
Z 0) gegeben ist.<br />
Bei verlustlosen Leitungen gilt für die hinlaufende Welle, bzw. für die rücklaufende Welle:<br />
u h<br />
i h<br />
= Z w<br />
(5.34)<br />
Das negative Vorzeichen beim Strom der rücklaufenden Welle kommt von der umgekehrten Richtung<br />
des Energietransports.<br />
Im allgemeinen Fall wird der Wellenwiderstand einer Leitung komplex und frequenzabhängig. Für<br />
das in Bild 5.9 gezeigte Ersatzschema einer Leitung gilt:<br />
(5.35)<br />
Ohne Verluste, bzw. bei einer genügend hohen Betriebsfrequenz wird der Wellenwiderstand reell und<br />
praktisch frequenzunabhängig. Dies vereinfacht die Leitungstheorie bei höheren Frequenzen:<br />
v p max<br />
u r<br />
−i r<br />
=<br />
R’ + jωL’<br />
Z w = √⎺ ⎺⎺ G’ + ⎺jωC’<br />
Z w = Z w = √⎺ L’<br />
C’<br />
√⎺ ⎺⎺<br />
1<br />
√⎺ ⎺⎺ ε0µ 0<br />
= Z w<br />
= c<br />
(5.36)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.2
5.2.5 Gleichspannungs-Schaltvorgänge, Reflexionsfaktor<br />
85<br />
Die bereits in Kap. 5.2.2 kurz diskutierten Einschaltvorgänge sollen nun für eine verlustlose Leitung<br />
noch genauer untersucht werden. Bei der Anordnung nach Bild 5.11 bestehen auf beiden Seiten der<br />
verlustlosen Leitung Stossstellen.<br />
Bild 5.11 Einschaltvorgang an einer verlustlosen Leitung mit beidseitigen Stossstellen.<br />
Im Moment des Einschaltens t 0 sieht der Generator am Leitungseingang den Wellenwiderstand Z w.<br />
Die Spannung am Eingang ergibt sich aus der Spannungsteilung R 1 und Z w, und es breitet sich eine<br />
erste hinlaufende Welle u h1 über die Leitung aus.<br />
Nach der Laufzeit l/v p erreicht die Welle das<br />
Leitungsende und wird dort infolge der Fehlanpassung<br />
zu einem Teil reflektiert. Diese rücklaufende<br />
Welle u r1 erreicht nach einer weiteren<br />
Laufzeit l/v p die Stossstelle am Leitungsanfang,<br />
wo ebenfalls ein Teil reflektiert wird und sich als<br />
zweite hinlaufende Welle wieder zum Leitungsende<br />
hin ausbreitet. Dieser Vorgang wiederholt<br />
sich unendlich oft, wobei allerdings die<br />
Amplitudender Wellen immer kleiner werdenund<br />
sich die Spannung auf der Leitung rasch ihrem<br />
Endwert nähert. Gleiches passiert auch mit den<br />
Stromwellen. Grafisch kann das Hin- und Her-<br />
Bild 5.12 Grafischer Wellenfahrplan bei einer laufen der Wellen mit einem "Wellenfahrplan"<br />
Leitung mit beidseitigen Stossstellen. gemäss Bild 5.12 dargestellt werden.<br />
Da die Leitung keine Verluste hat, sind die folgenden Endwerte von Spannung und Strom zu erwarten:<br />
u 1(t =∞) = u 2(t =∞) = U 0<br />
i 1(t =∞) = i 2(t =∞) =<br />
U 0<br />
R 1 + R 2<br />
R 2<br />
R 1 + R 2<br />
(5.37)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.2
86<br />
Damit man nun den Spannungs- oder den Stromverlauf quantisieren kann, muss man den Anteil der<br />
Welle kennen, der von einer Stossstelle reflektiert wird.<br />
Reflexionsfaktor:<br />
Der Reflexionsfaktor r ist das komplexe Verhältnis zwischen der von der Stossstelle reflektierten Welle<br />
zu der in die Stossstelle hineinlaufenden Welle. Die Spannungs- und Stromreflexionsfaktoren können<br />
an beiden Stossstellen berechnet werden.<br />
Sie betragen für das Leitungsende (Index 2):<br />
r u2 =<br />
und für den Leitungseingang (Index 1):<br />
R2 R2 − Zw + Zw r u1 = R 1 − Z w<br />
R 1 + Z w<br />
r i2 = Z w − R 2<br />
Z w + R 2<br />
r i1 = Z w − R 1<br />
Z w + R 1<br />
(5.38)<br />
(5.39)<br />
Mit diesen Kenntnissen ist es nun möglich, Einschaltvorgänge an verlustlosen Leitungen bei ohmschen<br />
Abschlüssen grafisch aufzuzeichnen.<br />
Der beim untersuchten Einschaltvorgang erzeugte Gleichspannunssprung enthält gemäss Fourier<br />
Anteile aller Frequenzen. Diese breiten sich auf einer verlustlosen Leitung alle gleich schnell aus, so<br />
dass die Form der einzelnen Teilwellen erhalten bleibt.<br />
Ist die untersuchte Leitung kurz, so sind die Einschaltvorgänge wegen der grossen Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
kaum feststellbar. Da jedoch z.B. moderne Digitalschaltungen ebenfalls sehr kleine<br />
Schaltzeiten aufweisen, können unkontrollierte Einschaltvorgänge - verursacht durch Fehlabschlüsse<br />
- bald einmal zu Fehlfunktionen führen.<br />
Es ist jedenfalls empfehlenswert, sich stets vor Augen zu halten, dass Einschaltvorgänge bei Leitungen<br />
immer gemäss Bild 5.12 ablaufen!<br />
Die Ein- und Ausgänge digitaler Schaltungen zeigen meistens ein nichtlineares Verhalten. Mit dem<br />
sogenannten Bergeron-Verfahren können auch bei nichtlinearen Abschlüssen die Spannungsverläufe<br />
grafisch ermittelt werden.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.2
Beispiel zum Bergeron-Verfahren:<br />
87<br />
Anhand eines Beispiels soll das Bergeron-Verfahren rezeptartig und ohne Ableitung erklärt werden.<br />
Details dazu sind in [8] zu finden. Zur Vereinfachung werden lineare Abschlüsse angenommen, wobei<br />
sich das Vorgehen bei nichtlinearen Abschlüssen nicht ändert.<br />
1. In ein Strom-/Spannungsdiagramm sind Generatorkennlinie und Lastkennlinie einzuzeichnen.<br />
2. Im "Startpunkt" (t = 0) sind Spannung und Strom bei der Last gleich Null.<br />
3. Vom "Startpunkt" aus ist nun eine Linie mit der Steigung +Z w zu ziehen. Der Schnittpunkt mit der<br />
Generatorkennlinie A(0) ergibt die Spannung am Leitungsanfang bei t =0.<br />
4. Vom Schnittpunkt A(0) muss nun eine Gerade mit der negativen Steigung -Zw gezeichnet werden.<br />
Der Schnittpunkt mit der Lastkennlinie B(τ) ergibt nun die Spannung an der Last nach der einfachen<br />
Laufzeit .<br />
τ= l<br />
vp 5. Von B(τ) führt wiederum eine Gerade mit der Steigung +Z w zum Schnittpunkt A(2τ), der Spannung<br />
am Leitungsanfang nach der zweifachen Laufzeit.<br />
6. Dieses Vorgehen ist solange zu wiederholen, bis der Schnittpunkt zwischen Generator- und<br />
Lastkennlinie erreicht wird. Dies entspricht der Spannung bei abgeschlossenem Einschaltvorgang<br />
(t →∞).<br />
