Annales demi-finales du 23e Bombyx - Rallye Bombyx - Asso-Web

♣ LIVRE 1
♦ LIVRE 2
Quarts de finale
9 décembre 2010
Annales du 21 e Bombyx
♥ LIVRE 3
Demi-finales
11 février 2011
Finale
12 mai 2011
_x UÉÅuçå
Association Rallye Bombyx - Place Jules Ferry - 34190 GANGES - 04 67 73 81 01 - bombyx@ac-montpellier.fr - site http://rallye-bombyx.asso-web.com
_x ÜtÄÄçx Åtà{°Åtà|Öâx wx ZtÇzxá
xà wx ÄËtvtw°Å|x wx `ÉÇàÑxÄÄ|xÜ

Publication placée sous le patronage
de l’Inspection Pédagogique Régionale de
mathématiques de l’Académie de Montpellier,
de l’IREM et de la Régionale APMEP de Montpellier
Comité de rédaction
Yvonne BOULOC
Priscilla SECHOY
Philippe LAVILLEDIEU
Jean-Marie SCHADECK
Jean VERSAC
Professeurs de Mathématiques - Académie de Montpellier
Création
Association
Association Association Rallye Bombyx
Collège Louise Michel
Place Jules Ferry
34190 GANGES
Renseignements pratiques
Brochure gratuite disponible sur le site de la compétition à partir de septembre 2011
http://rallye-bombyx.asso-web.com

livre 2
Demi-finales - 11 février 2011
♣ Barème et Règlement II.1
Le Club des Partenaires II.2
♦ Les énoncés II.3
♥ Les réponses II.11
♠ Les corrigés II.13
EF x UÉÅuçå
Association Rallye Bombyx - Place Jules Ferry - 34190 GANGES - 04 67 73 81 01 - bombyx@ac-montpellier.fr - site http://rallye-bombyx.asso-web.com
_x ÜtÄÄçx Åtà{°Åtà|Öâx wx ZtÇzxá
xà wx ÄËtvtw°Å|x wx `ÉÇàÑxÄÄ|xÜ

BARÈME
N° Problème 1 2 3 4 Question
facultative
Points 101 102 103 104 50
total / 460
Précisions pour les problèmes avec plusieurs réponses
et dont la résolution est partiellement exacte
Catégorie
CM2
5 e
4 e
3 e Générale
Problème 3 20 pour une seule face bien coloriée
Problème 1 Aucun point pour une résolution partielle.
Problème 3 20 pour une seule réponse exacte
Problème 4 20 pour une seule réponse exacte
Problème 1 10 pour 1 réponse exacte ; 20 pour 2 rép.
Problème 3 10 pour 1 réponse exacte ; 20 pour 2 rép.
Pour une application aisée du § "Classement des participants" du
règlement, les élèves se voient attribuer un nombre de points x compris
entre 0 et 460
Pour chacun des problèmes, si l’élève a donné exactement la (ou
toutes les) réponse(s) indiquée(s) sur le bulletin corrigé à l’exclusion
de toute autre réponse : le nombre de points attribué appartient à
{ 50 ; 101 ; 102 ; 103 ; 104 }.
Pour un problème avec plusieurs réponses possibles, si l’élève n’a
donné qu’une partie des réponses indiquées sur le bulletin corrigé à
l’exclusion de toute autre réponse : le nombre de points attribué suit les
indications du tableau ci-dessus.
Reporter sur le bulletin-réponse de l’élève, dans la case grisée
“ Points ” le nombre x obtenu comme indiqué ci-dessus.
Classer les candidats en rangeant les bulletins-réponse par
catégorie et par ordre décroissant des points.
I.1
RÈGLEMENT DU 23 e Bombyx (Extraits)
Fiche technique du 23 e rallye math. Bombyx
Le 23 e rallye math. Bombyx, organisé par l'Association Rallye Bombyx (Ganges - Hérault), est
ouvert à tous les élèves des collèges, aux élèves de 3 e dérogatoire, de seconde professionnelle ou première
année de CAP des lycées professionnels de l'académie de Montpellier et du Bassin méditerranéen, ainsi
qu'aux élèves de CM2 des secteurs scolaires des collèges participant à la compétition.
Les concurrents sont répartis en sept catégories avec des épreuves adaptées à chacune d’elles :
CM2 ; 6 e ; 5 e ; 4 e ; 3 e ; 2de Pro. ou 1 re année de CAP ; 3 e Dérogatoire & 3 e DP6.
Déroulement du 23 e rallye math. Bombyx
♦ QUARTS DE FINALE : Ils se dérouleront le jeudi 9 décembre dans chaque établissement. L'épreuve
dure une heure, et consiste à résoudre quatre problèmes. Les participants devront, pour chaque problème,
indiquer la ou les réponse(s) sur le bulletin prévu à cet effet. Au problème 1 sont attribués 101 points, au
problème 2 ce sont 102 points, etc. ; une réponse approchée peut se voir attribuer une partie des points. Au
sein de chaque établissement, 50% (environ) des participants sont qualifiés pour la demi-finale par le
correspondant du rallye.
♦ DEMI-FINALES : L'épreuve consiste en la résolution de quatre problèmes et d'une question facultative
destinée à départager les concurrents et à laquelle sont attribués 50 points. Elle dure quatre-vingt-dix
minutes. Elle se déroulera le vendredi 11 février dans chaque établissement. Aucune qualification n'est
faite au niveau de l'établissement. Le jury établit la liste des qualifiés pour la finale officielle constituée
des élèves les mieux placés, et la liste des qualifiés pour la finale de repêchage constituée d'au plus deux
élèves par établissement, choisis parmi les meilleurs de chaque établissement qui ne sont pas déjà qualifiés
pour la finale officielle, afin d'assurer à chacun d'eux une représentation en finale par un minimum de deux
candidats.
♦ FINALE ET FINALE DE REPÊCHAGE : Elles consistent en la résolution de quatre problèmes, d'une
question facultative destinée à départager les concurrents et d’une question subsidiaire. L’épreuve dure
quatre-vingt-dix minutes et se déroulera au Collège Louise Michel de Ganges le jeudi 12 mai, de 10h30
à 12h. La finale de repêchage permet au premier de chaque catégorie de gagner sa place en finale officielle
avec la pleine conservation de ses points les épreuves étant identiques en finale de repêchage et en finale
officielle.
Classement des participants au 23 e rallye math. Bombyx
À l'issue de chaque phase, les candidats sont départagés :
1) par le nombre de points, 2) en cas d'égalité, les candidats sont déclarés ex æquo sauf pour les trois
premiers du classement académique en finale officielle qui sont départagés par la question subsidiaire puis
éventuellement l’âge avec ordre de priorité aux plus jeunes.
Il y a deux classements pour les finalistes : d’une part celui des élèves de notre seule académie, d’autre
part un classement international en prenant tous les finalistes de l’Académie et du Bassin méditerranéen.
Les prix du 23 e rallye math. Bombyx
Tous les concurrents en quarts de finale, en demi-finales puis en finales reçoivent un lot et un diplôme.
En finale officielle et pour le seul classement académique les douze premiers de chaque catégorie
reçoivent un prix conséquent ; ce classement académique donne lieu à la désignation des lauréats des
Thalès : les trois premiers de chaque catégorie qui se voient ainsi remettre un diplôme spécifique. Le
classement international donne lieu à la désignation des deux premiers candidats de chaque catégorie où
ont concouru des élèves hors académie ; ces lauréats du Bombyx méditerranéen se voient également
attribuer des prix spécifiques. La remise des prix et des diplômes aura lieu lors de la Cérémonie des
Thalès, au Collège Louise Michel de Ganges, le jeudi 12 mai de 14h45 à 15h45, à l’issue de la finale
qui a lieu le matin même.. Les concurrents acceptent le présent règlement et les délibérations du jury dont
les décisions sont sans appel.

