Coloration online dans les graphes de co-comparabilité

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
FÉDÉRALE DE LAUSANNE
Coloration online
dans les graphes de co-comparabilité
4
Samuel Bianco
Semestre d’automne 2007
6
5
Assistant responsable : Benjamin Leroy-Beaulieu
Professeur : Dominique de Werra
1
2
3

Table des matières
1 Introduction 3
2 Définitions et exemple fil rouge 4
2.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Exemple et modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Coloration offline 9
3.1 Graphes parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Coloration online 10
4.1 Coloration online d’un graphe de comparabilité . . . . . . . . 10
4.2 Coloration online d’un graphe de co-comparabilité . . . . . . . 12
4.3 Coloration par l’algorithme First Fit . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Conclusion 21
2

1 Introduction
Dans l’industrie de l’acier, des feuilles de métal de taille aléatoire sont
fabriquées. Après la fonte, les plaques sont déposées sur des chariots afin
d’être entreposées. Les coûts de stockage étant élevés, on souhaite minimiser
le nombre de chariots à utiliser, pour gagner un maximum de place au sol
et donc d’argent. Notons que le nombre de plaques fabriquées est connu à
l’avance. Pour des raisons de stabilité, une plaque ne peut être déposée sur
une autre que si elle est plus petite que l’autre. En effet, la pile serait vacillante
si cette condition n’était pas respectée; et, suite à une étude poussée,
il s’est avéré que l’économie sur les chariots ne compense pas la perte en cas
de chute de la pile. Ajoutons encore qu’il n’est pas possible de soulever une
plaque pour en glisser une autre au-dessous.
Nous commencerons par donner les définitions principales et modéliser
le problème sous forme de graphe. Ensuite, nous allons voir deux types de
résolution. Nous nous intéresserons en premier lieu à la résolution dite « offline
», c’est-à-dire que nous attendrons que toutes les plaques soient sorties
de la presse pour décider sur quel chariot les placer. Nous supposerons ensuite
que dès qu’une plaque sort de la presse, il faut absolument la placer sur
un chariot. C’est la résolution « online ». Dans cette partie, nous étudierons
deux algorithmes : OcCC et First Fit. Nous terminerons par une synthèse
des différents résultats.
3

2 Définitions et exemple fil rouge
2.1 Définitions de base
Dans cette section, nous donnons les définitions de concepts nécessaires
à la compréhension de ce travail. Les deux notions suivantes sont tirées de
l’article Online algorithms : A survey [1].
Un problème dont les données ne sont pas complètes avant de commencer
sa résolution est dit online. Par opposition, un problème dont toutes les
données sont connues au début du processus de résolution est dit offline.
Les définitions qui suivent sont des définitions classiques de la théorie des
graphes. Elles sont tirées de Algorithmic graph theory and perfect graphs [2].
Définition 1. Un graphe G = (V, E) est le couple constitué :
1. d’un ensemble V = {v1, . . .,vn};
2. d’une famille E = {(a, b) | a ∈ V, b ∈ V }.
On appelle V l’ensemble des sommets et E l’ensemble des arêtes.
Si un graphe est orienté (c’est-à-dire (a, b) = (b, a)), alors on parle de
digraphe (de l’anglais directed graph).
Définition 2. Un graphe sera appelé graphe simple si l’on a les deux conditions
suivantes :
1. ∀ (x, y) ∈ E, x = y ;
2. ∀ x = (x1, x2) ∈ E, ∀ y = (y1, y2) ∈ E, si x = y, alors x1 = y1 ou
x2 = y2.
Un graphe qui n’est pas simple est appelé multigraphe.
Dans cet article, sauf mention du contraire, le terme « graphe » désigne
toujours un graphe simple. Ces définitions basiques nous permettent d’introduire
les termes utilisés abondamment dans ce travail. Les définitions
qui suivent peuvent être retrouvées dans Online Coloring of Comparability
Graphs : some results [3] et dans Algorithmic Graph Theory and Perfect
Graphs [2].
Définition 3. Un ensemble C ⊂ V est appelé clique (ou complet) si deux
sommets distincts sont toujours adjacents, i.e. il y a un arc entre chaque paire
de sommets.
Définition 4. Un ensemble S ⊂ V est dit stable si deux sommets distincts
de S ne sont jamais adjacents.
4

