Minimisation des temps d'attente pour un tournoi sportif joué sur un ...

Minimisation des temps d’attente
pour un tournoi sportif
joué sur un stade unique
Vuistiner Philippe
Sous la responsabilité du Prof. Dominique de Werra
Chaire de Recherche Opérationnelle (ROSE)
Projet de semestre
Automne 2007

Table des matières
Introduction 5
1 Présentation des résultats de l’article 6
1.1 Modélisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Problème avec attentes nulles non autorisées . . . . . . . . . . 9
1.3 Problème avec attentes nulles autorisées . . . . . . . . . . . . 10
2 Extensions 13
2.1 Temps d’attente minimum de deux périodes . . . . . . . . . . 13
2.2 Tournoi joué sur deux stades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Tournoi avec un nombre pair d’équipes . . . . . . . . . 16
2.2.2 Problème avec attentes nulles interdites . . . . . . . . 17
2.2.3 Problème avec attentes nulles autorisées . . . . . . . . 19
3 Quelques problèmes non résolus 21
3.1 Répartition des attentes entre les équipes . . . . . . . . . . . 21
3.2 Tournoi joué sur trois stades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Programmation en nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . 24
Conclusion 25
Bibliographie 26
3

Introduction
Dans le cadre de ce projet de semestre, nous nous intéressons à la création
de calendriers pour des tournois sportifs. Le tournoi compte n équipes et
chacune doit jouer une fois contre toutes les autres. Tous les matches se
déroulant sur un unique stade, nous les répartissons en plusieurs rounds, de
sorte que chaque équipe joue exactement deux matches dans chaque round.
Vu qu’un seul match peut être joué à la fois, des temps d’attente pour les
équipes entre leurs deux matches de chaque round sont inévitables. Si nous
considérons que les équipes effectuent le voyage jusqu’au lieu du tournoi et
rentrent chez elles immédiatement après leur second match, il n’est pas souhaité
qu’elles doivent attendre trop longtemps. On cherchera donc à minimiser
les attentes de chaque équipe. Toutefois, selon la discipline considérée, les
équipes doivent pouvoir avoir un temps de repos entre leurs deux matches,
c’est-à-dire une ou plusieurs périodes d’attente au minimum. Le but de ce
travail est de modéliser ce problème en termes de théorie des graphes afin
de trouver des modèles optimaux respectant diverses contraintes.
Dans le chapitre 1, nous présentons les résultats obtenus dans Knust,
S. [2007]. La section 1.1 présente la modélisation du problème, la section 1.2
traite le cas où les attentes nulles sont interdites, alors que la section 1.3,
celui où les matches peuvent être joués à la suite. Dans le chapitre 2 nous
proposons quelques extensions à ce travail. Nous étudions dans la section 2.1
comment construire un calendrier lorsque les équipes doivent attendre un
minimum de deux périodes entre leurs matches. Ensuite, dans la section 2.2,
nous nous intéressons au cas où les matches sont joués sur deux stades au lieu
d’un stade unique. Enfin, dans le chapitre 3, nous présentons quelques points
auxquels nous nous sommes également intéressés sans aboutir à des résultats
satisfaisants. Dans la section 3.1, nous tentons d’équilibrer les attentes entre
toutes les équipes ; dans la section 3.2, nous étudions le cas d’un tournoi
joué sur trois stades et enfin, dans la section 3.3, nous cherchons à utiliser
la programmation en nombres entiers pour trouver un calendrier quelles que
soient les contraintes données.
5