www.cijm.org
Le club* des partenaires
www.alpepapier.com
du Bombyx
Association Rallye Bombyx
Collège Louise MICHEL
Place Jules Ferry
34190 GANGES
I.2
L' Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques,
l' I.R.E.M. de Montpellier, le Comité International de Jeux
Mathématiques pour leur soutien moral.
Le Rectorat de l’académie de Montpellier,
la Régionale A.P.M.E.P. de Montpellier,
les Conseils Généraux du Gard, de l’Hérault, et de Lozère,
les Communes de
AGONÈS, BRISSAC, CAUSSE DE LA SELLE,
GANGES, LAROQUE, MAS DE LONDRES,
ST BAUZILLE DE PUTOIS,
ST MARTIN DE LONDRES, SUMÈNE,
CASIO, Math en Main, Alp’papier,
Art Culture Lecture – Éditions du Kangourou,
le Foyer OCCE34 du collège Louise Michel pour leur
soutien financier.
* au 30 juin 2010

23 e Bombyx
Demi-finale CM2
Énoncés
Départements
Départements
Départements
PROBLÈME 1 : Lavande et oliviers dans le 84
Marius et Mireille habitent dans le Vaucluse (84) au milieu d’un domaine
planté d’oliviers et de lavandes. Marius a confectionné des petits flacons
d’eau de toilette à la lavande qui sentent bon le Midi ! Mireille, quant à elle, a
fait des petits bocaux d’olives. Mireille s’amuse à peser ces flacons tous
identiques, et ces bocaux tous de même poids : à chaque fois, il y a
équilibre.
75 g
Pour la seconde pesée, elle a posé un poids de 75 g à côté du bocal.
Quelle est la masse (ou, si tu préfères, le poids) d’un bocal ?
PROBLÈME 2 : Chez l’oncle Marcel dans le 76
L’oncle Marcel habite en Seine-Maritime (76). Il navigue sur la Seine en
péniche : son métier consiste à transporter des céréales. Ces derniers jours, il
est parti du port de Rouen, a effectué un 1 er trajet de 53 km, ensuite il a
effectué un 2 e trajet de 79 km, puis un 3 e de 27 km, et enfin un 4 e de 9 km. Le
problème c’est qu’il a très bien pu livrer ici du blé, ici de l’orge, là remplir
une cale avec du seigle… et qu’il n’a pas forcément parcouru ces kilomètres
en se déplaçant dans le même sens sur la Seine. Au terme de ces quatre
trajets, Marcel est au maximum à 168 km de Rouen !
À combien de kilomètres de Rouen est-il au minimum ?
PROBLÈME 3 : Chez papy et mamie dans le 78
Marius et Mireille ont passé quelques jours chez papy Pierre et mamie
Geneviève à St-Germain-en-Laye dans les Yvelines (78). Ils ont fait une
escapade à Paris, toute une journée ! C’était une grand première pour Marius
I.3
et Mireille ! Papy Pierre, prof. de math. à la Sorbonne leur a fait visité le
grand amphi : cela les a beaucoup impressionnés ! Ils ont visité le
Panthéon et admiré la capitale depuis son toit. À deux pas de là, à la Librairie
des Math., Pierre leur a acheté un petit livre Le labyrinthe maléfique (Éd.
Pôle)… Voici une énigme tirée de ce livre :
Une pyramide a quatre faces qui sont des triangles. Chaque face est peinte à
l’aide de trois couleurs : gris clair, gris foncé, noir. On s’est arrangé pour que
deux parties peintes de la même couleur puissent éventuellement se toucher
par un sommet (un point) mais jamais par un côté (un segment).
La pyramide sans peinture La pyramide peinte
Si on met cette pyramide à plat, voilà ce qu’on obtient :
Complète le coloriage (respecte bien les couleurs : gris clair, gris foncé,
noir).
PROBLÈME 4 : Rangement des départements !
Marius a écrit en toutes lettres les nombres de 1 à 19, puis il les a rangés dans
l’ordre alphabétique. Le premier est cinq (05 Hautes-Alpes) et le deuxième
est deux (02 Aisne). Tu remarques que deux est bien rangé, puisqu’il est en
deuxième place.
Peux-tu, toi aussi, trouver d’autres nombres bien rangés entre un et dixneuf
?
TSVP