Définition 5. Une coloration admissible, parfois appelée simplement coloration,
est une partition de l’ensemble des sommets V en ensembles stables.
Une k-coloration d’un graphe G est une coloration qui utilise au plus k ensembles
stables. Ajoutons encore que le nombre chromatique d’un graphe G,
noté χ(G), est le plus petit nombre k tel que G admette une k-coloration.
Définition 6. Soit A un algorithme de coloration online d’un graphe G. Soit
χA(G) le nombre maximum de couleurs utilisées par A pour colorer G sous
toutes les présentations onlines possibles de G. Un algorithme online garantit
un rapport de compétitivité de ρ(G) si, pour tout graphe G,
ρ(G) ≥ χA(G)
χ(G) .
Cela revient en fait à trouver la configuration qui donne le plus grand écart
entre la solution online donnée par l’algorithme A et la solution optimale
offline.
Cet article traite de deux types de graphes bien particuliers. Il s’agit des
graphes de comparabilité et de co-comparabilité. Avant de pouvoir les définir,
nous avons encore besoin des notions qui suivent.
Définition 7. On dit qu’un graphe orienté G = (V, E) respecte la propriété
d’orientation transitive si la condition suivante est respectée :
(a, b) ∈ E et (b, c) ∈ E ⇒ (a, c) ∈ E, ∀ a, b, c ∈ V.
Définition 8. Soit G = (V, E) un graphe (orienté ou non). Le complément
de G est le graphe G = (V, E), où
E = {(a, b) ∈ V × V | a = b et (a, b) /∈ E}.
Maintenant, nous pouvons passer aux deux dernières définitions de cette
section.
Définition 9. Un graphe G non-orienté qui admet une orientation transitive
est appelé graphe de comparabilité.
Définition 10. Si G est un graphe de comparabilité, alors son complément
est appelé graphe de co-comparabilité.
Un exemple de graphe de comparabilité et de co-comparabilité se trouve
dans la partie ci-après (Fig. 3 et Fig. 4 respectivement, page 8).
5

2.2 Exemple et modélisation
Nous allons maintenant pouvoir modéliser le problème initial. Nous nous
appuierons sur un exemple que nous garderons tout au long de cet article.
Nous l’appelons exemple fil rouge.
Modélisation du problème
Le problème qui suit a motivé ce travail. C’est un exemple concret dans
lequel la théorie développée dans le reste de cet article s’applique.
Dans une usine, on doit transporter des plaques de métal sur des chariots.
Pour des raisons de stabilité, chaque plaque déposée au sommet de la pile ne
doit pas dépasser de celle du dessous. En d’autres termes, la plaque A peut
être posée sur la plaque B si et seulement si
⎧
⎨
⎩
Ax ≤ Bx
Ay ≤ By
A est arrivée après B
où Ax, Ay et Bx, By sont les dimensions de la plaque A et B respectivement.
Ce problème peut être présenté sous forme de graphe. L’arc reliant A à B
(A → B) signifie que « A peut être posé sur B ». Il est clair que si la plaque
A peut être posée sur la plaque B et que la plaque B peut être posée sur
la plaque C, alors la plaque A pourrait aussi être posée sur la plaque C. Ce
sera donc un graphe de comparabilité.
Nous pouvons maintenant commencer à penser à la résolution de ce
problème. Nous cherchons à couvrir le graphe de comparabilité par des cliques.
Chaque clique représentera un chariot différent. En effet, tous les éléments
d’une clique sont, par définition, reliés entre eux. En terme de « plaque »,
cela signifie que les plaques de la même couleur seront placées les une sur les
autres et formeront donc un chariot.
Cependant, nous n’allons pas tenter de couvrir le graphe de comparabilité
par des cliques directement, nous allons résoudre un problème similaire. Nous
allons colorer (i.e. couvrir par des stables) son graphe de co-comparabilité.
C’est une tâche équivalente, car couvrir un graphe par des cliques revient
à couvrir son complément par des stables. L’exemple ci-dessous (Fig. 1) le
montre très bien.
Exemple fil rouge
Dans cet exemple fil rouge, nous nous restreindrons à la production de
six plaques de métal. La figure 2 (page 7) montre la dimension des plaques
ainsi que l’ordre d’arrivée de celles-ci.
6