Chapitre 1
Présentation des résultats de
l’article
Dans cette partie, nous allons présenter le travail effectué par Knust, S.
[2007]. Nous allons tout d’abord voir comment le problème des calendriers a
été modélisé en termes de graphes, puis nous verrons les résultats proposés.
1.1 Modélisation du problème
Le problème considéré peut être formulé ainsi. Etant donné un nombre
n = 2k + 1 impair d’équipes, où chacune doit jouer un match contre chaque
autre, il faut répartir ces n n(n−1)
2 = 2 matches en k rounds, de sorte que
– dans chaque round, les n matches soient joués consécutivement, et
– dans chaque round, chaque équipe joue exactement deux matches.
De plus, selon la discipline sportive, les équipes peuvent ou non jouer deux
matches à la suite. Soit donc α ≥ 0 le plus petit nombre de périodes d’attente
autorisé entre les deux matches d’une même équipe. L’objectif est de trouver
un calendrier qui minimise le total des temps d’attente de chaque équipe,
i.e. les périodes libres entre ses deux matches, ainsi que les longues attentes.
Soit fir le nombre de périodes libres entre les deux matches de l’équipe
i ∈ {1,... ,n} dans le round r ∈ {1,... ,k} et, pour d = 0,1,... ,n − 2, Wd,
qui indique le nombre de temps d’attente de longueur d. Deux fonctionsobjectif
sont considérées :
1. LW ω =
Wd pour une certaine valeur ω ∈ N, et
2. TW =
d≥ω
n
i=1 r=1
k
fir =
d · Wd,
d≥1
que l’on cherche à minimiser.
Une façon de résoudre ce problème est de
6

– partitionner tous les matches en k rounds de sorte que dans chaque
round r ∈ {1,... ,k} chaque équipe joue deux fois, puis
– assigner les n matches de chaque round r aux n périodes en minimisant
les fonctions-objectif.
Pour partitionner les matches en rounds, le graphe complet Kn est
considéré, où les sommets 1,... ,n représentent les équipes et les arêtes [i,j]
correspondent au match entre les équipes i et j. Ceci modélise bien notre
problème : chaque équipe joue contre toutes les autres. Vu que chaque équipe
doit jouer deux matches par round, chacun correspond à un 2-facteur dans
Kn. Rappelons qu’un 2-facteur est un sous-graphe où chaque sommet est
de degré 2. De plus, comme les matches des rounds doivent être différents,
tous les 2-facteurs doivent être disjoints. Une solution de ce premier sousproblème
est donnée par une 2-factorisation ordonnée F = (F1,... ,Fk) où
chaque 2-facteur Fr correspond au round r ∈ {1,... ,k}. Ainsi, l’assignation
des matches aux différentes périodes peut être modélisée en attribuant les
numéros de période 1,... ,n aux n arêtes pour chaque 2-facteur Fr.
Illustrons cette modélisation par un exemple simple. Dans le cas où n = 5
équipes, k = 2 rounds et le temps d’attente minimal autorisé α = 0, le
calendrier S montré dans le tableau 1.1 satisferait les contraintes imposées :
round période 1 période 2 période 3 période 4 période 5
1 1-2 3-4 1-5 2-3 4-5
2 1-3 3-5 2-4 2-5 1-4
Tab. 1.1: Calendrier possible pour un tournoi de cinq équipes.
Les 2-facteurs correspondant F1, F2 sont montrés dans la figure 1.1, où
les sommets E1,...,E5 représentent les équipes et les arêtes sont notées avec
les numéros de périodes P1,... ,P5 associées.
Fig. 1.1: 2-facteurs F1 et F2 pour K5.
Une autre représentation sous forme de graphe est aussi utilisée pour
modéliser ce problème. Soit un round r fixé dans le tournoi. Soit G α n :=
(Vn,E α n ) le graphe non orienté où Vn := {1,... ,n}, l’ensemble des sommets,
7

eprésente les matches du round et Eα n := {[s,t] | |t − s| > α} représente
l’ensemble des arêtes. Une arête [s,t] ∈ Eα n correspond à une équipe qui
joue ses deux matches du round aux périodes s et t (avec temps d’attente
|t − s| − 1 ≥ α).
Comme chaque match implique deux équipes, un calendrier pour le round
r induit donc une 2-factorisation ˆFr dans G α n
. De plus, considérant tous les
rounds r = 1,... ,k ensemble, chaque paire (i,j) d’équipes (i = j) doit être
incidente à un même sommet dans l’un des 2-facteurs ˆ Fr.
Pour l’exemple précédent, les 2-facteurs ˆ F1, ˆ F2 sont montrés dans la figure
1.2, où chaque arête est marquée de l’équipe assignée.
Fig. 1.2: 2-facteurs ˆ F1 et ˆ F2 pour G 0 5.
Le problème est ainsi décrit par
– une 2-factorisation F = (F1,...,Fk) ordonnée du graphe complet Kn,
qui détermine quelles équipes se rencontrent dans quel round, et où,
dans chaque Fr, les arêtes sont marquées avec les numéros des périodes
P1,...,Pn, ou
– une suite de 2-facteurs ( ˆ F1,..., ˆ Fk) dans Gα n , qui détermine quels
matches sont joués par une équipe dans un round, et où dans chaque
ˆFr, les arêtes sont marquées avec les numéros des équipes E1,... ,En,
telles que toute paire (Ei,Ej) d’équipes est incidente à un certain
sommet dans l’un des 2-facteurs exactement.
La première représentation est plus adaptée pour voir que chaque équipe
joue contre chacune des autres, alors que le second graphe est utilisé afin de
prouver l’optimalité des fonctions-objectif en respectant les temps d’attente.
La méthode utilisée dans l’article pour construire un calendrier optimal
est la suivante :
1. Trouver un 2-facteur optimal ˆ F dans Gα n qui peut être utilisé pour
chaque round, simplement en assignant les équipes différemment sur
les arêtes du graphe.
2. Trouver une 2-factorisation F = (F1,... ,Fk) de Kn, où chaque Fr a
la même structure de cycle que ˆ F.
8