QUESTION FACULTATIVE : Mireille dans le 84
Mireille a sorti la vaisselle de sa maman sur la grande table de la cuisine : il y
a des bols, des assiettes, des cuillères et deux carafes.
Elle a aussi mis sur la table sa très belle balance de Roberval, avec deux
plateaux.
Avec cette balance elle a fait quatre pesées : à chaque fois, il y a équilibre.
1
2
3
4
Pour la pesée 4, Mireille a posé dans le plateau de gauche une assiette,
combien de cuillères doit-elle poser dans le plateau de droite pour
obtenir l’équilibre ?
Indication : cherche dans un premier temps combien il faut de cuillères pour
équilibrer un bol, en te servant des pesées 1 et 2.
?
I.4

23 e Bombyx
Demi-finale 6 e
Énoncés
PROBLÈME 1 : La famille Septime
Monsieur et Madame Septime ont sept enfants qui sont, curieusement,
tous nés un 7 juillet. Chaque année, pour leur anniversaire, chacun
d’eux a un gâteau comportant autant de bougies qu’il a d’années. Cette
année, Philippe, le plus jeune, se souvient qu’il y a cinq ans, il y avait
au total, deux fois moins de bougies que cette année.
Combien de bougies seront-elles allumées cette année ?
PROBLÈME 2 : L’horloge du village
L’horloge du village sonne tous les quarts d’heure de façon très
particulière. À chaque heure et quart, elle sonne 1 coup, comme à
10 h 15. À chaque heure et demie, elle sonne 2 coups, comme à
10 h 30. À chaque heure trois quarts, elle sonne 3 coups, comme à
10 h 45. À chaque heure exacte, elle sonne 4 coups plus autant de
coups que le nombre affiché sur l’horloge, comme 4 + 10 = 14 coups à
10 h ou 4 + 1 = 5 coups à 13 h ou 4 + 12 = 16 coups à minuit. Un élève
du collège qui est demi-pensionnaire, arrive en moyenne à 8 h 20 le
matin et il quitte le collège à 17 h 05.
Combien de coups un demi-pensionnaire inattentif en cours a-t-il
entendus à l’horloge du village, pendant sa journée au collège ?
I.5
PROBLÈME 3 : De la chance aux billes
Philippe a gagné 90 billes en dix jours de façon très régulière. Un
nouvel élève arrive et il est aussi chanceux que lui, même davantage
car il va gagner 14 billes par jour.
Dans combien de jours en auront-ils gagnées le même nombre ?
PROBLÈME 4 : La télécabine
Une télécabine est constituée d’un certain nombre
de cabines qui tournent sans cesse sur un câble qui
est un circuit fermé, comme le montre le schéma
ci-contre. Elles sont rangées dans l’ordre de la
n° 1 à la dernière. Au même instant, la cabine
n° 98 se trouve en face de la cabine n° 105, alors
que la cabine n° 230 se trouve en face de la cabine
n° 241.
Combien cette télécabine compte-t-elle de
cabines ?
QUESTION FACULTATIVE : La même télécabine
98 105
241
230
Une autre télécabine, de même principe que le précédent, compte 250
cabines. La n° 98 se trouve en face de la n° 105.
En face de quelle cabine, au même instant, se trouve la n° 241 ?

23 e Bombyx
Demi-finale 5 e
Énoncés
PROBLÈME 1 : Figures de nombres
8 25 17
Le nombre dans le cercle est la somme des deux nombres dans les
carrés de chaque côté.
Trouver les nombres x, y et z.
(Ces trois nombres sont des nombres entiers)
PROBLÈME 2 : Petit escargot
Petit escargot est dans un puits de 30 mètres de profondeur. Le jour, il
monte de 2,5 mètres et la nuit, il glisse de 1,5 mètre. Après 7 jours de
labeur, il se repose le huitième jour.
Combien de temps mettra-t-il pour sortir du puits?
x 19 y
21
z
24
I.6
PROBLÈME 3 : La cigale et la fourmi
Cent jours d’été durant, une fourmi récolte
Onze grains du matin au soir, plus désinvolte
La cigale en ramasse trois, rimant des vers
Pour plaire à la fourmi pendant les nuits d’hiver.
Sachant qu’à leur pitance, il suffit de deux grains
Pour chacune et par jour, qu’il soit beau ou venteux,
Pendant combien de jours la cigale aura faim,
La fourmi prêtant ce qu’elle peut ?
(Définition de pitance : ratio d’un repas ; nourriture)
Pour une année :
1) Combien de grains la fourmi peut-elle prêter à la cigale ?
2) Pendant combien de jours la cigale n’aura-t-elle pas de quoi
manger ?
PROBLÈME 4 : Le flocon de Von Koch (1904)
Pour obtenir le flocon de Von Koch (mathématicien suédois, 1870-
1924), on part d’un triangle équilatéral et on remplace chaque côté de
la figure par quatre autres segments dont la longueur de chacun est
égale au tiers du segment remplacé. La figure ci-dessus montre les
trois premières étapes, l’étape de départ étant le triangle équilatéral.
Combien de côtés possède le flocon à l’étape quatre ?
QUESTION FACULTATIVE : Le flocon de Von Koch
Quel est le périmètre du flocon à l’étape 3, si la longueur d’un côté
du triangle équilatéral vaut 27 cm.