Couvert par des cliques Couvert par des stables
Fig. 1 – Couverture par des stables et des cliques.
5
4
3
1
3
5
Fig. 2 – Dimensions et ordre d’arrivée des six plaques.
7
1
2
1
5
5
4
1
3
2
6
3
2

En observant la figure 2, nous remarquons que nous pouvons relier le
sommet 5 au sommet 4 (5 → 4), vu que la plaque 5 est plus petite que la
plaque 4 et qu’elle est arrivée après. En revanche, il n’est pas possible de
placer la plaque 1 sur la 5, vu qu’elle est arrivée avant. En procédant de
cette manière pour chaque plaque, nous trouvons le graphe de comparabilité
de l’exemple fil rouge (Fig. 3).
4
6
5
Fig. 3 – Problème mis sous forme de graphe de comparabilité.
En appliquant la définition 8, nous trouvons son graphe complémentaire.
C’est donc un graphe de co-comparabilité (Fig. 4).
4
6
5
Fig. 4 – Problème mis sous forme de graphe de co-comparabilité.
Pour illustrer les différents algorithmes proposés dans les parties qui
suivent, nous nous servirons en premier lieu de cet exemple fil rouge.
8
1
2
1
2
3
3

3 Coloration offline
3.1 Graphes parfaits
Nous n’avons pas trouvé trace dans la littérature qu’un graphe de cocomparabilité
est parfait. Nous allons le montrer brièvement. Nous nous appuyons
sur un corollaire et un théorème tirés de Algorithmic Graph Theory
and Perfect Graphs [2].
Corollaire 1. Un graphe G est complet si et seulement si son complémentaire
G est parfait.
Théorème 1. Tout graphe de comparabilité est un graphe parfait.
Nous en déduisons que tout graphe de co-comparabilité est un graphe parfait.
Vu qu’il existe un algorithme pour colorer les graphes parfaits donnés offline,
nous pouvons donc affirmer qu’un tel algorithme existe pour les graphes
de co-comparabilité.
Ainsi, il existe une couverture par clique optimale pour tout graphe de
comparabilité présenté offline.
9

