Annales demi-finales du 23e Bombyx - Rallye Bombyx - Asso-Web

23 e Bombyx
Demi-finale 5 e
Corrigés
PROBLÈME 1 : Figures de nombres
Un peu fastidieux mais facile avec ces 3 nombres : 19, 21 et 24.
Plus difficile avec d’autres nombres : il faut dans ce cas faire appel à
de l’algèbre linéaire (des équations). Le raisonnement se base d’une
part sur le fait que la somme des trois nombres dans les carrés est la
moitié de la somme des trois nombres dans les cercles, d’autre part sur
le fait que, en considérant deux côtés consécutifs du « triangle », on
trouve facilement une relation entre y et z, et une autre entre x et y, la
résolution du problème peut donc se ramener à celle d’une équation du
1 er degré à une inconnue.
x = 8, y = 11 et z = 13
8 19 11
21
13
24
I.15
PROBLÈME 2 : Petit escargot
Il mettra 33 jours : 8 jours pour monter de 7 mètres donc 32 jours
pour les 28 premiers mètres puis un jour pour les deux derniers mètres.
PROBLÈME 3 : La cigale et la fourmi
Récolte de la fourmi : 11 × 100 = 1 100.
Récolte de la cigale : 3 × 100 = 300.
Besoin annuel (fourmi ou cigale) : 2 × 365 = 730.
1) La fourmi peut donc prêter : 1 100 – 730 = 370 grains.
2) Après ce généreux don de la fourmi, il ne manquera plus à la
cigale que : 730 – 300 – 370 = 60 grains.
Ces 60 grains correspondent à 60 : 2 = 30 jours de diète !
PROBLÈME 4 : Le flocon de Von Koch (1904)
À chaque étape le nombre de côtés est multiplié par 4.
À l’étape 4, le nombre de côtés est :
3 × 4 × 4 × 4 × 4 = 3 × 16 × 16 = 768.
QUESTION FACULTATIVE : Le flocon de Von Koch
À l’étape 3, le nombre de côtés est : 3 × 4 × 4 × 4 = 12 × 16 = 192.
À chaque étape, la longueur d’un côté est divisée par 3.
À l’étape 3, la longueur d’un côté est (en cm) : 27 : (3 × 3 × 3) = 1.
Ainsi, le périmètre du flocon à l’étape 3 est de (en cm) : 192 cm.
[On peut raisonner autrement en constatant que d’une étape à la suivante, le
périmètre est multiplié par 4
ou, si l’on préfère, rallongé d’un tiers.]
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