Bild 5.13 Beispiel zum Bergeron-Verfahren mit linearen Abschlüssen (R 2 > R 1 > Z w).<br />
In Bild 5.13 ist besonders zu beachten:<br />
• Die erste Stufe von U 1 (bei t = 0) ist unabhängig vom Leitungsabschluss.<br />
• Die Spannungswerte von U 1 und U 2 ändern jeweils alle 2τ.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.2
5.3 Leitungsgleichungen bei sinusförmiger Anregung<br />
5.3.1 Beliebige TEM-Leitungen<br />
88<br />
Die Telegrafengleichung (5.26) gilt bei TEM-Leitungen für beliebige Spannungen u und Ströme i.<br />
Diese Differentialgleichung lässt sich nun für den sehr wichtigen Fall der sinusförmigen Erregung im<br />
eingeschwungenen (stationären) Zustand in eine komplexe Gleichung umformen.<br />
Wir betrachten wiederum ein differentiell kurzes Leitungstück an der Stelle x:<br />
Bild 5.14 Spannungen und Ströme am differentiellen Leitungsstück.<br />
Im eingeschwungenen Zustand gilt für jeden beliebigen Punkt x auf der Leitung:<br />
oder in der vereinfachten komplexen Schreibweise U(x) und I(x).<br />
(5.40)<br />
Gemäss Bild 5.14 gilt für Spannungs- und Stromänderungen über dem Leitungsstück dx der Zusammenhang:<br />
−dU(x)<br />
dx<br />
−dI(x)<br />
dx<br />
u(x, t) = √⎺2 ⋅U(x)⋅e jωt<br />
i(x, t) = √⎺ 2 ⋅I(x)⋅e jωt<br />
= R’ ⋅ I(x) + jωL’ ⋅ I(x)<br />
= G’ ⋅ U(x) + jωC’ ⋅ U(x)<br />
(5.41)<br />
Durch Ableiten der einen Beziehung in 5.41 und Einsetzen der anderen Beziehung aus 5.41 erhält man<br />
die Telegrafengleichungen in komplexer Form:<br />
d 2 U(x)<br />
dx 2 = U(x)⋅(R’ + jωL’)(G’ + jωC’)<br />
d 2 I(x)<br />
dx 2 = I(x)⋅(R’ + jωL’)(G’ + jωC’)<br />
(5.42)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.3
89<br />
Zur Lösung dieser Differentialgleichungen wählen wir einen Ansatz mit hinlaufenden Wellen U h, bzw.<br />
I h, und rücklaufenden Wellen U r, bzw. I r.<br />
Es gilt allgemein:<br />
Für die Spannungswellen lautet nun die Lösung:<br />
(5.43)<br />
(5.44)<br />
Dabei sind U h1 und U r1 Konstanten, die später aus den Randbedingungen definiert werden. Die Grösse<br />
γ lässt sich durch zweimaliges Ableiten von Gl. 5.44 und anschliessendem Vergleich mit Gl. 5.42<br />
einfach bestimmen:<br />
Eine Lösung für den Strom I(x) erhält man, wenn die erste der Gleichungen 5.41 nach I(x) aufgelöst<br />
und die Ableitung der Gl. 5.44 eingesetzt wird:<br />
Mit<br />
und der Abkürzung<br />
erhält man für den Strom:<br />
U(x) = U h(x) + U r(x)<br />
I(x) = I h(x) + I r(x)<br />
U(x) = U h1 ⋅ e −γx + U r1 ⋅ e +γx<br />
γ = √⎺ ⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺<br />
(R’ + jωL’)(G’ + jωC’) (Ausbreitungskoeffizient)<br />
I(x) = −<br />
1 dU(x)<br />
⋅<br />
R’ + jωL’ dx<br />
γ<br />
R’ + jωL’ = G’ + jωC’<br />
√⎺ ⎺⎺⎺ R’ + jωL’<br />
R’ + jωL’<br />
Z w = √⎺⎺⎺ G’ + ⎺jωC’<br />
I(x) =<br />
1<br />
Z w<br />
=<br />
⋅(U h1 ⋅ e −γx − U r1 ⋅ e +γx )<br />
γ<br />
R’ + jωL’ ⋅(U h1 ⋅ e −γx − U r1 ⋅ e +γx )<br />
(Wellenimpedanz)<br />
(5.45)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.3
Leitungskenngrössen:<br />
90<br />
Die beiden Grössen Ausbreitungskoeffizient γ und Wellenwiderstand bzw. Wellenimpedanz Z w<br />
beschreiben vollständig die Eigenschaften einer Leitung und werden daher als Leitungskenngrössen<br />
bezeichnet. Sie sind in der Regel komplex und frequenzabhängig.<br />
Der komplexe Ausbreitungskoeffizient ist die Wurzel aus dem Produkt von Längsimpedanz (R’ + jωL’)<br />
und Queradmittanz (G’ + j ωC’):<br />
γ wird immer in Komponentenform geschrieben:<br />
Dabei bedeuten: α = Dämpfungskoeffizient oder Dämpfungsbelag [Np/km]<br />
β = Phasenkoeffizient oder Phasenbelag [rad/km]<br />
(5.46)<br />
(5.47)<br />
Der Dämpfungskoeffizient α beschreibt die Dämpfung einer Welle auf der Leitung, der Phasenkoeffizient<br />
β die Phasendrehung einer Welle auf der Leitung.<br />
Der Wellenwiderstand bzw. die Wellenimpedanz Z w ist die Wurzel aus dem Quotienten von Längsimpedanz<br />
und Queradmittanz:<br />
Aus den Spannungskomponenten von Gl. 5.44 und den Stromkomponenten von Gl. 5.45<br />
findet man für die Wellenimpedanz Z w:<br />
γ = √⎺ ⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺⎺<br />
(R’ + jωL’)(G’ + jωC’)<br />
γ = α + jβ<br />
U h(x) = U h1 ⋅ e −γx<br />
I h(x) =<br />
1<br />
Z w<br />
Z w = U h(x)<br />
I h(x)<br />
R’ + jωL’<br />
Z w = √⎺ ⎺⎺ G’ + ⎺jωC’<br />
⋅ U h1 ⋅ e −γx<br />
U r(x) = U r1 ⋅ e +γx<br />
I r(x) = − 1<br />
⋅ U r1 ⋅ e<br />
Z w<br />
+γx<br />
und Z w = − U r(x)<br />
I r(x)<br />
(5.48)<br />
(5.49)<br />
Z w beschreibt damit - wie bereits in Kap. 5.2.4 erwähnt - das Verhältnis von Spannung und Strom einer<br />
Welle auf der Leitung. Der Begriff "Wellenimpedanz" mit der Dimension einer Impedanz wird aus<br />
obiger Beziehung einleuchtend. Da Z w bei hohen Frequenzen oder verlustarmen Leitungen praktisch<br />
reell wird, spricht man oft nur vom "Wellenwiderstand" Z w.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.3
Spannung und Strom am Leitungsanfang:<br />
91<br />
Im ersten Abschnitt wurden Ausdrücke für Spannung und Strom an einem beliebigen Ort x (= Abstand<br />
vom Leitungsanfang) abgeleitet:<br />
Beide Grössen lassen sich demzufolge aus den Leitungskenngrössen Z w und γ, sowie den noch<br />
undefinierten Konstanten U h1 und U r1 bestimmen.<br />
Betrachtet man nun den Leitungsanfang (Index 1) mit x = 0, dann gilt für die Spannung U 1:<br />
und analog dazu für den Strom I 1:<br />
(5.50)<br />
(5.51)<br />
Aus Gl5.50 wird nun auchdie Bedeutung derbisher undefinierten Konstantenklar: Uh1ist dieSpannung<br />
der hinlaufenden Welle am Leitungsanfang, Ur1 die Spannung der rücklaufenden Welle am<br />
Leitungsanfang.<br />
Zur Bestimmung der beiden Teilspannungen bildet man die Summe und die Differenz der Gleichungen<br />
5.50 und 5.51:<br />
2 ⋅ U h1 = U 1 + I 1 ⋅ Z w<br />
oder umgeformt:<br />
U(x) = U h1 ⋅ e −γx + U r1 ⋅ e +γx<br />
I(x) =<br />
1<br />
Z w<br />
⋅(U h1 ⋅ e −γx − U r1 ⋅ e +γx )<br />
U 1 = U h1 ⋅ e −γ0 + U r1 ⋅ e +γ0 = U h1 + U r1<br />
I 1<br />
=<br />