3. Pour chaque round r = 1,... ,k et chaque λ = 1,... ,µr, considérer le
cycle C λ r d’équipes dans Fr et assigner ces équipes aux arêtes du cycle
correspondant Ĉλ r dans ˆ F.
1.2 Problème avec attentes nulles non autorisées
L’auteur de l’article s’intéresse tout d’abord au problème où α = 1,
c’est-à-dire que les équipes doivent obligatoirement avoir au minimum une
période de repos entre leurs deux matches d’un même round. Nous voyons
immédiatement que par exemple dans le cas où n = 3, il n’existe pas de solution
; en effet, il serait impossible de jouer tous les matches consécutivement.
On remarque aisément qu’on ne pourra pas éviter des attentes d’au moins
deux périodes, les équipes qui se sont affrontées ne peuvent pas jouer à nouveau
l’une contre l’autre, ainsi, l’une d’elles devra nécessairement attendre
une période supplémentaire. Le but sera donc d’essayer de ne pas avoir d’at-
tentes plus longues, en minimisant la fonction-objectif LW ω pour ω = 3.
Pour ceci, l’auteur considère G α,β
n = (Vn,E α,β
n ), le sous-graphe de G α n ,
où β ≥ α + 1 = 2 et E α,β
n := {[s,t] | α ≤ |t − s| − 1 ≤ β} contient toutes les
arêtes avec temps d’attente compris entre α et β.
Si un 2-facteur dans G 1,2
n existe, alors cela permettra d’obtenir un calendrier
optimisant LW 3 = 0.
Tout d’abord, l’auteur étudie les valeurs n ≥ 11 car dans ces situa-
tions, les attentes de 3 peuvent toujours être évitées. En effet, G 1,2
n contient
un 2-facteur C ∗ n
. Celui-ci est montré dans la figure 1.3, il est obtenu en
concaténant les segments (1,3),(6,8,... ,n−5),(n−2,n),(n−3,n−1),(n−
4,n − 6,... ,5) et (2,4). Chacun de ces segments contient uniquement des
arêtes représentant des attentes d’une seule période, ainsi, la construction
de C ∗ n nécessite six arêtes avec deux périodes d’attente. Pour un round, les
équipes doivent attendre au maximum deux périodes (LW 3 = 0) et le temps
d’attente total est TW = n + 6.
Fig. 1.3: Cycle C ∗ n
dans G1,2
n
pour n ≥ 11. Les sommets modélisent les périodes
d’un round et les arêtes représentent les équipes.
De plus, un tel 2-facteur C ∗ n peut être utilisé pour les attributions des
matches de chaque round du tournoi, car pour tout entier n impair, le
graphe Kn peut être décomposé en une réunion de cycles hamiltoniens
H = (H1,...,Hk) où chacun a la même structure de cycle que C ∗ n (Fig.
9