4 Coloration online
Dans cette section, nous allons comparer deux algorithmes, à savoir OcCC
et First Fit. Ce dernier est un algorithme classique utilisé dans la théorie des
graphes. L’algorithme OcCC est un dérivé d’un algorithme de coloration des
graphes de comparabilité.
4.1 Coloration online d’un graphe de comparabilité
L’algorithme OCC (de l’anglais : online comparability graph coloring) est
tiré de Online Coloring of Comparability Graphs : some results [3]. Il sert à
colorer un graphe de comparabilité, dont les sommets sont délivrés online.
Toujours dans ce même article, nous trouvons le théorème ci-dessous.
Théorème 2. Il existe un algorithme pour colorer les graphes de comparabilité
(présentés online et avec une orientation transitive) garantissant un
rapport de compétitivité de χ+1
2 .
Dans la preuve de ce théorème, les auteurs montrent que cet algorithme
est OCC. Le principe de cet algorithme est le suivant.
Il va assigner à chaque sommet une couleur, sous forme de suite croissante
de nombres entiers. A chaque étape, nous notons C(v) la couleur du sommet
v. Les nombres Cl(v) et Cr(v) désignent les nombres situés à l’extrême gauche
(respectivement droite) de la couleur de v. Par exemple, si C(v) = 234, alors
Cl(v) = 2 et Cr(v) = 4. Remarquons encore que s’il n’y a pas d’ambiguïté
sur le sommet désigné, on notera seulement C, Cl et Cr. Dès qu’un sommet
apparaît, disons le sommet v ∗ , l’algorithme va lui assigner une couleur. Il va
d’abord tenter de lui donner une couleur déjà présente dans le graphe. S’il ne
peut pas, il va augmenter la couleur (donc la suite) de tous les autres sommets
du graphe déjà présentés d’une unité et assigner au sommet fraîchement
ajouté une nouvelle couleur. Celle-ci est en rapport avec le rang de v ∗ dans
le plus long chemin du graphe le contenant. L’algorithme OCC (Alg. 1) est
présenté ci-après.
Coloration de l’exemple fil rouge
En appliquant l’algorithme OCC à l’exemple fil rouge, nous obtenons une
2-coloration de ce graphe de comparabilité (Fig. 5).
Notons que, dans ce cas très précis, la coloration donnée est l’optimum,
i.e. la coloration optimale si ce graphe avait été donné offline. Cependant, ce
n’est pas toujours le cas.
10

Algorithme 1 : Coloration online d’un graphe de comparabilité (OCC)
Données : Un graphe de comparabilité G délivré online, sommet par
sommet
1
2
3
4
5
6
7
8
Résultat : Une χ(χ+1)
2 -coloration de G, où χ est le nombre
chromatique de G. χ n’est pas connu avant la fin de
l’algorithme.
tant que G n’est pas complètement présenté faire
Soit G ′ le sous-graphe de G induit par les sommets déjà présentés.
Définir k := χ(G ′ ) et accepter un nouveau sommet v∗ ;
Dans le graphe défini par G ′ ∪ {v∗ }, considérer le plus long chemin
K contenant v∗ . Soit l := |K|;
si l > k alors
Renommer les couleurs déjà attribuées de la manière suivante :
Pour chaque sommet v, renommer sa couleur en concaténant le
nom de sa couleur C(v) avec Cr(v) + 1 sur la droite.
Incrémenter k de 1;
Soit p le rang de v ∗ dans K. Attribuer à v ∗ la couleur
p . . .(k − l + p);
fin
4
12
1
1
6
5
Fig. 5 – Coloration de l’exemple fil rouge par l’algorithme OCC.
11
1
12
12
2
1
3

