A. Kaufmann - Berner Fachhochschule

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Unter der Verteilungsfunktion F X(r) der Zufallsgrösse X versteht man nun die Wahrscheinlichkeit, dass X(ω)
22 Man erkennt, dass die hier betrachteten statistischen Kennwerte alle bestimmt werden können, falls die Verteilungsdichte p X(r) bekannt ist. Viele stochastische Prozesse haben die Eigenschaft, dass sich zwar im einzelnen keine erkennbare Gesetzmässigkeit zeigt, aber dafür sich im prinzipiellen Verhalten hinsichtlich der Zeit nichts ändert. Man denke etwa an das thermische Rauschen einer Verstärkerstufe. Bei gleichbleibendem physikalischen Hintergrund ändern sich die physikalischen Kennwerte nicht und wir sprechen von einem stationären Prozess. Unter einem stationären stochastischen Prozess verstehen wir also einen Prozess, dessen statistischen Kenngrössen unabhängig von der Zeit sind. In der Mehrzahl nachrichtentechnischer Anwendungen können die obigen statistischen Kennwerte durch eine zeitliche Mittelung einer Musterfunktion des betrachteten Prozesses, also ohne explizite Kenntnis der Verteilungsdichte p X(r) bestimmt werden. Als Beispiel für die Musterfunktion eines stochastischen Prozesses diene eine Spannung u(t). Die Berechnung der betrachteten statistischen Kennwerte als zeitliche Mittelwerte lautet: 1.) Arithmetischer Mittelwert (= Erwartungswert): (2.17) Der arithmetische Mittelwert entspricht somit dem DC-Anteil des stochastischen Signals. Handelt es sich bei u(t) um ein Rauschsignal, so ist dieser Wert 0. 2.) Quadratischer Mittelwert: Der quadratische Mittelwert entspricht der an 1Ω auftretenden mittleren Leistung. 3.) Effektivwert (RMS: "root mean square"): 4.) Streuung (= Varianz): δ 2 = lim T →∞ Die Streuung entspricht der an 1 Ω auftretenden mittleren AC-Leistung. 5.) Standardabweichung: 1 2T u(t) = lim T →∞ u 2 (t) = lim T →∞ +T +T 1 ⌠ u(t) dt 2T ⌡ −T +T 1 ⌠ u 2T ⌡ −T 2 (t) dt Ueff = U = √⎺ ⎺⎺ u 2 (t) ⌠(u(t)−u(t)) 2 dt ⇒ δ 2 = u 2 (t)−(u(t)) 2 ⌡ −T δ = √⎺δ 2 (2.18) (2.19) (2.20) (2.21) HTI Biel, Signalübertragung 2.4
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