1.4). Rappelons qu’un cycle hamiltonien est un cycle passant par tous les
sommets du graphe une fois exactement. Ces cycles sont obtenus en fixant
l’équipe n et en permutant les n − 1 autres.
Fig. 1.4: 2-factorisation H consistant en k cycles hamiltoniens. Les sommets
modélisent les équipes.
Ainsi, l’auteur arrive à la conclusion suivante :
Théorème 1. Pour n ≥ 11, les calendriers basés sur le cycle C ∗ n
dans G1,2
n
et la 2-factorisation hamiltonienne H de Kn possèdent comme fonctionsobjectif
LW 3 = 0 et TW = (n + 6)k. Ils minimisent LW 3 et TW simultanément.
La démonstration de ce résultat est effectuée dans Knust, S. [2007] aux
pages 6 et 7. Les cas où n = 5,7,9 sont traités séparément. Il est parfois
impossible d’éviter les attentes de trois périodes. Les résultats trouvés sont
les suivants :
Théorème 2. Pour n = 5, les calendriers basés sur le cycle C∗ 5 = (1,3,5,2,4)
et sur la 2-factorisation hamiltonienne H de K5 possèdent comme fonctionsobjectif
LW 3 = 0 et TW = 7k = 14. Ils minimisent LW 3 et TW simultanément.
Théorème 3. Pour n = 7,9, les calendriers basés sur H dans Kn et sur les
cycles C∗ 7 = (1,3,6,2,5,7,4) et C∗ 9 = (1,3,7,9,6,8,5,2,4) respectivement
dans G 1,3
n possèdent comme fonctions-objectif LW 3 = k et TW = (n + 6)k.
Ils minimisent LW 3 et TW simultanément.
1.3 Problème avec attentes nulles autorisées
Dans la deuxième partie de son article, l’auteur considère le cas α = 0,
c’est-à-dire que les équipes peuvent jouer deux matches consécutivement. Il
est évident que dans chaque round, des équipes doivent forcément avoir des
10

temps d’attente d’au moins une période. Nous considérons donc la fonctionobjectif
LW 2 .
Comme précédemment, le sous-graphe G α,β
n = (Vn,E α,β
n ) de Gα n est utilisé.
Si, pour β = 1, un 2-facteur existe, alors le calendrier correspondant
aura la fonction-objectif optimale LW 2 = 0. Pour tout n ≥ 3, il existe un
tel 2-facteur. Par contre, contrairement au cas précédent, un grand cycle ne
minimise pas le total des temps d’attente, en effet, le cycle ˜ Cn contient n −2
arêtes avec des temps d’attente d’une période. Il est préférable de prendre
un ensemble de petits cycles. Il est clair que pour minimiser le total des
attentes, il faut minimiser le nombre de temps d’attente de valeur 1, c’est-
à-dire trouver un 2-facteur ˆ F ∗ dans G 0,1
n qui contient autant que possible de
triangles (cycles de longueur trois), car dans chaque triangle, on a un seul
temps d’attente. La figure 1.5 illustre un 2-facteur possible dans G 0,1
n avec
des cycles de longueur trois, quatre et cinq.
Fig. 1.5: Décomposition du graphe G 0,1
15
Il est cependant nécessaire de distinguer trois cas :
en cycles de longueurs 3, 3, 4 et 5.
1. si n mod 6 = 3, un 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n
3
triangles (1,2,3),(4,5,6), etc.
contient n
3
2. si n mod 6 = 1, un 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n+2
3 contient le
cycle (1,2,4,3) de longueur 4 et n−4
3 triangles (5,6,7),(8,9,10), etc.
3. si n mod 6 = 5, un 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n+4
3 contient soit
(i) le cycle (1,2,4,5,3) de longueur 5 et n−5
3 triangles (6,7,8), etc.
(pour n ≥ 5), soit
(ii) les deux cycles (1,2,4,3) et (5,6,8,7) de longueur 4 et n−8
3 triangles
(9,10,11), etc. (pour n ≥ 11).
De plus, l’auteur montre qu’il est possible de trouver une 2-factorisation
de Kn où chaque 2-facteur a la même structure de cycle que ˆ F ∗ en résolvant
un problème d’Oberwolfach. Voici la définition de ce problème telle que
donnée dans van Weert, A., Schreuder, J.A.M. [1998] :
Définition 1. Le problème d’Oberwolfach est de trouver pour K2k+1 une
partition des arêtes en k 2-facteurs Fr isomorphes. Chaque Fr consiste en
des cycles d’arêtes disjointes Ck1 ,Ck2 ,...,Cks où k1 +k2+...+ks = 2k+1,
k1 à ks sont les longueurs des cycles. Le problème est noté OP(k1,... ,ks).
L’auteur arrive ainsi au résultat suivant :
11