4.2 Coloration online d’un graphe de co-comparabilité
Le but de ce projet est de colorer un graphe de co-comparabilité, afin de
pouvoir résoudre le problème des plaques de métal. L’algorithme OcCC (de
l’anglais : online co-comparability graph coloring) présenté ci-dessous (Alg. 2)
est un moyen de colorer un tel graphe. Il est fortement inspiré de l’algorithme
OCC.
Un graphe de co-comparabilité est, par définition, non-orienté. Il est donc
impossible de pouvoir appliquer l’algorithme OCC tel quel. C’est pourquoi,
l’algorithme OcCC comprend une phase d’orientation des arêtes. Il oriente
les arêtes de manière à ce que la flèche aille du somment le plus ancien au
sommet le plus récent (selon l’ordre d’arrivée).
Pourquoi avoir choisi cette orientation précise? Il s’agit de l’orientation
la plus intuitive. Nous aurions aussi pu orienter les arcs de manière à ce que
les flèches aillent du sommet les plus récents au plus anciens. Cela aurait
aussi été intuitif, mais l’algorithme OcCC ne fonctionnait pas avec cette
orientation.
Ainsi, nous pouvons appliquer l’algorithme OCC au graphe fraîchement
orienté. L’algorithme OcCC (Alg. 2) est présenté ci-après.
Algorithme 2 : Coloration online d’un graphe de co-comparabilité
(OcCC)
Données : Un graphe de co-comparabilité G délivré online, sommet
par sommet
Résultat : Une coloration de G
1
2
3
4
5
6
7
8
tant que G n’est pas complètement présenté faire
Soit G ′ le sous-graphe de G induit par les sommets déjà présentés.
Définir k := χ(G ′ ) et accepter un nouveau sommet v∗ ;
Pour tous sommets a, b ∈ G ′ ∪ {v∗ }, si (a, b) ∈ G ′ ∪ {v∗ }, orienter
l’arc (a, b) de telle sorte que l’arc aille du sommet le plus ancien au
plus récent;
Dans le graphe orienté défini par G ′ ∪ {v ∗ }, considérer le plus long
chemin K contenant v∗ . Définir l := |K|;
si l > k alors
Pour chaque sommet v, renommer sa couleur en concaténant
Cr(v) + 1 à sa couleur C(v). Poser k := k + 1;
Soit p le rang de v ∗ dans K. Attribuer à v ∗ la couleur
p · · ·(k − l + p);
fin
12

Comme expliqué dans la section précédente, l’algorithme OCC est valable
dans les graphes de comparabilité. Est-ce que la coloration reste admissible
lorsque l’on applique cet algorithme à la version orientée d’un graphe de
co-comparabilité? La réponse est oui. Le théorème qui suit nous l’assure.
Théorème 3. L’algorithme OcCC colore de manière admissible les graphes
de co-comparabilité. Son rapport de compétitivité ρ est n,
où n est le nombre
2
de sommets du graphe.
Démonstration. Elle se base sur quatre affirmations. Notons que l’on dit que
deux sommets v et v ∗ sont sur le même chemin pour dire qu’ils sont liés, i.e.
qu’il existe un chemin allant de v à v ∗ ou l’inverse.
Affirmation 1. Si un sommet v du graphe de co-comparabilité orienté appartient
à deux chemins, tous deux de longueur maximale, alors v sera de
même rang dans chaque chemin.
Démonstration. Supposons, par l’absurde, que v n’ait pas le même rang dans
chaque chemin. Soit K1 le chemin dans lequel le rang de v est le plus petit
et K2 celui dans lequel il est le plus grand. On crée un nouveau chemin en
concaténant les éléments de K2 qui précèdent v, le sommet v et les éléments
de K1 qui suivent v. Ce chemin sera alors plus long que K1 et K2, ce qui
contredit l’hypothèse.
Affirmation 2. Pour tout sommet v de couleur C, il existe un chemin de
longueur χ(G ′ ) + Cl − Cr, où v est de rang Cl.
Démonstration. Ceci est trivial lorsque l’on assigne une couleur à v. Ensuite,
chaque fois que χ(G ′ ) augmente de 1, Cr augmente aussi de 1, par la partie
l > k de l’algorithme OcCC. Ceci nous assure la validité de l’affirmation
2.
Affirmation 3. L’algorithme OcCC donne une coloration admissible du
graphe de co-comparabilité G.
Démonstration. Soit v ∗ le dernier sommet introduit. Soit v un sommet de la
même couleur que v ∗ . Il faut montrer que v et v ∗ ne sont pas sur le même
chemin.
Par l’absurde, supposons que v soit avant v ∗ sur un chemin K. Par l’affirmation
2, le sommet v appartient à un chemin Kv. Toujours par cette
affirmation, le sommet v∗ appartient à un chemin Kv∗ de longueur χ(G′ ) +
Cl(v∗ ) − Cr(v∗ ) et v∗ est de rang Cl(v∗ ) dans Kv∗. De plus, Kv∗ est de longueur
maximale.
Comme dans la preuve de l’affirmation 1, on définit un nouveau chemin en
13