1<br />
Z w<br />
⋅(U h1 − U r1) = I h1 + I r1<br />
2 ⋅ U r1 = U 1 − I 1 ⋅ Z w<br />
U h1 = 1<br />
2 ⋅(U 1 + I 1 ⋅ Z w)<br />
U r1 = 1<br />
2 ⋅(U 1 − I 1 ⋅ Z w)<br />
(5.52)<br />
Die beiden Teilspannungen Uh1 und Ur1 können somit aus Eingangsspannung U1, Eingangsstrom I1 und Zw berechnet werden.<br />
DurchEinsetzen von I 1 = U 1/Z IN und Ausklammern von U1 erhältman die praktischen Beziehungen:<br />
U h1 = U 1<br />
2 ⋅ ⎛ ⎜ ⎝ 1 + Z w<br />
Z IN<br />
U r1 = U 1<br />
2 ⋅ ⎛ ⎜ ⎝ 1 − Z w<br />
Z IN<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(5.53)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.3
Spannung und Strom am Leitungsende:<br />
92<br />
Setztman die Ortsvariable x gleich der Leitungslänge l, so erhält man aus Gl 5.44 und5.45 die Spannung<br />
U 2 und den Strom I 2 am Leitungsende (Index 2):<br />
U 2 = U h1 ⋅ e −γl + U r1 ⋅ e +γl<br />
(5.54)<br />
Durch Addition und Subtraktion dieser beiden Beziehungen, lässt sich analog zum Leitungsanfang<br />
finden:<br />
Leitungsgleichungen mit Hyperbelfunktionen:<br />
I 2<br />
=<br />
1<br />
Z w<br />
⋅(U h1 ⋅ e −γl − U r1 ⋅ e +γl )<br />
U h1 = 1<br />
2 ⋅ e +γl ⋅(U2 + I 2 ⋅ Z w) = U 2<br />
2 ⋅ e +γl ⋅ ⎛ ⎜1 +<br />
⎝ Z w<br />
U r1 = 1<br />
2 ⋅ e −γl ⋅(U2 − I 2 ⋅ Z w) = U 2<br />
2 ⋅ e −γl ⋅ ⎛ ⎜1 −<br />
⎝ Z w<br />
Ersetzt man nun die Werte für U h1 und U r1 in Gl. 5.44 durch die Grössen am Leitungsanfang, also<br />
U h1 = 1<br />
2 ⋅(U 1 + I 1 ⋅ Z w) und U r1 = 1<br />
2 ⋅(U 1 − I 1 ⋅ Z w)<br />
eingesetzt in U(x) = U h1 ⋅ e −γx + U r1 ⋅ e +γx , so erhält man für die Spannung U(x):<br />
U(x) = U 1 ⋅ 1<br />
2 ⋅(e +γx + e −γx ) − Z w ⋅ I 1 ⋅ 1<br />
2 ⋅(e +γx − e −γx )<br />
(5.55)<br />
Unter der Verwendung der Identitäten cosh(x) = und können<br />
nun Spannung und Strom (aus Gl. 5.45) am Ort x auf der Leitung auch mit Hyperbelfunktionen<br />
ausgedrückt werden:<br />
1<br />
2 ⋅(e x + e −x ) sinh(x) = 1<br />
2 ⋅(e x − e −x )<br />
U(x) = U 1 ⋅ cosh(γx) − Z w ⋅ I 1 ⋅ sinh(γx)<br />
I(x) = − U 1<br />
⋅ sinh(γx) + I 1 ⋅ cosh(γx)<br />
Z w<br />
(5.56)<br />
Ersetzt man x durch (l - x), so lassen sich Spannung und Strom am Ort x auch durch die Grössen am<br />
Leitungsende angeben:<br />
U(x) = U 2 ⋅ cosh[γ(l − x)] + Z w ⋅ I 2 ⋅ sinh[γ(l − x)]<br />
(5.57)<br />
I(x) = U 2<br />
⋅ sinh[γ(l − x)] + I 2 ⋅ cosh[γ(l − x)]<br />
Z w<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.3<br />
Z 2<br />
Z 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
5.3.2 Die Leitung als Zweitor<br />
93<br />
In vielen Fällen ist es nicht von Bedeutung, Spannung und Strom an einem beliebigen Ort auf der<br />
Leitung zu kennen. Vielmehr interessieren nur die Grössen am Leitungsanfang und am Leitungsende,<br />
- die Leitung wird als Zweitor betrachtet. Damit kann die Ortsvariable x gleich der Leitungslänge l<br />
gesetzt werden.<br />
Aus dem Ausbreitungskoeffizienten γ ergibt sich für x = l das Wellenübertragungsmass Γ:<br />
Dabei bedeuten:<br />
Bei der Betrachtung der Leitung als<br />
Zweitor muss beachtet werden, dass<br />
der in Bild 5.14 definierte Ausgangsstrom<br />
I 2 der bei Zweitoren üblichen<br />
Definition entgegen fliesst. Es muss<br />
daher "I 2 =-I 2" gesetzt werden.<br />
Γ = γ⋅l = a + jb<br />
a = α⋅l = Dämpfungsmass [Np]<br />
b = β⋅l = Phasenmass [rad]<br />
Bild 5.15 Die Leitung als Zweitor.<br />
(5.58)<br />
Aus Gl. 5.57 ergeben sich somit für x = 0 (Leitungsanfang) die Leitungsgleichungen in Kettenform<br />
zu:<br />
U 1 = U 2 ⋅ cosh Γ + (−I 2)⋅Z w ⋅ sinh Γ<br />
I 1 = U 2<br />
⋅ sinh Γ + (−I<br />
Z<br />
2)⋅cosh Γ<br />
w<br />
Die Wellenparameterform der A-Matrix lautet demzufolge:<br />
(A) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
cosh Γ Z w ⋅ sinh Γ⎞<br />
⎟<br />
1<br />
⋅ sinh Γ cosh Γ ⎟<br />
⎠<br />
Z w<br />
(5.59)<br />
(5.60)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.3
5.3.3 Nachweis der Wellenausbreitung<br />
94<br />
In diesem Abschnitt soll die Gleichung für die Spannungswellen (5.44) interpretiert und damit die<br />
Ausbreitung auf der Leitung diskutiert werden.<br />
Aus<br />
folgt für den komplexen Momentanwert:<br />
(5.61)<br />
Wird nun der Ausbreitungskoeffizient in der Form γ=α+jβ eingesetzt, so ergibt sich nach der<br />
Beziehung u = Re[ u ] für den tatsächlichen Momentanwert (= mit dem Oszilloskop messbarer<br />
Momentanwert):<br />
(5.62)<br />
Die komplexen Spannungen U h1 und U r1 können durch die Amplituden und die Phasenwinkel ersetzt<br />
werden:<br />
√⎺2 ⋅U h1 = Û h1 ⋅ e jψ h1<br />
U(x) = U h1 ⋅ e −γx + U r1 ⋅ e +γx<br />
u(x, t) = √⎺ 2 ⋅(U h1 ⋅ e −γx ⋅ e jωt + U r1 ⋅ e γx ⋅ e jωt )<br />
Für die Bildung des Realteils gilt allgemein:<br />
Re[e ±αx ] = e ±αx<br />
u(x, t) = √⎺ 2 ⋅Re[U h1 ⋅ e −αx ⋅ e −jβx ⋅ e jωt + U r1 ⋅ e αx ⋅ e jβx ⋅ e jωt ]<br />
und √⎺ 2 ⋅U r1 = Û r1 ⋅ e jψ r1<br />
und Re[e ±jϕ ] = Re[cos ϕ ± j ⋅ sin ϕ] = cos ϕ<br />
Damit ergibt sich endgültig aus Gl. 5.62 für den Momentanwert der Spannung auf der Leitung u(x,t):<br />
u(x, t) = Û h1 ⋅ e −αx ⋅ cos(ωt +ψ h1 −βx) + Û r1 ⋅ e αx ⋅ cos(ωt +ψ r1 +βx)<br />
(5.63)<br />
Die beiden Spannungskomponenten u h(x) (= hinlaufendeWelle) und u r(x) (= reflektierte Welle) können<br />
nun in Funktion des Ortes x - zu einem bestimmten Zeitpunkt t = konst. - aufgezeichnet werden.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.3
Bild 5.16 Darstellung der hinlaufenden und der reflektierten Welle auf der Leitung zu einer bestimmten Zeit t.<br />
95<br />
Wird die gleiche Figur für einen etwas späteren Zeitpunkt t 1 =t+∆t erneut gezeichnet, so erscheinen<br />
die beiden Wellen leicht in Richtung Ausgang (u h), bzw. in Richtung Eingang (u r) verschoben, womit<br />
die Wellenausbreitung nachgewiesen ist.<br />
Weiter ist deutlich ersichtlich, dass der Dämpfungsbelag α ein Abnehmen der Amplituden in Ausbreitungsrichtung<br />
verursacht.<br />
Zudem kann aus Bild 5.16 auch die Wellenlänge auf der Leitung herausgelesen werden. Über eine<br />