23 e Bombyx
Demi-finale 4 e
Énoncés
PROBLÈME 1 : Les nombres de Laurie
Laurie écrit des nombres entiers de quatre chiffres qui utilisent les
quatre chiffres : 1, 2 3 et 4, chacun d’eux étant écrit une seule fois par
nombre, comme 2 143.
Combien y a-t-il de possibilités ?
PROBLÈME 2 : Les bonbons de Bernard
À la sortie du collège, Bernard va au magasin acheter des bonbons et il
est très gourmand. Il y en a de plusieurs sortes, rangés dans des bocaux
différents. Bernard prend 2 bonbons dans le premier bocal, 4 bonbons
dans le deuxième bocal, 6 dans le troisième et ainsi de suite. Quand il
s’est servi dans le dernier bocal, il revient en arrière et reprend dans les
autres bocaux autant de bonbons qu’il en avait pris lors du premier
passage. Il a finalement 98 bonbons.
Combien y a-t-il de sortes de bonbons ?
PROBLÈME 3 : Le cri de Tarzan
Pour sauver Jane, Tarzan pousse son célèbre cri, puis traverse la forêt
en s’agrippant de liane en liane. Les petites lianes lui permettent de
faire des bonds de 4,5 m et les grandes lianes des bonds de 8 m. Il a
ainsi parcouru 413 m en utilisant 63 lianes.
Combien a-t-il utilisé de grandes lianes ?
I.7
PROBLÈME 4 : Un jus de fruits très frais
a) Philippe se sert du jus de fruits dans un verre cylindrique de 5 cm
de rayon. Il y ajoute trois glaçons identiques et il attend
patiemment que tous les glaçons soient entièrement fondus pour
savourer son jus de fruits. La hauteur de liquide dans le verre s’est
alors élevée de 0,5 cm. L’eau augmente son volume d’un
cinquième en se transformant en glace.
Quel était le volume d’un glaçon ? Donner la réponse en cm 3 ;
prendre obligatoirement 3,14 pour valeur approchée de π.
b) Philippe se sert un autre jus de fruits dans le même verre que le
précédent. il y ajoute encore trois glaçons qui sont maintenant des
cubes de 4 cm d’arête et il attend encore que tous les glaçons soient
entièrement fondus pour boire.
Quelle est la hauteur supplémentaire de liquide dans le verre ?
Donner la réponse arrondie au cm près.
Rappels : Volume d’un cylindre = 3,14 × r × r × h
(aire du disque × hauteur)
Volume du cube = c × c × c
r = rayon ; h = hauteur ; c = côté.
QUESTION FACULTATIVE : D’autres nombres de Laurie
Laurie écrit des nombres entiers de quatre chiffres qui utilisent les
quatre chiffres : 1, 2, 3 et 4 chacun d’eux pouvant être utilisé une ou
plusieurs fois, comme 1421.
Combien y a-t-il de possibilités ?

23 e Bombyx
Demi-finale 3 e générale
Énoncés
PROBLÈME 1 : Les jolies Menteuses
Marie-Renée, Ghislaine et Samia sont trois amies qui aiment parler, ce
qui est bien naturel ; mais comme chacun sait, les humains ne disent
pas toujours la vérité... Ainsi, Ghislaine déclare que « Marie-Renée ou
Samia ment(ent) ». Marie-Renée avance que « Samia et Ghislaine ne
disent pas la vérité ». Enfin, Samia prétend que « Ghislaine et Marie-
Renée mentent toutes les deux ». Dans les assertions précédentes,
certaine(s) mente(nt) et d’autre(s) non !
Qui ment ? Qui ne ment pas ?
PROBLÈME 2 : Un demi cercle
Aide : La figure ci-contre peut être utile !
Les côtés de l'angle droit mesurent 8 cm
et 15cm.
Le centre du demi cercle est sur le côté
de 8 cm
Quelle est la mesure du rayon du
demi cercle?
I.8
PROBLÈME 3 :
Trois cercles
Les cotés du triangle mesurent
7 cm, 9 cm et 11 cm.
Les cercles centrés sur les trois
sommets sont tangents entre
eux.
Quels sont leurs rayons?
PROBLÈME 4 : Point intérieur à un triangle
Les dimensions d’un triangle sont 12 m, 17 m et 25 m, son aire mesure
90 m². Un point intérieur au triangle est situé à 3 m du côté de 25 m et
à 4 m du côté de 17 m.
À quelle distance est-il du côté de 12 m? On donnera la valeur
exacte sous forme fractionnaire.
QUESTION FACULTATIVE : Autre point
intérieur au triangle
C’est le même triangle qu’au problème 4. On
considère le point O, point d’intersection des trois
bissectrices du triangle.
Combien mesure la distance OE ? On donnera
le résultat sous la forme d’une fraction
irréductible.