concaténant les éléments de Kv précédant v, les sommets v et v∗ , ainsi que les
sommets de Kv∗ suivant v∗ . Ce chemin sera alors plus long que Kv∗, d’où la
contradiction. Ainsi, v et v ∗ ne sont pas sur le même chemin et la coloration
est admissible.
Le cas v ∗ précédant v se traite de manière similaire.
Les affirmations 1 à 3 nous assurent une coloration admissible du graphe
de co-comparabilité. Il faut encore voir que ρ = n
2 .
Affirmation 4. Toute chaîne de n sommets est le complément d’un graphe
de comparabilité.
Démonstration. Soit une chaîne de n sommets. Prenons son graphe complémentaire
(non-orienté, pour l’instant). On remarque que :
– le sommet {1} est relié à n − 2 autres sommets (tous sauf le {2} et
lui-même);
– les sommets {k} avec k ∈ {2, . . ., n − 1} sont reliés à n − 3 autres
sommets (tous sauf {k − 1}, {k + 1} et lui-même);
– le sommet {n} est relié à n − 2 autres sommets (tous sauf {n − 1} et
lui-même).
Nous orientons le graphe de la manière suivante :
∀ (a, b) ∈ E,
si a < b, alors orienter l’arête de la sorte : a → b
si a > b, alors orienter l’arête de la sorte : b → a
Montrons que ce graphe fraîchement orienté forme un graphe de comparabilité.
Pour ce faire, nous allons montrer que si l’arc (a, b) et l’arc (b, c) sont
dans le graphe, alors l’arc (a, c) y est aussi.
Soient {k}, {i}, {j} trois sommets tels que k, i, j ∈ {1, . . .,n} et k <
i < j. Supposons encore que (k, i) et (i, j) sont dans le graphe. Le sommet
{k} est, grâce à l’orientation, relié à tous les sommets α tels que α > k + 1.
Donc i > k + 1. Par le même argument, j > i + 1. Nous en tirons donc que
j > i + 1 > k + 2 > k + 1. Donc (k, j) est dans le graphe.
Comme k, i, j étaient arbitraires, tout triplet de sommets du graphe vérifie
la propriété d’orientation transitive. C’est un graphe de comparabilité.
Si on donne à OcCC une chaîne de longueur n (qui est un graphe de
co-comparabilité, d’après l’affirmation 4), il va nous donner n couleurs. L’op-
timum serait deux couleurs (alterner les couleurs 1 et 2). Donc ρ ≥ n
2 .
S’il y a n sommets isolés, l’algorithme OcCC va utiliser une seule couleur
(ce qui est l’optimum). Au maximum, OcCC peut donner n couleurs (une
différente pour chaque sommet). De plus, dès qu’il y a un arc dans le graphe,
l’optimum est au moins à deux couleurs. Donc ρ ≤ n
2 .
et le théorème est démontré.
Finalement, ρ = n
2
14

Illustration
Nous donnons ici une instance pour laquelle OcCC atteint sa borne. L’algorithme
va trouver 4 couleurs pour le graphe de co-comparabilité, alors que
l’optimum est 2.
1
4
12
1
2
12
3
1
4
1234
1
2
234
Graphe de comparabilité Graphe de co-comparabilité
Fig. 6 – Présentation du plus mauvais cas pour l’algorithme OcCC.
Remarque 1. L’algorithme OcCC atteint sa borne pour n’importe quelle
chaîne de longueur n.
Coloration de l’exemple fil rouge
Nous allons appliquer l’algorithme OcCC à l’exemple fil rouge. La figure
ci-après (Fig. 7) montre le résultat du passage de l’exemple fil rouge dans
l’algorithme OcCC. Il en ressort une 3-coloration du graphe.
3
4
3
6
5
23
4
123
1
2
23
3
3
123
Fig. 7 – Coloration de l’exemple fil rouge par l’algorithme OcCC.
15
34