Wellenlänge verursacht der Phasenbelag β die Phasendrehung β⋅λ = 2π.<br />
Damit ergibt sich für die<br />
Wellenlänge λ:<br />
λ = 2π<br />
β<br />
Die Wellenlänge kann ebenfalls aus der Ausbreitungsgeschwindigkeit berechnet werden:<br />
λ = v p<br />
f<br />
(5.64)<br />
Diese Beziehung, eingesetzt in Gl. 5.64, führt zu einem praktischen Ausdruck für die Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
v p:<br />
v p = ω<br />
β<br />
= v p ⋅ 2π<br />
ω<br />
(5.65)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.3
5.3.4 Reflexionsfaktor und Stehwellen<br />
96<br />
Analog zu Kap. 5.2.5 lässt sich auch für den eingeschwungenen Zustand der Reflexionsfaktor als<br />
Verhältnis von rücklaufender zu hinlaufender Welle definieren. Da Spannung und Strom jeder Welle<br />
über den Wellenwiderstand Z w miteinander verknüpft sind, genügt es, die Spannungen zu betrachten.<br />
Es ist üblich, den Index u wegzulassen.<br />
r u(x) = r(x) = (5.66)<br />
Für die Verhältnisse am Leitungsende x=l, ergibt sich aus Gl. 5.54 und 5.55 somit der Reflexionsfaktor<br />
U r(x)<br />
U h(x)<br />
=<br />
jδ<br />
|r |⋅e<br />
r 2 = (5.67)<br />
Dabei bedeuten U2h und U2r die hin- und rücklaufenden Spannungswellen am Leitungsende (Index 2)<br />
und die Lastimpedanz am Leitungsende.<br />
U 2r<br />
U 2h<br />
= Z 2<br />
Z 2<br />
− Z w<br />
+ Z w<br />
Z 2 = U 2/I 2<br />
Wie schon in früheren Kapiteln beschrieben, setzt sich die Spannung an jedem Ort der Leitung aus<br />
der Spannung der hinlaufenden und der rücklaufenden Welle zusammen.<br />
Aus Gl. 5.63:<br />
u(x, t) = u h(x, t) +u r(x, t) = Û h1 ⋅ e −αx ⋅ cos(ωt +ψ h1 −βx) + Û r1 ⋅ e αx ⋅ cos(ωt +ψ r1 +βx)<br />
ist ersichtlich, dass sich die Argumente der beiden Spannungskomponenten entgegengesetzt gleich<br />
verhalten (+ βx, bzw. - βx). Die Phasenverschiebung zwischen den beiden Komponenten ist demzufolge<br />
ortsabhängig!<br />
Es gibt nun Orte auf der Leitung, bei denen die beiden Spannungen gerade gleichphasig sind. Die<br />
Resultierende wird dadurch maximal. Analog dazu führen gegenphasige Spannungskomponenten zu<br />
einem Spannungsminimum.<br />
U max(x) = |U h(x)| + |U r(x)| U min(x) = |U h(x)| − |U r(x)|<br />
(5.68)<br />
Bild 5.17 Amplitudenverlauf (Stehwelle)<br />
bei Leerlauf am Leitungsende.<br />
Der Ortsunterschied zwischen Maxima und Minima beträgt genau λ/4, zwei gleichartige Extremstellen<br />
liegen λ/2 auseinander.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.3
97<br />
Das Verhältnis zwischen U max und U min ist durch die Fehlanpassung am Leitungsende und der Leitungsdämpfung<br />
bestimmt. Es wird als Stehwellenverhältnis VSWR (Voltage Standing Wave Ratio)<br />
bezeichnet und als Mass für die Anpassung einer Last an eine Leitung verwendet:<br />
VSWR (x) = U max(x)<br />
U min(x)<br />
(5.69)<br />
Ohne Reflexion wird das VSWR = 1, bei 100% Reflexion ergibt sich ein VSWR = ∞.<br />
Verlustlose Leitungen (z.B. die Messleitung) zeigen ein ortsunabhängiges Stehwellenverhältnis, da ja<br />
die Amplituden der beiden Spannungskomponenten ebenfalls ortsunabhängig sind.<br />
Neben dem Stehwellenverhältnis und dem Reflexionsfaktor ist auch noch die Rückflussdämpfung<br />
(return loss) A r als Mass für den Fehlabschluss, bzw. für die Reflexionen auf einer Leitung<br />
gebräuchlich:<br />
A r = 20 ⋅ lg 1<br />
| r |<br />
(5.70)<br />
In Bild 5.18 sind die verschiedenen Masse für Fehlabschluss, bzw. Reflexion einander gegenübergestellt:<br />
A r VSWR |r|<br />
∞ dB 1 0<br />
40 dB 1,02 0,01<br />
30 dB 1.07 0,03<br />
20 dB 1,22 0,10<br />
10 dB 1.92 0,32<br />
6 dB 3,00 0,50<br />
3 dB 5,83 0,71<br />
1 dB 17,4 0,89<br />
0dB ∞ 1,00<br />
= 1 +|r(x)|<br />
1 −|r(x)|<br />
Bild 5.18 Gegenüberstellung der Masse für Fehlabschluss und Reflexion, Rückflussdämpfung A r, Stehwellenverhältnis<br />
VSWR und Reflexionsfaktor |r| (Betrag).<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.3<br />
[dB]
5.3.5 Eingangsimpedanz<br />
98<br />
Die Eingangsimpedanz Z IN = kann durch die Gleichungen 5.57 für x=0 ausgedrückt werden:<br />
U1 Mit Z 2 = und ergibt sich daraus eine praktische Formel für die Eingangsimpedanz<br />
U2 tanh(γl) = sinh(γl)<br />
I 2<br />
einer Leitung:<br />
I 1<br />
Z IN = U 1<br />
I 1<br />
= U 2 ⋅ cosh(γl) + Z w ⋅ I 2 ⋅ sinh(γl)<br />
U2 ⋅ sinh(γl) + I 2 ⋅ cosh(γl)<br />
Z IN = Z w ⋅<br />
Aus dieser Beziehung können nun einige Spezialfälle diskutiert werden:<br />
Z 2 + Z w ⋅ tanh(γl)<br />
Z 2 ⋅ tanh(γl) + Z w<br />
• Für Z2 =Zw wird die Eingangsimpedanz gleich dem Wellenwiderstand:<br />
= Z w<br />
Z IN| Z2 = Z w<br />
cosh(γl)<br />
Dies entspricht gleichzeitig einem reflexionsfreien Abschluss (= Anpassung) der Leitung.<br />
• Bei einer unendlich langen Leitung (l →∞) wird tanh(γ ⋅ ∞) = 1.<br />
Damit wird die Eingangsimpedanz:<br />
Z IN| l →∞ = Z w<br />
Z w<br />
(5.71)<br />
Die Eingangsimpedanz einer unendlich langen Leitung ist gleich der Wellenimpedanz, unabhängig<br />
von der Last Z 2.<br />
• Eine Leitung endlicher Länge mit grosser Dämpfung (αl » 1) ergibt für<br />
tanh(γl) =tanh(αl + jβl) ≈1.<br />
Damit wird:<br />
Z IN|<br />
αl 1 = Z w<br />
Die Eingangsimpedanz einer Leitung mit grosser Dämpfung entspricht ebenfalls der Wellenimpedanz.<br />
Grund: Die reflektierte Welle tritt wegen der starken Dämpfung am Eingang nicht mehr<br />
in Erscheinung.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.3
5.3.6 Transformationseigenschaften und Smith-Diagramm<br />
99<br />
Die Transformationseigenschaften einer Leitung können mit Gl. 5.71 untersucht werden, indem die<br />
Gesamtlänge l durch den Abstand vom Leitungsende (l -x)=z ersetzt wird. Die Impedanz auf der<br />
Leitung am Ort z lautet somit:<br />
Z(z) = Z w ⋅ (5.72)<br />
Eine besonders anschauliche Darstellung der Transformationseigenschaften erhält man, wenn anstelle<br />
der Impedanzen die Reflexionsfaktoren untersucht werden. Nach den Beziehungen<br />
Z 2 + Z w ⋅ tanh(γz)<br />
Z 2 ⋅ tanh(γz) + Z w<br />
r z = (5.73)<br />