23 e Bombyx
Demi-finale 3 e Dérogatoire & 3 e DP6
Énoncés
PROBLÈME 1 : Les jeunes peintres
Trois enfants peignent le mur de l’école en quatre heures.
Combien de temps auraient mis deux enfants travaillant dans les
mêmes conditions ? Exprimer le résultat en minutes.
PROBLÈME 2 : Le fermier
Un fermier teste des poules génétiquement modifiées.
Dans son poulailler, une poule sur 5 a des plumes bleues, 3 poules sur
7 ont des dents et il y a autant de poules avec des dents sans plumes
bleues que de poules sans dents ni plumes bleues.
Quelle est la proportion de poules qui ont des dents et des plumes
bleues ? Donner le résultat sous la forme d’une fraction
irréductible.
I.9
PROBLÈME 3 : Le plombier
Combien faut-il de tuyaux de 10 cm de diamètre intérieur pour
fournir le même débit qu’un tuyau de 60 cm de diamètre intérieur si
l’eau circule à la même vitesse dans tous les tuyaux ?
Rappel : Aire d’un disque : π r² où r est le rayon du disque ; π ≈ 3,14.
PROBLÈME 4 : La rencontre !
Les trois jeunes peintres, le plombier, le fermier et sa femme se
retrouvent pour un pique-nique.
En chemin, ils doivent traverser une rivière avec une barque si petite
que seul un adulte peut y prendre place, ou bien deux enfants.
Combien de passages de barque seront nécessaires pour que tout le
monde traverse ?
QUESTION FACULTATIVE : Suite du problème 1
Combien d’enfants travaillant dans les mêmes conditions faudraitil
pour que le travail soit terminé en 20 minutes ?

23 e Bombyx
Demi-finale 2 de pro et 1 re année de CAP
PROBLÈME 1 : Course
Énoncés
Disciplines Disciplines Disciplines équestres…
équestres…
Lors d’une course de plat, le tiers des partants arrivent groupé en tête
et les trois quarts du reste arrivent dans les 30 secondes qui suivent.
Combien de chevaux reste-t-il encore derrière eux s’ils étaient 24
au départ ?
PROBLÈME 2 : Dressage
Julie, Laurie, Jeannot et Jojo doivent participer à une représentation de
dressage. Pour le final, chacun choisit une figure différente.
Les filles ne réussissent pas la cabriole, Jeannot n’a pas choisi la
courbette, Jojo ne choisit la courbette que si Julie choisit la levade,
Jeannot ne choisit la cabriole que si Julie termine par une croupade et
le cheval de Laurie ne réussit pas encore les courbettes et la levade le
terrorise.
Quelle figure Jojo choisit-il pour son final ?
I.10
PROBLÈME 3 : Randonnée
Filou fait régulièrement le trajet entre son centre équestre et sa maison
avec son cheval Nougat.
Il a calculé qu’il met 10 minutes de moins lorsqu’il fait le trajet au trot
(10 km/h) par rapport au même trajet au pas (6 km/h).
Quelle est la distance qui sépare sa maison de son centre équestre ?
Rappel : t = d
où v est la vitesse, d la distance et t la durée exprimées
v
dans des unités adéquates.
PROBLÈME 4 : Saut d’obstacle
Un drôle d’obstacle est construit entre deux murs [MU] et [RS] de
hauteurs respectives 120 cm et 180 cm. Les barres [RM] et [US] se
croisent en I.
La hauteur minimum à sauter est alors notée h.
Cathy et son poney Dadou ne sautent pas plus d’un mètre de haut,
pourront-ils tenter de sauter cet obstacle ? Pour le savoir, on
demande de calculer la hauteur minimum h à franchir.
U
I
h
QUESTION FACULTATIVE : Suite du problème 3
Si Filou avance à 20 km/h avec Nougat au galop, combien de temps
gagne-t-il par rapport au même trajet au pas pour relier son centre
équestre et sa maison ? Donner le résultat en minutes.
R
M S

23 e Bombyx Demi-finale
CATÉGORIE
Réponses
CM2
PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 :
Masse d’un bocal d’olives en grammes Distance minimum de Rouen en km
2 2 5 8
PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 :
Nombres bien rangés
huit et neuf
QUESTION FACULTATIVE : Nombre de cuillères 7
CATÉGORIE
6 e
PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 :
Nombre de bougies allumées cette année Nombre de coups
7 0 1 4 6
PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 :
Nombre de jours Nombre de cabines
1 8 2 6 8
QUESTION FACULTATIVE : N°241 en face de N° 2 1 2
I.11
CATÉGORIE
5 e
PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 :
8 19 11
21
13
24
Nombre de jours mis par l’escargot
PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 :
Nombre de grains 3 7 0 Nombre de côtés à l’étape 4
3 3
Nombre de jours 3 0 7 6 8
QUESTION FACULTATIVE : Périmètre en cm 1 9 2
CATÉGORIE
4 e
PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 :
Nombre de possibilités Nombre de sortes de bonbons
2 4 7
PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 :
Nombre de grandes lianes Volume en cm 3
1 5, 7
3 7 Hauteur en cm ≈ 2
QUESTION FACULTATIVE : Nombre de possibilités 2 5 6

CATÉGORIE
3 e
PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 :
Qui ment ? Qui ne ment pas ? r, en cm
Marie-Renée
Samia
Ghislaine
PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 :
Les rayons en cm Distance en m au côté de 12 m
2, 5 4, 5 6, 5
QUESTION FACULTATIVE :
OE, en m
CATÉGORIE
3 e Dérogatoire/DP6
PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 :
37
12
10
3
3, 7 5
Temps en minutes Proportion de poules avec dents et
3 6 0 plumes bleues
PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 :
Nombre de petits tuyaux Nombre de traversées
3 6 1 5
QUESTION FACULTATIVE : Nombre d’enfants 3 6
1
35
I.12
CATÉGORIE
2 de Pro/1 re année CAP
PROBLÈME 1 : PROBLÈME 2 :
Nombre de chevaux Figure choisie par Jojo
4
Une cabriole
PROBLÈME 3 : PROBLÈME 4 :
Distance en km Hauteur minimum h en m
2, 5 0, 7 2
QUESTION FACULTATIVE : Temps gagné en min 1 7, 5

