Annales demi-finales du 23e Bombyx - Rallye Bombyx - Asso-Web

23 e Bombyx
Demi-finale 3 e générale
Corrigés
PROBLÈME 1 : Les jolies Menteuses
MR dit (1) : S ment ET G ment
G dit (2) : MR ment OU S ment
S dit (3) : G ment ET MR ment
MR ne peut pas dire la vérité, car sinon (1) G ment ce qui signifie (2)
que ni MR, ni S ne mentent donc S dit la vérité ce qui (3) contredit le
fait que MR ne ment pas. Donc MR ment.
S ne peut pas dire la vérité, car sinon (3) G ment ce qui (2) contredit le
fait que MR ment. Donc S ment.
Donc (3) l’une des deux G ou MR dit la vérité, et comme ce n’est pas
MR, alors G ne ment pas, ce qui convient bien à (1) ainsi qu’à (2) (le
‘ou’ en math. est inclusif).
Ghislaine ne ment pas, les deux autres si !
PROBLÈME 2 : Un demi cercle
r
B C D
r
A
1 re méthode : avec les aires.
Le th. de Pythagore donne l’hypoténuse
du triangle ABD : 17 cm.
Le double de l’aire de ce triangle
rectangle est égal à 15 × 8 mais aussi
à la somme des doubles des aires des
deux triangles ADC et ACB :
15r et 17r
15r + 17r = 15 × 18
donc r = 3,75 cm.
2 e méthode : avec Pythagore.
Il y a sur la figure deux triangles identiques d’hypoténuse [AC], donc
le petit triangle rectangle a ses côtés de l’angle droit qui mesurent 2 cm
I.17
et r. Le carré de son hypoténuse est à la fois égal à 4 + r² et à (8 – r)².
Donc 4 + r² = 64 – 16r + r² puis 16r = 60 et r = 3,75 cm.
PROBLÈME 3 :
Trois cercles
11 – x + 7 – x = 9
x = 4,5 cm.
Les autres rayons mesurent
2,5 cm et 6,5 cm.
PROBLÈME 4 :
Point intérieur à un
triangle
On appelle x la distance du point intérieur au triangle au côté de 12 m.
On a: 3
2
× 25 + 4
2
x
37
× 17 + ×12 = 90 ; d’où : x = m .
2 12
QUESTION FACULTATIVE : Autre
point intérieur au triangle
On prouve facilement que OE = OF = OG.
L’aire du triangle ABC est la somme des aires
des trois triangles ABO, BOC et AOC, donc :
AB × OE
2
+ AC × OE
2
+ BC × OE
2
= 90
d’où OE = 90 × 2 : (AB + BC + AC) = 10
3 m.