können Reflexionsfaktoren jederzeit in die entsprechenden Impedanzen umgerechnet werden.<br />
Z(z) −Z w<br />
Z(z) +Z w<br />
und r 2 = Z 2<br />
Z 2<br />
− Z w<br />
+ Z w<br />
Bild 5.19 Die Transformationseigenschaften einer<br />
Leitung werden sinnvollerweise in Funktion<br />
des Abstandes vom Leitungsende z<br />
ausgedrückt.<br />
DieImpedanzauf derLeitung Z(z) kannnunmit r 2statt Z 2ausgedrückt werden. Nach einigemUmstellen<br />
erhält man:<br />
Z(z) = Z w ⋅ 1 + r 2 ⋅ e −2γz<br />
1 − r 2 ⋅ e −2γz<br />
(5.74)<br />
Wird nun Z(z) ebenfalls durch den Reflexionsfaktor r z ersetzt, so ergibt sich die einfache Beziehung:<br />
r z = r 2 ⋅ e −2γz = r 2 ⋅ e −2αz ⋅ e −j2βz<br />
(5.75)<br />
Mit dem Reflexionsfaktor in Polarform r =|r |⋅e lassen sich die Veränderungen von Betrag und<br />
Winkel des Reflexionsfaktors in Funktion des Abstandes vom Leitungsende z getrennt formulieren:<br />
jδ<br />
| r z | = |r 2 |⋅e −2αz<br />
δ z = δ 2 − 2βz = δ 2 − 4π⋅ z<br />
λ<br />
(5.76)<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.3
Diese Beziehungen werden nun sinnvollerweise<br />
in einem Polardiagramm<br />
diskutiert:<br />
- Veränderungen des Ortes x bewirken<br />
eine Drehung des Reflexionsfaktors<br />
im Polardiagramm.<br />
- Die Leitungsdämpfung αz verursacht<br />
eine Radiusänderung im<br />
Polardiagramm.<br />
- Ist eine Leitung verlustfrei (α = 0),<br />
so bleibt der Radius (= |r|) im<br />
Polardiagramm konstant.<br />
100<br />
Bild 5.20 Transformationseigenschaften im Reflexionsfaktor-<br />
Diagramm.<br />
Um den Übergang von Reflexionsfaktor zu Impedanz und umgekehrt zu vereinfachen, hat P.H. Smith<br />
die Impedanzebene auf das Polardiagramm des Reflexionsfaktors abgebildet und damit das Smith-<br />
Diagramm (Bild 5.21) erfunden. Es erlaubt ein direktes Arbeiten mit Impedanzen auf Leitungen mit<br />
reellem Wellenwiderstand Z w, was bei dämpfungsarmen Leitungen oder bei hohen Frequenzen der<br />
Fall ist.<br />
- Im Smith-Diagramm ist die<br />
gesamte komplexe Halbebene der<br />
Impedanz oder der Admittanz mit<br />
positivem Realteil dargestellt.<br />
- Das Smith-Diagramm ist auf den<br />
Wellenwiderstand normiert (Z w =<br />
Zentrum).<br />
- Am äusseren Rand des Diagramms<br />
sind Skalen für den Winkel des<br />
Reflexionsfaktors und die Ortsdifferenz<br />
in "Wellenlängen" angebracht.<br />
Eine Drehung um 360 o<br />
entspricht λ/2.<br />
- Konzentrische Kreise bedeuten<br />
einen konstanten Betrag des Refle- Bild 5.21 Das Smith-Diagramm entspricht der Abbildung der<br />
xionsfaktors. Impedanz- oder Admittanzebene auf die Reflexionsfak-<br />
torebene.<br />
Mit dem Smith-Diagramm können viele Leitungsprobleme elegant und vorallem anschaulich gelöst<br />
werden. Die Darstellung der Impedanz bzw. des Reflexionsfaktors hat sich in der Messtechnik und<br />
bei Computersimulationen - vorallem bei hohen Frequenzen - durchgesetzt.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.3
5.4 Eigenschaften konkreter Leitungen<br />
5.4.1 Zweidrahtleitungen<br />
101<br />
Im Telefon-Orts- und -Bezirksnetz ist die Zweidrahtleitung heute noch der häufigste Leitungstyp. Es<br />
lassen sich grob die folgenden Arten unterscheiden:<br />
Freileitungen gelten als verlustarme Leitungen, weil nämlich G’ vernachlässigbar und R’ sehr klein<br />
ist. Der Wellenwiderstand ist nur wenig frequenzabhängig. Er beträgt wegen dem geringen Kapazitätsbelag<br />
ca. 500 ... 700 Ω. Da Freileitungen der Witterung ausgesetzt sind, schwanken ihre<br />
Dämpfungseigenschaften beträchtlich.<br />
Verdrillte Zweidrahtleitungen mit Papier- oder Kunststoffisolation werden oft in grosser Zahl zu einem<br />
Fernsprechkabel "verseilt". Ihre Wellenimpedanz ist bei NF stark frequenzabhängig. Bei 800 Hz liegt<br />
der Betrag in der Grössenordnung von 500 ... 1000 Ω. Der Dämpfungsbelag α hängt vom Leiterdurchmesser<br />
ab. Er beträgt bei 800 Hz ca. 1 dB/km, bzw. ca. 120 mNp/km (für 0,6 mm Leiterdurchmesser).<br />
Pupinisierte Zweidrahtleitungen haben in regelmässigen Abständen (meist 1,7 km) Spulen eingebaut,<br />
mit dem Ziel, den Induktivitätsbelag L’ zu vergrössern. Der Amerikaner M. Pupin konnte anfangs<br />
dieses Jahrhunderts zeigen, dass durch einen erhöhten Induktivitätsbelag die Dämpfung bei NF<br />
wesentlich reduziert wird, d.h. die Reichweite steigt entsprechend an. Allerdings hat die Pupinisierung<br />
eine starke Tiefpasswirkung zur Folge: oberhalb 4 kHz sind diese Leitungen für eine Übertragung<br />
nicht mehr zu gebrauchen.<br />
Bild 5.22 Frequenzabhängiger Dämpfungsverlauf<br />
verschiedener Leitungstypen in mNp/km.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.4
5.4.2 Koaxialkabel<br />
102<br />
Im Frequenzbereich 100 kHz ... ca. 3 GHz werden in der Nachrichtenübertragung oft Koaxialkabel<br />
eingesetzt, weil dieser Kabeltyp bei kleinen Abmessungen geringe Dämpfungswerte aufweist. Zudem<br />
bringt die koaxiale Anordnung eine Abschirmung gegen äussere Störeinflüsse.<br />
In der Fernmeldetechnik ist man an einem möglichst kleinen Kapazitätsbelag und wenig Verlusten<br />
interessiert. Das ideale Dielektrikum wäre somit Luft. Aus diesem Grunde werden oft nur scheibenförmige<br />
Distanzstücke, bzw. eine Kunststoffwendel zum Festhalten des Innenleiters, oder geschäumte<br />
Kunststoffe als Dielektrikum eingesetzt.<br />
Bild 5.23 Koaxialkabel in der Nachrichtentechnik:<br />
a) "CCITT-Tube 2,6/9,5" [mm], b) Senderkoaxialkabel, z.B. 155 mm Aussendurchmesser.<br />
Die Dämpfung von Koaxialkabeln steigt näherungsweise proportional zu √⎺ f an. Haupteinfluss hat<br />
dabei der Skineffekt und der Aussendurchmesser.<br />
Bild 5.24 Einfluss der Frequenz und des<br />
Aussendurchmessers eines Koaxialkabels<br />
mit Z w =60Ω auf den<br />
Dämpfungsbelag.<br />
Diehäufig im Labor eingesetzten 50Ω-Kabel vom Typ RG-58C/U haben als Dielektrikum Polyäthylen.<br />
Typische Eigenschaften dieses Kabels sind bei 100 MHz:<br />
L’= 252 nH/m C’ = 101 pF/m v p =198’600 km/s<br />