23 e Bombyx
Demi-finale CM2
Corrigés
Départements
Départements
Départements
PROBLÈME 1 : Lavande et oliviers dans le 84
Un bocal pèse autant que trois flacons, et dans la 2 e pesée on voit que
quatre flacons pèsent autant qu’un bocal plus 75 g.
Donc un flacon pèse 75g. Trois flacons pèsent 225 g (75 × 3).
La masse d’un bocal d’olives est de 225 grammes.
PROBLÈME 2 : Chez l’oncle Marcel dans le 76
On observe que 53 + 27 = 80. Donc si on veut minimiser la distance
qui le sépare de son point de départ au port de Rouen, il faut qu’il ait
fait 53 km dans un sens, puis 79 km en sens inverse, puis à nouveau 27
km dans l’autre sens : 80 – 79 = 1. Il est alors à 1 km de Rouen. Il fait
alors les 9 km en changeant encore de sens de navigation sur la Seine :
9 – 1 = 8.
Marcel est à 8 kilomètres au minimum de Rouen.
PROBLÈME 3 : Chez papy et mamie dans le 78
La pyramide ci-contre est mise à plat de telle
façon que la face arrière est le triangle A, et la
face de dessous est le triangle B :
3
I.13
2
Triangle A Triangle B
côté en commun
1
4
côté en commun
5
On colorie alors les deux
faces dans l’ordre des
numéros ci-dessous, en
remarquant les côtés
communs (= qui se
touchent) quand la
pyramide est formée ; cela
donne le coloriage cicontre.
PROBLÈME 4 :
Rangement des
départements !
Marius a écrit : cinq ; deux ;
dix ; dix-huit ; dix-neuf ; dixsept
; douze ; huit ; neuf ;
onze ; quatorze ; quatre ;
quinze ; seize ; sept ; six ;
treize ; trois ; un.
Les autres nombres bien
rangés entre un et dix-neuf sont huit et neuf.
QUESTION FACULTATIVE : Mireille dans le 84
6
Comme (1) un pot a la même masse que trois bols et une cuillère, deux
pots pèsent autant que six bols et deux cuillères. L’énoncé indique
d’autre part (2) que deux pots ont aussi la même masse que cinq bols et
sept cuillères donc un bol pèse autant que cinq cuillères, trois bols que
quinze cuillères et en réutilisant (1) un pot pèse autant que seize
cuillères.
Comme il faut trois bols pour équilibrer deux assiettes et une cuillère,
quinze cuillères pèsent autant que deux assiettes et une cuillère donc
quatorze cuillères que deux assiettes et sept cuillères équilibrent une
assiette.

23 e Bombyx
Demi-finale 6 e
Corrigés
PROBLÈME 1 : La famille Septime
En cinq ans, chacun des sept enfants de la famille a 5 bougies de plus
sur son gâteau, ce qui fait donc 35 bougies supplémentaires au total.
Comme le nombre de bougies de cette année est le double de celui d’il
y a cinq ans, c’est qu’il y avait 35 bougies en tout, il y a cinq ans.
Cette année, 70 bougies seront allumées en tout.
PROBLÈME 2 : L’horloge du village
De 9 h 15 à 16 h 15, l’horloge a sonné huit fois un coup.
De 8 h 30 à 16 h 30, elle a sonné neuf fois deux coups.
De 8 h 45 à 16 h 45, elle a sonné neuf fois trois coups.
De 9 h à 17 h, elle a sonné neuf fois quatre coups, et il faut encore
ajouter 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3, 4, et 5 coups supplémentaires.
8 + 18 + 27 + 36 + 9 + 10 + 11 + 12 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 146
L’horloge a sonné 146 coups.
I.14
PROBLÈME 3 : De la chance aux billes
Si Philippe a gagné régulièrement 90 billes en dix jours, c’est qu’il en
gagne 10 par jour. Il en a déjà 90 à l’arrivée du nouveau.
Le nouveau gagne 5 billes de plus que Philippe par jour. Il met 18
jours pour récupérer les 90 billes de retard.
On appelle n le nombre de jours que l’on cherche.
Ils auront le même nombre de billes dans 18 jours.
PROBLÈME 4 : La télécabine
Entre la cabine 105 et la cabine 230, à droite sur le schéma, on compte
124 cabines. [En effet, 105 + 1 = 106, la 1 re après 105 c’est la 106 ; la
124 e après 105 c’est (105 + 124) la 229 ; et après il y a la 230]. Il doit
donc y avoir 124 cabines entre la 241 et la 98. Il y en a 97 de 1 à 97, il
en manque 27. Pour avoir la dernière cabine, il faut ajouter 241 et 27.
Le nombre total de cabines est 268.
QUESTION FACULTATIVE : La même télécabine
À gauche sur le schéma précédent, entre les deux cabines 98 et 241, il
y a 106 cabines car il y en a 250 en tout (97 + 9). Il faut exactement le
même nombre de cabines de l’autre côté.
105 + 106 + 1 = 212.
La cabine n° 241 se trouve en face la n° 212.