4.3 Coloration par l’algorithme First Fit
L’algorithme First Fit est un algorithme basique dans les problèmes de
coloration online. Son principe est simple : dès qu’un sommet arrive, il lui
attribue la couleur la plus petite possible. Nous allons restreindre notre étude
aux graphes de co-comparabilité bipartis.
Rapport de compétitivité de First Fit
Théorème 4. Soit n le nombre de sommets d’un graphe G.
Dans les graphes de co-comparabilité bipartis, First Fit a un rapport de
compétitivité de O( √ n).
Démonstration. Par Online Coloring of Comparability Graphs : some results
[3], nous savons que dans les graphes de permutation bipartis, First
Fit a un rapport de compétitivité de O( √ n). Comme un graphe de permutation
est un graphe de co-comparabilité, nous en déduisons que le rapport
de compétitivité de First Fit dans les graphes de co-comparabilité bipartis,
ρFF, est plus grand que O( √ n). De plus, nous savons que dans les graphes
généraux, First Fit a un rapport de n 1
+ . Ainsi, nous pouvons donner deux
4 2
bornes pour le rapport de compétitivité de First Fit dans les graphes de
co-comparabilité :
O √ n ≤ ρFF ≤ n 1
+ (1)
4 2
Nous allons maintenant essayer de restreindre cet intervalle. Nous allons
abaisser la borne supérieure. Pour ce faire, nous devons trouver le nombre
minimum de sommets n qu’il faut pour forcer la ke couleur.
Remarquons que le graphe de la figure 8 (page 17) est un sous-graphe
interdit. En effet, le complément de ce graphe n’est pas un graphe de comparabilité.
Il faudrait ajouter les arcs qui sont en traitillés. Nous pouvons en
déduire que si un graphe contient ce sous-graphe interdit, il ne sera pas un
graphe de co-comparabilité.
Nous cherchons à remédier à ce problème. Nous allons ajouter un sommet
de couleur 1 (Fig. 9). Le complément du graphe devient un graphe de
comparabilité et donc le graphe un graphe de co-comparabilité.
Nous déduisons de ceci que pour forcer First Fit à ajouter la couleur
3 et que le graphe reste un graphe de co-comparabilité, il faut ajouter un
sommet de couleur 1. Remarquons que l’on pourrait aussi ajouter un sommet
de couleur 2, cela reviendrait au même. Forçons maintenant l’algorithme à
ajouter la couleur 4. En regardant les couleurs 4-3-2, on remarque qu’il y a un
sous-graphe interdit (Fig. 10). Il faudra donc ajouter un troisième sommet
de couleur 2.
16

3
2
1
Ce n’est pas un graphe
de co-comparabilité.
3
2
1
3
2
1
Fig. 8 – Sous-graphe interdit
3
2
1
1
C’est un graphe
de co-comparabilité.
3
2
1
Ce n’est pas un graphe
de comparabilité.
3
2
1
3
2
1
3
2
1
1
C’est un graphe
de comparabilité.
Fig. 9 – Solution pour avoir un graphe de comparabilité
17

4
3
2
1
4
3
2
1
1
En noir, le
sous-graphe interdit.
4
3
2
1
Solution pour éviter
ce sous-graphe interdit.
Fig. 10 – Solution pour éviter le premier sous-graphe interdit.
18
4
3
2
1
1
2