α = 16 dB/100m β = 3,16 rad/m<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.4
5.4.3 Hohlleiter<br />
103<br />
Die Verluste in Koaxialleitungen steigen mit zunehmenden Frequenzen so stark an, dass auch kurze<br />
Distanzen kaum mehr wirtschaftlich überbrückt werden können. Bei nicht allzu grossen Strecken, z.B.<br />
bei Antennenzuleitungen, ist der Einsatz von Hohlleitern zweckmässig.<br />
Hohlleiter bestehen aus mit Luft gefüllten, gestreckten metallischen Hohlkörpern mit rundem, rechteckigem<br />
oder elliptischem Querschnitt. Ein Hohlleiter bewirkt die geführte Ausbreitung elektromagnetischer<br />
Wellen in Luft durch Reflexion an seinen Innenwänden.<br />
Bild 5.25 Hohlleiter: Grundformen und Prinzip der Wellenausbreitung.<br />
Die Wellenausbreitung im Hohlleiter ist abhängig von den mechanischen Abmessungen. Im Gegensatz<br />
zu den bisher betrachteten Leitungen handelt es sich beim Hohlleiter um eine Nicht-TEM-Leitung.<br />
Eine Ausbreitung ist erst oberhalb einer kritischen Frequenz fc möglich (HP-Charakter):<br />
Rechteckhohlleiter: Rundhohlleiter:<br />
f c<br />
=<br />
c<br />
2 ⋅ a<br />
(5.77)<br />
Hohlleiter werden in der Praxis aus mechanischen Gründen erst oberhalb 1 GHz eingesetzt. Sie bieten<br />
eine verlustarme Übertragung im ganzen Mikrowellenbereich (z.B. ca. 0,2 dB/m bei 10 GHz).<br />
5.4.4 Streifenleiter<br />
f c = 0, 383 ⋅ c<br />
r<br />
Streifenleitungen werden vorallem bei Mikrowellenschaltungen eingesetzt. Bei schnellen Digitalschaltungen<br />
werden auch kritische Leitungen auf Leiterplatten als Streifenleiter für einen bestimmten<br />
Wellenwiderstand dimensioniert.<br />
Bild 5.26 Querschnitte der Microstrip-Leitung (a)<br />
und der Triplate-Leitung (b).<br />
Die Berechnung der Eigenschaften von Streifenleitungen ist kompliziert, da es sich in den meisten<br />
Fällen nicht um reine TEM-Leitungen handelt. In der Literatur (z.B. [9]) sind jedoch empirische<br />
Formeln und Diagramme zur Dimensionierung von Streifenleitungen zu finden.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.4
5.4.5 Lichtwellenleiter<br />
104<br />
Lichtwellenleiter (LWL) haben in der Nachrichtentechnik eine ausserordentliche Bedeutung erlangt,<br />
da sie im Vergleich zu Cu-Leitungen leichter, billiger, breitbandiger und dämpfungsärmer sind.<br />
Allerdings benötigen sie an beiden Enden optoelektrische Wandler, die einen oft beträchtlichen<br />
Zusatzaufwand darstellen.<br />
LWL können aus Quarz oder speziellem Quarzglas, für geringere Anforderungen auch aus normalem<br />
Glas oder aus geeignetem Kunststoff bestehen. Bei einer solchen "Lichtleitfaser" (Aussendurchmesser<br />
z.B. 125 µm) erreicht man durch verschiedenartige Dotierung mit Fremdatomen, dass im "Kern" der<br />
Faser eine etwas grössere Brechzahl n als im umgebenden "Mantel" besteht.<br />
Das verwendete Licht liegt vorzugsweise im Infrarotbereich (800 ... 1600 nm Wellenlänge). Schon<br />
minimale Verunreinigungen in der Faser ergeben grosse Dämpfungserhöhungen bei bestimmten<br />
Wellenlängen. Zusammen mit den realisierbaren optoelektronischen Bauelementen ergeben sich drei<br />
optische "Fenster" (I, II und III in Bild 5.27), die für Nachrichtenübertragungssysteme genutzt werden.<br />
Bild 5.27 Dämpfungsverlauf einer Quarzfaser mit den drei "Fenstern" und verschiedene Bauformen von LWL:<br />
a) Stufenprofilfaser, b) Einmodenfaser, c) Gradientenfaser.<br />
Je nach innerem Aufbau unterscheidet man bei LWL verschiedene Bauformen:<br />
• Bei den Mehrmodenfasern können sich die Lichtwellen in verschiedenen Wellentypen (Moden)<br />
ausbreiten.<br />
Die Stufenprofilfaser ergibt unterschiedlich lange Übertragungswege für die einzelnen Moden, was<br />
zu einer starken Dispersion und damit zu einer reduzierten Bandbreite führt.<br />
Bei der Gradientenfaser weist der Kern eine sich kontinuierlich ändernde Brechzahl auf. Wellen<br />
im äusseren Bereich des Kerns erfahren dort wegen der kleineren Brechzahl eine grössere Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
so dass sich für alle Wellen etwa die gleiche Laufzeit ergibt. Die Dispersion<br />
bleibt somit klein.<br />
• Die Einmodenfasern erlauben nur die Ausbreitung eines einzigen Wellentyps. Ihr Einsatz ist<br />
allerdings sehr anspruchsvoll, da sie einen sehr kleinen Kerndurchmesser aufweisen (ca. 5 µm).<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.4
105<br />
Bild 5.28 zeigt eine Gegenüberstellung des Dämpfungsverlaufs verschiedener Cu- und LWL-Kabel.<br />
Bild 5.28 Dämpfungsverlauf als Funktion der Modulationsfrequenz für verschiedene Kabeltypen.<br />
HTI Biel, Signalübertragung 5.4
106<br />
Literatur<br />
[1] O. Greuel: Mathematische Ergänzungen und Aufgaben für Elektrotechniker; Carl Hanser Verlag,<br />
München, 1976.<br />
[2] U. Tietze, Ch. Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik; Springer-Verlag Berlin, 1990, 9. Auflage.<br />
[3] A.I. Zwerev: Handbook of Filter Synthesis; John Wiley & Sons, Nwe York, 1967.<br />
[4] R. Saal: Handbuch zum Filterentwurf; AEG-Telefunken, 1979.<br />
[5] R. Best: Handbuch der analogen und digitalen Filterungstechnik; AT-Verlag, Aarau, 1982.<br />
[6] E. Herter/W. Lörcher: Nachrichtentechnik, Carl Hanser Verlag, München, 1987.<br />
[7] H. Schumny: Signalübertragung; Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1987.<br />
[8] G.-H. Schildt: Grundlagen der Impulstechnik, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart, 1987.<br />
[9] E.C. Jordan: Reference Data for Engineers: Radio, Electronics, Computer and Communications;<br />
Howard W. Sams & Co., Indianapolis, 1985.<br />
HTI Biel, Signalübertragung
Index<br />
a-Parameter, 39<br />
abgetastete Signale, 6<br />
absolute Pegel, 5<br />
Admittanz, 31<br />
Admittanz-Parameter<br />
siehe y-Parameter<br />
Aktive RC-Filter, 70<br />
Amplitudendichtefunktion, 12<br />
Amplitudengang, 14, 49<br />
Amplitudenspektrum, 8<br />
Amplitudenverzerrungen, 14<br />
Analogsignale, 6<br />
Anpassung<br />