23 e Bombyx
Demi-finale 5 e
Corrigés
PROBLÈME 1 : Figures de nombres
Un peu fastidieux mais facile avec ces 3 nombres : 19, 21 et 24.
Plus difficile avec d’autres nombres : il faut dans ce cas faire appel à
de l’algèbre linéaire (des équations). Le raisonnement se base d’une
part sur le fait que la somme des trois nombres dans les carrés est la
moitié de la somme des trois nombres dans les cercles, d’autre part sur
le fait que, en considérant deux côtés consécutifs du « triangle », on
trouve facilement une relation entre y et z, et une autre entre x et y, la
résolution du problème peut donc se ramener à celle d’une équation du
1 er degré à une inconnue.
x = 8, y = 11 et z = 13
8 19 11
21
13
24
I.15
PROBLÈME 2 : Petit escargot
Il mettra 33 jours : 8 jours pour monter de 7 mètres donc 32 jours
pour les 28 premiers mètres puis un jour pour les deux derniers mètres.
PROBLÈME 3 : La cigale et la fourmi
Récolte de la fourmi : 11 × 100 = 1 100.
Récolte de la cigale : 3 × 100 = 300.
Besoin annuel (fourmi ou cigale) : 2 × 365 = 730.
1) La fourmi peut donc prêter : 1 100 – 730 = 370 grains.
2) Après ce généreux don de la fourmi, il ne manquera plus à la
cigale que : 730 – 300 – 370 = 60 grains.
Ces 60 grains correspondent à 60 : 2 = 30 jours de diète !
PROBLÈME 4 : Le flocon de Von Koch (1904)
À chaque étape le nombre de côtés est multiplié par 4.
À l’étape 4, le nombre de côtés est :
3 × 4 × 4 × 4 × 4 = 3 × 16 × 16 = 768.
QUESTION FACULTATIVE : Le flocon de Von Koch
À l’étape 3, le nombre de côtés est : 3 × 4 × 4 × 4 = 12 × 16 = 192.
À chaque étape, la longueur d’un côté est divisée par 3.
À l’étape 3, la longueur d’un côté est (en cm) : 27 : (3 × 3 × 3) = 1.
Ainsi, le périmètre du flocon à l’étape 3 est de (en cm) : 192 cm.
[On peut raisonner autrement en constatant que d’une étape à la suivante, le
périmètre est multiplié par 4
ou, si l’on préfère, rallongé d’un tiers.]
3

23 e Bombyx
Demi-finale 4 e
Corrigés
PROBLÈME 1 : Les nombres de Laurie
Sans répéter les chiffres, Laurie peut écrire 1 234, 1 243, 1 324, 1342,
1423, 1432, ce qui fait six nombres commençant par « mille … ». Il y
a autant de nombres avec 2 comme chiffre des unités de mille et autant
avec 3 ou 4.
Il y a 24 possibilités.
PROBLÈME 2 : Les bonbons de Bernard
S’il y avait 4 bocaux, Bernard aurait 32 bonbons car :
2 + 4 + 6 + 8 + 6 + 4 + 2 = 32.
(2 + 4 + 6 + ....) × 2 + n = 98 ; où n est le nombre de bonbons dans le
dernier bocal.
(2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12) × 2 + 14 = 98.
Il y a sept bocaux et donc aussi sept sortes de bonbons.
PROBLÈME 3 : Le cri de Tarzan
Soit n le nombre de grandes lianes. Alors Tarzan a utilisé 63 – n
petites lianes.
8 × n + 4,5 × (63 – n) = 413
8n + 4,5 × 63 – 4,5n = 413
8n – 4,5n + 283,5 = 413
3,5n = 129,5 donc n = 37.
Tarzan a utilisé 37 grandes lianes (et 26 petites).
I.16
PROBLÈME 4 : Un jus de fruits très frais
a) Le volume de liquide supplémentaire mesure 39,25 cm 3 car :
3,14 × 5 × 5 × 0,5 = 39,25.
Si on ajoute un cinquième, on trouve le volume des trois glaçons.
39,25 + (39,25 : 5) = 47,1.
Puis 47,1 : 3 = 15,7.
Chaque glaçon a un volume de 15,7 cm 3 .
b) Le volume d’un glaçon est de 64 cm 3 car 4 × 4 × 4 = 64.
Le volume des trois glaçons est donc de 192 cm 3 .
Pour trouver le volume d’eau qui a donné ce volume de glace, il faut
enlever un sixième, d’après le schéma ci-dessous.
eau liquide
eau gelee
192 – (192 : 6) = 160.
Pour trouver la hauteur correspondante, il faut diviser ce volume par
l’aire de la base du verre qui est un disque.
3,14 × 5 × 5 = 78,5
160 : 78,5 ≈ 2.
La hauteur de liquide supplémentaire est d’environ 2 cm.
QUESTION FACULTATIVE : D’autres nombres de Laurie
Laurie a écrit : 1 111, 1 112, 1 113 et 1 114, puis : 1 121, 1 122, 1 123
et 1 124, puis de 1131 à 1134 (4 nombres en tout), puis de 1141 à 1144
(encore 4 nombres), ce qui fait ainsi 16 nombres.
Laurie a écrit autant de nombres entre 1 211 et 1 244, autant de 1 311 à
1 344 et encore autant de 1 411 à 1 444 ; 16 × 4 = 64.
Comme il y a encore les mêmes possibilités avec les nombres ayant 2
pour chiffre des unités de mille, puis 3, puis 4, alors 64 × 4 = 256.
Il y a 256 possibilités.

