Unités de calcul flottant - Lirmm

Représentations des réels
Représentations en machine ou dans les circuits :
• virgule fixe
• virgule flottante
• système logarithmique
• . . .
Important : du fait de la précision fixe, on a une approximation des
nombres réels.
A. Tisserand – LIRMM, CNRS-UM2 – ARCHI07 – Unités de calcul flottant 13/144
Virgule flottante
Un nombre x est représenté en virgule flottante de base β par :
• son signe sx (codage sur un bit : 0 pour x positif et 1 pour x négatif)
• son exposant ex, un entier de k chiffres compris entre emin et emax
• sa mantisse mx de n + 1 chiffres
tels que
avec
où xi ∈ {0, 1, . . . , β − 1}.
x = (−1) sx × mx × β ex
mx = x0 . x1 x2 x3 · · · xn
Pour des questions de précision, on exige que la mantisse soit normalisée,
c’est-à-dire que son premier chiffre x0 soit différent de 0. On a alors
mx ∈ [1, β[. Il faut alors un codage spécial pour le nombre 0.
A. Tisserand – LIRMM, CNRS-UM2 – ARCHI07 – Unités de calcul flottant 15/144
Virgule fixe
Dans bon nombre de processeurs DSP, on trouve un support matériel
très efficace (en vitesse et consommation d’énergie) pour le calcul sur les
réels à l’aide de multiples formats en virgule fixe (16, 24 ou 32 bits).
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N16 ou Z16
1Q15
Q16
16
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12 −13 −14 −15
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0
−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12 −13 −14 −15 −16
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
8Q16
7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12 −13 −14 −15 −16
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
s
s
s
s
MSB position des bits
LSB
Mais la qualité numérique et la portablilité sont moindres qu’en IEEE-754
A. Tisserand – LIRMM, CNRS-UM2 – ARCHI07 – Unités de calcul flottant 14/144
Système logarithmique
Un nombre est représenté par son signe et le logarithme de sa valeur
absolue écrit en virgule fixe (le nombre 0 doit être représenté par un
codage spécial).
Les opérations dans ce système s’effectuent en utilisant :
log 2(a × b) = log 2 a + log 2 b
log 2(a ÷ b) = log 2 a − log 2 b
log 2(a ± b) = log 2 a + log 2(1 ± 2 log 2 b−log 2 a )
log 2(a q ) = q × log 2 a
où les fonctions log 2(1 + 2 x ) et log 2(1 − 2 x ) sont tabulées ou approchées.
Applications en traitement du signal et en contrôle numérique. Il y avait
même un projet européen pour concevoir un processeur avec des unités
de calcul 32 bits en système logarithmique.
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