Cependant, l’ajout de ce sommet entraîne la formation d’un nouveau
sous-graphe interdit, et il faut y remédier en ajoutant un sommet de couleur
1 (Fig. 11). Ainsi, pour forcer la couleur 4, nous avons dû ajouter un sommet
de couleur 1 et un de couleur 2.
4
3
2
1
4
3
2
1
1
2
En noir, le
sous-graphe interdit.
4
3
2
1
1
Solution pour éviter
ce sous-graphe interdit.
Fig. 11 – Solution pour éviter le deuxième sous-graphe interdit.
Plus généralement, pour forcer First Fit à ajouter la couleur k et que le
graphe ne présente pas de sous-graphe interdit, il faut ajouter un sommet de
couleur k − 2. De même, pour forcer la couleur k − 1, il faudra ajouter un
sommet de couleur k −3; pour forcer la (k −2) e couleur, ajouter un sommet
de couleur k−4; et ainsi de suite. Ensuite, comme nous l’avons vu pour le cas
k = 4, cela reforme des sous-graphes interdits. Ainsi, pour chaque sommet
ajouté, il faudra aussi ajouter des sommets de couleurs moindres.
Nous aurons donc beaucoup de sommets de couleurs « petites » et peu
de « grandes » couleurs. En fait, le nombre de sommet sera de l’ordre de k 2 .
19
4
3
2
1
1
2

Ainsi, le nombre de couleur est de l’ordre de √ n. D’où
Finalement, de (1) et (2), nous déduisons que
et la preuve est terminée.
ρFF < O( √ n). (2)
ρFF ∼ O( √ n)
Comparaison avec l’algorithme OcCC
Soit n le nombre de sommets d’un graphe G. Comme nous venons de le
voir, l’algorithme First Fit a un rapport de compétitivité dans les graphes
de co-comparabilité de l’ordre de √ n. Le théorème 3 donne le rapport de
). Nous remarquons donc que
compétitivité de OcCC (ρOcCC = n
2
ρFF ≤ ρOcCC pour n ≥ 2.
Le but premier du rapport de compétitivité est de mesurer la performance
des algorithmes afin de les comparer. Vu que le rapport de compétitivité de
First Fit est plus petit que celui de l’algorithme OcCC, nous pouvons affirmer
que First Fit est meilleur qu’OcCC pour la coloration online de graphe de
co-comparabilité bipartis.
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5 Conclusion
Nous avons vu deux méthodes différentes pour résoudre ce problème.
L’algorithme OcCC n’est pas toujours efficace, puisque nous avons vu que
lorsque les sommets arrivent sous forme de chaîne (ou qu’un sous-graphe du
graphe à traiter est une chaîne). Nous trouvons un rapport de compétitivité
de n,
ce qui n’est pas bon du tout. Nous nous sommes ensuite intéressés
2
à un autre algorithme, First Fit. Cet algorithme est bien connu, car il est
simple donc souvent utilisé. Cependant, cet algorithme n’est pas toujours
excellent. Nous avons appliqué First Fit uniquement aux graphes de cocomparabilité
bipartis et trouvé un rapport de compétitivité bien meilleur
que celui d’OcCC, de l’ordre de √ n. Nous en avons déduit que dans les
graphes de co-comparabilité bipartis, OcCC était moins bon que First Fit.
Le problème initial est donc partiellement résolu, puisque nous avons
trouvé un moyen pour répartir les plaques sur nos chariots. Cependant, l’optimum
n’est pas atteint. Il serait donc intéressant de poursuivre ce travail et
trouver d’autres algorithmes qui permettent une couverture par clique d’un
graphe de comparabilité (ou de manière équivalente une couverture par stable
de son complément), de calculer leur rapport de compétitivité et de les comparer
à First Fit, afin de trouver une meilleure solution et donc d’abaisser
encore plus les coûts de production de ces plaques ou de montrer que dans
ce cas particulier First Fit est le meilleur.
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Références
[1] Susanne Albers. Online Algorithms : A Survey. Mathematical Programming,
2003.
[2] Martin Charles Golumbic. Algorithmic Graph Theory and Perfect
Graphs. North Holland (Amsterdam), 2004.
[3] Marc Demange & Benjamin Leroy-Beaulieu. Online coloring of comparability
graphs : some results. April 2007.
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