23 e Bombyx
Demi-finale 3 e générale
Corrigés
PROBLÈME 1 : Les jolies Menteuses
MR dit (1) : S ment ET G ment
G dit (2) : MR ment OU S ment
S dit (3) : G ment ET MR ment
MR ne peut pas dire la vérité, car sinon (1) G ment ce qui signifie (2)
que ni MR, ni S ne mentent donc S dit la vérité ce qui (3) contredit le
fait que MR ne ment pas. Donc MR ment.
S ne peut pas dire la vérité, car sinon (3) G ment ce qui (2) contredit le
fait que MR ment. Donc S ment.
Donc (3) l’une des deux G ou MR dit la vérité, et comme ce n’est pas
MR, alors G ne ment pas, ce qui convient bien à (1) ainsi qu’à (2) (le
‘ou’ en math. est inclusif).
Ghislaine ne ment pas, les deux autres si !
PROBLÈME 2 : Un demi cercle
r
B C D
r
A
1 re méthode : avec les aires.
Le th. de Pythagore donne l’hypoténuse
du triangle ABD : 17 cm.
Le double de l’aire de ce triangle
rectangle est égal à 15 × 8 mais aussi
à la somme des doubles des aires des
deux triangles ADC et ACB :
15r et 17r
15r + 17r = 15 × 18
donc r = 3,75 cm.
2 e méthode : avec Pythagore.
Il y a sur la figure deux triangles identiques d’hypoténuse [AC], donc
le petit triangle rectangle a ses côtés de l’angle droit qui mesurent 2 cm
I.17
et r. Le carré de son hypoténuse est à la fois égal à 4 + r² et à (8 – r)².
Donc 4 + r² = 64 – 16r + r² puis 16r = 60 et r = 3,75 cm.
PROBLÈME 3 :
Trois cercles
11 – x + 7 – x = 9
x = 4,5 cm.
Les autres rayons mesurent
2,5 cm et 6,5 cm.
PROBLÈME 4 :
Point intérieur à un
triangle
On appelle x la distance du point intérieur au triangle au côté de 12 m.
On a: 3
2
× 25 + 4
2
x
37
× 17 + ×12 = 90 ; d’où : x = m .
2 12
QUESTION FACULTATIVE : Autre
point intérieur au triangle
On prouve facilement que OE = OF = OG.
L’aire du triangle ABC est la somme des aires
des trois triangles ABO, BOC et AOC, donc :
AB × OE
2
+ AC × OE
2
+ BC × OE
2
= 90
d’où OE = 90 × 2 : (AB + BC + AC) = 10
3 m.

23 e Bombyx
Demi-finale 3 e Dérogatoire & 3 e DP6
Corrigés
PROBLÈME 1 : Les jeunes peintres
Trois enfants peignent le mur de l’école en quatre heures, ce qui
équivaut à 12 heures de travail. S’ils sont deux à se le partager, ils
peindront 6 heures chacun soit 360 minutes.
PROBLÈME 2 : Le fermier
Avec plumes bleues
Avec dents Sans dents Total
3/7 – 2/5 =
1/35
Inutile de
calculer ceci.
Sans plumes bleues 2/5 2/5 4/5
1/5
Total 3/7 4/7 1 = 5/5 = 7/7
En gras, les données du problème.
On en déduit immédiatement la ligne « sans plumes bleues ».
1/35 des poules ont des dents et des plumes bleues.
I.18
PROBLÈME 3 : Le plombier
La section du gros tuyau doit correspondre à la somme des sections des
petits tuyaux.
La section du gros tuyau vaut 30² π soit 900 π.
La section d’un petit tuyau vaut 5² π soit 25 π.
900 : 25 = 36.
Il faut donc 36 petits tuyaux.
PROBLÈME 4 : La rencontre !
Deux enfants traversent, l’un d’eux revient. Un premier adulte
traverse, le second enfant revient.
On réalise 3 fois cette série de 4 traversées (une fois pour chaque
adulte). Cela fait 12 traversées.
On termine par 3 derniers passages pour les 3 enfants (deux enfants
traversent, l’un d’eux revient pour retraverser avec le dernier).
15 traversées seront donc nécessaires.
QUESTION FACULTATIVE : Suite du problème 1
On a trouvé qu’il fallait 12 heures de travail pour peindre ce mur soit
720 minutes.
720 : 20 = 36.
Le mur sera peint en 20 minutes par 36 enfants.

23 e Bombyx
Demi-finale 2 de pro et 1 re année de CAP
PROBLÈME 1 : Course
Corrigés
Disciplines Disciplines équestres…
équestres…
8 chevaux arrivent groupés en tête, il en reste alors 16 derrière.
Les ¾ de 16 soit 12 autres chevaux arrivent dans les 30 secondes qui
suivent.
Il reste encore 4 chevaux qui ne sont pas arrivés.
PROBLÈME 2 : Dressage
Julie Laurie Jeannot Jojo
Cabriole N N N
Courbette N N
Levade N N O N
Croupade N O N N
En complétant la grille ci-dessus à l’aide des données du problème, on
trouve directement que Laurie choisit la croupade. Comme Julie n’a
pas choisi la croupade, on déduit que Jeannot choisit la levade. Julie
doit alors forcément choisir la courbette et Jojo la cabriole.
Jojo fera une cabriole pour son final.
I.19
PROBLÈME 3 : Randonnée
Soit d, la distance maison - centre équestre. On applique t = d
v lorsqu’il
marche au pas : t = d
6 .
Au trot, il met 10 min = 1/6 h de moins, donc : t – 1 d
= . En
6 10
substituant l’expression de t dans cette équation, on obtient :
d 1 d d – 1 d
– = soit = puis 4 d = 10 et enfin : d = 2,5 km.
6 6 10 6 10
PROBLÈME 4 : Saut d’obstacle
On nomme O le point tel que OI = h.
En appliquant le théorème de Thalès dans SUM, on obtient :
h OS
=
1,20 MS =
OS
MO + OS (1)
De même dans MRS : h OM OM
= =
1,80 MS MO + OS
On a donc h h OS + OM
+ = = 1
1,20 1,80 MO + OS
En résolvant l’équation, on obtient 3h = 1,2 × 1,8 puis h = 0,72 m.
QUESTION FACULTATIVE : Suite du problème 3
t = d
. Si d = 2,5 km et v = 20 km/h alors le temps du parcours au galop
v
en minutes est égal à 60 × 2,5
= 7,5 minutes.
20
Le temps de son parcours au pas est égal à 60 × 2,5
= 25 minutes.
6
Il gagne donc 25 – 7,5 = 17,5 minutes.