siehe Leistungsanpassung<br />
Approximationen, 52<br />
- allg. Ansatz, 53<br />
- Bessel, 59<br />
- Cauer, 58<br />
- Gauss, 59<br />
- im Zeitbereich, 59<br />
- Tiefpass, 52<br />
- Tschebyscheff, 57<br />
äquivalente Rauschtemperatur, 29<br />
äquivalenter Rauschwiderstand, 25<br />
Arithmetischer Mittelwert, 21, 22<br />
Atmosphärisches Rauschen, 26<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit, 84<br />
Ausbreitungskoeffizient, 89, 90<br />
Aussteuerungskennlinie, 16<br />
Autokorrelationsfunktion, 23<br />
Bergeron-Verfahren, 86<br />
Bessel-Approximation, 59<br />
Betriebseigenschaften, 46<br />
Betriebsparameter<br />
siehe Wellenparameter<br />
Betriebsverhalten, 45<br />
Bode-Diagramm, 49<br />
Brechzahl, 104<br />
Butterworth-Approximation, 53<br />
Cauer-Approximation, 58<br />
charakteristische Funktion, 53<br />
Dämpfung, 1<br />
Dämpfungskoeffizient, -belag, 90<br />
Dämpfungsmass, 93<br />
dB-Skalen, 5<br />
dBm, 5<br />
dBV, 5<br />
Dezibel, 2<br />
Digitalsignale, 6<br />
Dispersion, 104<br />
Durchlassbereich, 51<br />
Effektivwert, 21, 22<br />
Einmodenfaser, 104<br />
Eintore, 31<br />
- aktive, 32<br />
- passive, 31<br />
Elektromagnetische Wellen, 74<br />
Elliptische Filter<br />
siehe Cauer-Approx.<br />
107<br />
EMV, 79<br />
Ersatz-Spannungsquelle, 32<br />
Ersatz-Stromquelle, 32<br />
Erwartungswert, 21, 22<br />
farbiges Rauschen, 25<br />
Fehlerwahrscheinlichkeit, 19<br />
Filter, 47<br />
- aktive RC-Filter, 66, 70<br />
- Amplitudengang, 49<br />
- Approximationen, 52<br />
- Bauarten, 65<br />
- beliebige Filterarten, 62<br />
- Bessel, 59<br />
- Bode-Diagramm, 49<br />
- BP 2. Ordnung (aktiv), 72<br />
- BS 2. Ordnung (aktiv), 73<br />
- Butterworth, 53<br />
- Cauer, 58<br />
- charakeristische Funktion, 53<br />
- digitale Filter, 68<br />
- Durchlassbereich, 51<br />
- Dynamik, 66, 73<br />
- Einschwingverhalten, 59<br />
- Entkopplung, 66<br />
- Entwurf, 51<br />
- Frequenzgang, 49<br />
- Frequenztransformation, 62<br />
- Gruppenlaufzeit, 50<br />
- HP 2. Ordnung (aktiv), 72<br />
- Kaskaden-Filter, 70<br />
- LC-Filter-Simulation, 70<br />
- mit linearer Phase, 59<br />
- normierte Frequenz, 52<br />
- Ordnung, 48<br />
- P-/N-Diagramm, 49<br />
- passive RLC-Filter, 66, 68<br />
- Phasengang, 49<br />
- Reaktanzfilter, 68<br />
- Realisierung, 65<br />
- SC-Filter, 67<br />
- Schrittantwort, 60<br />
- Sensitivität, 66, 73<br />
- Sperrbereich, 51<br />
- Steilheit, 55, 57<br />
- Stempel/Matrize-Schema, 51<br />
- Tiefpass-Approximation, 52<br />
- Toleranzschema, 51<br />
- TP-BP-Transformation, 63<br />
- TP-BS-Transformation, 64<br />
- TP-HP-Transformation, 62<br />
- TP 1. Ordnung (aktiv), 70<br />
- TP 2. Ordnung (aktiv), 71<br />
- Tschebyscheff, 57<br />
- Übertragungsfunktion, 47<br />
- Vergleich, 60<br />
- Welligkeit, 57<br />
Fourier-Integral, 11<br />
Fourier-Reihe, 9<br />
Freileitungen, 101<br />
Freiraumausbreitung, 75<br />
Frequenzgang, 14, 49<br />
Frequenzinhalt<br />
siehe Spektrum<br />
Frequenznormierung, 52<br />
Funkelrauschen, 25<br />
Funkwellen, 74<br />
Gain<br />
siehe Leistungsverstärkung<br />
Gesamtrauschzahl, 30<br />
Gewinn<br />
siehe Leistungsverstärkung<br />
Gradientenfaser, 104<br />
Grundschwingung, 9<br />
Gruppenlaufzeit, 15, 50<br />
Gyrator, 70<br />
h-Parameter, 38<br />
Harmonische, 9, 17<br />
Helmholtz, 32<br />
Hilfssignal, 6<br />
Hochfrequenztechnik, 79<br />
Hohlleiter, 103<br />
- kritische Frequenz, 103<br />
- Rechteckhohlleiter, 103<br />
- Rundhohlleiter, 103<br />
Hybrid-Parameter<br />
siehe h-Parameter<br />
Impedanz, 31<br />
Impedanz-Parameter<br />
siehe z-Parameter<br />
Informationsminderung, 13<br />
Intermodulation, 18<br />
Kaskadenschaltung<br />
siehe Kettenschaltung<br />
Ketten-Parameter<br />
siehe a-Parameter<br />
Kettenschaltung, 44<br />
Klirrfaktor, 17<br />
- Messung des, 18<br />
- n-ter Ordnung, 18<br />
Koaxialkabel, 102<br />
- Dämpfungsverlauf, 102<br />
- RG-58C/U, 102<br />
komplexe Frequenz, 48<br />
konjugiert komplex, 34<br />
Kosmisches Rauschen, 26<br />
Kreisfrequenz, 8<br />
kritische Frequenz, 103<br />
Kurzschlussstrom, 32<br />
Laplace-Transformierte, 48<br />
LC-Filter-Simulation, 70<br />
Leerlaufspannung, 32<br />
Leistungsanpassung, 33<br />
- bei komplexen Impedanzen, 34<br />
- bei Leitungen, 35<br />
- in der Energietechnik, 33<br />
- in der Nachrichtentechnik, 33<br />
- konjugiert komplexe, 34<br />
Leistungsdämpfung, 2<br />
Leistungsdichte, 23<br />
Leistungsdichtespektrum, 23<br />
Leistungspegel, 4<br />
Leistungsverstärkung, 2<br />
Leitungen<br />
- als Zweitore, 93<br />
- asymmetrische, 79<br />
- Ausbreitungsgeschwindigkeit, 84, 95<br />
- Dämpfungsbelag, 95<br />
- Eingangsimpedanz, 98<br />
- Ersatzschema, 80<br />
- Freileitungen, 101<br />
- homogene, 80<br />
- Kettenparameter, 93<br />
- koaxiale, 102<br />
- Laufzeit, 82<br />
- Nachweis der Wellenausbreitung, 94<br />
- Phasenbelag, 95<br />
HTA Biel, Signalübertragung Index
- pupinisierte, 101<br />
- Reflexionsfaktor, 86, 96<br />
- rücklaufende Welle, 82<br />
- Schaltvorgänge, 85<br />
- Smith-Diagramm, 100<br />
- Stehwelle, 96<br />
- Stehwellenverhältnis, 97<br />
- Stossstellen, 85<br />
- symmetrische, 79<br />
- TEM-Typ, 80<br />
- Transformationseigenschaften, 99<br />
- U und I am Leitungsanfang, 91<br />
- U und I am Leitungsende, 92<br />
- verdrillte, 101<br />
- verlustlos, 82<br />
- Wellenfahrplan, 85<br />
- Wellenlänge, 95<br />
- Wellenwiderstand, 84, 98<br />
- Zweidrahtleitungen, 101<br />
Leitungsbeläge, 80<br />
- der Koaxialleitung, 81<br />
- der Paralleldrahtleitung, 81<br />
Leitungsgleichungen<br />
- eingeschwungene TEM-Leitung, 88<br />
- in Kettenform, 93<br />
- mit Hyperbelfunktionen, 92<br />
- sinusförmige Ansteuerung, 88<br />
Leitungskenngrössen, 90<br />
Lichtgeschwindigkeit, 84<br />
Lichtleitfaser, 104<br />
Lichtwellenleiter, 104<br />
- Bauformen, 104<br />
- Dämpfungsverlauf, 105<br />
lineare Systeme, 14<br />
lineare Verzerrungen, 14<br />
Linienspektrum, 8<br />
Loss<br />
siehe Leistungsdämpfung<br />
Man-Made-Rauschen, 26<br />
max. abgebbare Leistung, 33<br />
Maxwellsche Gleichungen, 76<br />
Mehrmodenfaser, 104<br />
Microstrip-Leitung, 103<br />
Monomodefaser<br />
siehe Einmodenfaser<br />
Multimodefaser<br />
siehe Mehrmodenfaser<br />
n-Tore, 31<br />
- aktive, 31<br />
- lineare, 31<br />
- nichtlineare, 31<br />
- passive, 31<br />
Nachrichten, 6<br />
Nachrichtensignal, 6<br />
negative Widerstände, 32<br />
Neper, 2<br />
Nicht-TEM-Leitung, 103<br />
Nicht-TEM-Leitungen, 75<br />
nichtlineare Kennlinie, 17<br />
Nichtlineare Verzerrungen, 16<br />
Noise<br />
siehe Rauschen<br />
Noise Figure<br />
siehe Rauschzahl<br />
108<br />
normierte Frequenz, 52<br />
normierte Frequenzen, 52<br />
Nullstellen, 48<br />
Nutzsignal, 6, 13<br />
Oberschwingung, 9<br />
optische Fenster, 104<br />
Ordnung der UTF, 48<br />
Parallel-Serieschaltung, 43<br />
Parallelschaltung, 43<br />
Passive RLC-Filter, 68<br />
Pegel, 4<br />
- absolute, 5<br />
- relative, 4<br />
Phasengang, 14, 49<br />
Phasenkoeffizient, -belag, 90<br />
Phasenlaufzeit, 15<br />
Phasenmass, 93<br />
Phasenspektrum, 8<br />
Phasenverzerrungen, 15<br />
Pol-/Nullstellendarstellung, 48<br />
Pole, 48<br />
Polynome, 48<br />
Pupinisierung, 101<br />
Quadratischer Mittelwert, 21, 22<br />
quantisiert, 6<br />
Rauschabstand, 28<br />
Rauschbandbreite, 26<br />
Rauschen, 19<br />
- 1/f-Rauschen, 25<br />
- äquivalente Rauschtemperatur, 29<br />
- atmosphärisches Rauschen, 26<br />
- farbiges Rauschen, 25<br />
- Funkelrauschen, 25<br />
- gaussverteiltes, 24<br />
- kosmisches Rauschen, 26<br />
- Man-Made-Rauschen, 26<br />
- maximale Leistung, 25<br />
- mehrstufiger Systeme, 30<br />
- Stromrauschen, 25<br />
- Stromverteilungsrauschen, 25<br />
- Thermisches, 24<br />
- weisses, 24<br />
- Widerstands-, 24<br />
rauschender Widerstand, 25<br />
Rauschfaktor<br />
siehe Rauschzahl<br />
Rauschkenngrössen, 26<br />
Rauschmass, 29<br />
Rauschquellen, 24<br />
- äussere, 26<br />
- innere, 24<br />
Rauschsignale, 20<br />
- Grundlagen stochastischer Signale, 20<br />
Rauschtemperatur, 29<br />
Rauschwiderstand, 25<br />
Rauschzahl, 28<br />
Reaktanzfilter, 68<br />
Reflexionsfaktor, 32, 69, 86, 96<br />
Reflexionsfaktor-Diagramm, 100<br />
relative Pegel, 4<br />
return loss<br />
siehe Rückflussdämpfung<br />
Rippelfaktor, 57<br />
RMS<br />
siehe Effektivwert<br />
Rückflussdämpfung, 97<br />
s-Parameter, 41<br />
S/N<br />
siehe Störabstand<br />
Serie-Parallelschaltung, 43<br />
Signal-/Rauschverhältnis, 28<br />
Signal-Rauschleistungsverhältnis<br />
siehe Störabstand<br />
Signale, 6<br />
- abgetastete, 6<br />
- analoge, 6<br />
- digitale, 6<br />
- diskrete, 6<br />
- Hilfssignal, 6<br />
- im Zeitbereich, 6<br />
- kontinuierliche, 6<br />
- Nutzsignal, 6<br />
- quantisierte, 6<br />
- Störsignal, 6<br />
- wertdiskrete, 6<br />
- zeitdiskrete, 6<br />
Signalparameter, 6<br />
Sinussignal, 8<br />
Smith-Diagramm, 100<br />
Spannungsdämpfung, 1<br />
Spannungspegel, 4<br />
Spannungsverstärkung, 1<br />
Spektralfunktion, 12<br />
Spektrum, 8<br />
- Amplitudenspektrum, 8<br />
- kontinuierliches, 11<br />
- Linienspektrum, 8<br />
- nichtperiodische Signale, 11<br />
- periodischer Signale, 9<br />
- Phasenspektrum, 8<br />
Sperrbereich, 51<br />
Standardabweichung, 21, 22<br />
Stehwelle, 96<br />
Stehwellenverhältnis, 97<br />
stochastische Prozesse, 21<br />
- Kennwerte, 21<br />
stochastische Signale, 19, 20<br />
Störabstand, 19<br />
Störsignal, 6<br />
Störungen, 13<br />
Stossantwort, 48<br />
Streifenleiter, 103<br />
Streuparameter<br />
siehe s-Parameter<br />
Streuung, 21, 22<br />
Stromdämpfung, 1<br />
Stromrauschen, 25<br />
Stromverstärkung, 1<br />
Stromverteilungsrauschen, 25<br />
Stufenprofilfaser, 104<br />
technischer Wechselstrom, 74<br />
Telegrafengleichung, 83<br />
- komplexe Form, 88<br />
TEM-Leitungen, 75<br />
Thermisches Rauschen, 24<br />
Toleranzschema, 51<br />
Tonfrequenzbereich, 74<br />
Transducer Gain, 45<br />
Triplate-Leitung, 103<br />
Tschebyscheff-Approximation, 57<br />
Übertragungsfunktion, 47<br />
Übertragungskanäle, 75<br />
HTA Biel, Signalübertragung Index
UTF<br />
siehe Übertragungsfunktion<br />
Varianz, 21, 22<br />
Verstärkung, 1<br />
Verteilungsdichte, 21<br />
Verteilungsfunktion, 21<br />
Verzerrungen, 13<br />
- der Amplitude, 14<br />
- der Phase, 15<br />
- Intermodulation, 18<br />
- lineare, 14<br />
- nichtlineare, 16<br />
Vierpole<br />
siehe Zweitore<br />
VSWR<br />
siehe Stehwellenverhältnis<br />
Wellenimpedanz, 35<br />
siehe Wellenwiderstand<br />
Wellenlänge, 74<br />
Wellenparameter, 40<br />
Wellentypen (Moden), 104<br />
Wellenübertragungsmass, 40, 93<br />
Wellenwiderstand, 40, 84, 89, 90, 98<br />
Welligkeit, 57<br />
wertdiskret, 6<br />
wertkontinuierlich, 6<br />
Widerstandsrauschen, 24<br />
Wirkungsgrad, 33<br />
y-Parameter, 37<br />
z-Parameter, 36<br />
Zeitdiskrete Signale, 6<br />
Zeitfunktion, 6<br />
zufälliges Experiment, 20<br />
Zufallsgrösse, 20<br />
Zusatzrauschzahl, 29<br />
Zweidrahtleitungen, 101<br />
Zweitor-Parameter<br />
- b-Parameter, 40<br />
- k-Parameter, 40<br />
- s-Parameter, 41<br />
- Wellenparameter, 40<br />
Zweitore, 1, 31<br />
- Ausgangsimpedanz, 45<br />
- Betriebseigenschaften, 45, 46<br />
- Betriebsleistungsverstärkung, 45<br />
- Betriebsspannungsverstärkung, 45<br />
- Eingangsimpedanz, 45<br />
- Grundgleichungen, 35<br />
- Kettenschaltung, 44<br />
- Leistungsverstärkung, 45<br />
- lineare, 35<br />
- Parallel-Serieschaltung, 43<br />
- Parallelschaltung, 43<br />
- Serie-Parallelschaltung, 43<br />
- Serieschaltung, 43<br />
- Spannungsverstärkung, 45<br />
- Stromverstärkung, 45<br />
- Transducer Gain, 45<br />
Zweitorparameter, 35<br />
- a-Parameter, 39<br />
- h-Parameter, 38<br />
- Umrechnungen, 42<br />
- y-Parameter, 37<br />
- z-Parameter, 36<br />
109<br />
HTA Biel, Signalübertragung Index