Théorème 4. Pour n ≥ 3, les calendriers basés sur le 2-facteur ˆ F ∗ dans
G 0,1
n et une solution du problème d’Oberwolfach associé ont les fonctionsobjectif
LW 2 = 0 et TW = (2
n−3
6 + 1)k. Ils minimisent LW 2 et TW
simultanément.
12

Chapitre 2
Extensions
Après avoir présenté les résultats de Knust, S. [2007], nous nous intéressons
à quelques extensions possibles à ce problème.
2.1 Temps d’attente minimum de deux périodes
L’auteur a étudié les cas dans lesquels les équipes peuvent jouer leurs
deux parties consécutivement (α = 0) et ceux où une période de repos
est nécessaire (α = 1). L’auteur a montré que dans chacun des cas, pour
un nombre n suffisamment grand d’équipes, des calendriers existent avec
uniquement des attentes de α et α + 1. L’auteur suppose dans la conclusion
de son article, que pour tout α > 1, il existe un nombre nα tel que pour tout
n ≥ nα, il est possible de construire de tels calendriers.
Nous nous intéressons ainsi au cas α = 2. Si la discipline pratiquée est
particulièrement éprouvante, ou si les matches ont une durée très courte, il
peut être intéressant de trouver des calendriers pour lesquels chaque équipe
doit attendre au moins deux périodes entre leurs deux matches d’un même
round.
Nous allons reprendre la méthode proposée dans Knust, S. [2007] et
l’adapter à cette nouvelle situation. Plus précisément, étant donné qu’il est
impossible d’éviter les attentes de trois périodes car les équipes ne s’affrontent
qu’une seule fois, nous cherchons un calendrier qui ne contient au-
cune attente supérieure, c’est-à-dire qui optimise la fonction-objectif LW 4 .
Nous considérons donc le sous-graphe G 2,3
n = (Vn,E 2,3
n ), où chaque sommet
représente une période du round et E 2,3
n = {[s,t] | 2 ≤ |t−s|−1 ≤ 3}. Si nous
trouvons un 2-facteur dans ce graphe, alors la valeur de la fonction-objectif
du calendrier correspondant sera de LW 4 = 0.
Nous remarquons aisément que pour n = 7, le cycle (1,5,2,6,3,7,4)
n’induit aucune attente de quatre périodes et occasionne un total d’attentes
de 17. Ainsi, pour un nombre d’équipes n tel que n mod 14 = 7, un calendrier
existe avec LW 4 = 0 et TW = k( n
7 17).
13

Nous cherchons à trouver un modèle dans G 2,3
n qui puisse se répéter
autant de fois que souhaité, afin d’obtenir un résultat valable quel que soit
le nombre d’équipes considérées. La figure 2.1 illustre que 21 périodes sont
nécessaires avant de parvenir à cette structure. A partir de là, nous voyons
qu’il est possible d’ajouter un multiple quelconque de six équipes.
Fig. 2.1: 2-facteur dans le graphe G 2,3
n .
Montrons que ce 2-facteur est celui qui minimise le total des attentes.
En considérant les 21 premières périodes uniquement, nous remarquons que
TW = 14 · 2 + 6 · 3 = 46. Nous avons donc six arêtes représentant des
attentes de trois périodes. Voyons s’il est possible de diminuer ce nombre.
Tout d’abord, remarquons que les arêtes (1,4), (1,5), (2,5), (2,6), (3,6),
(3,7), (9,12) et (9,13) sont obligatoires si l’on cherche un 2-facteur. Parmi
ces huit arêtes, quatre représentent des attentes de trois périodes. Le sommet
8 peut être relié aux sommets 4, 11 et 12. Parmi ces trois arêtes, deux
représentent des attentes de trois ; nous sommes donc obligés d’en prendre
une. Enfin, si on choisit l’arête (10,13), on doit utiliser une arête de 3 attentes
sur le sommet 16. Si on ne prend pas l’arête (10,13), on doit utiliser l’arête
(10,14), qui représente trois attentes. Nous voyons donc qu’il est impossible
d’utiliser moins de huit arêtes avec trois attentes. Ainsi, le modèle proposé
dans la figure 2.1 minimise le total des attentes.
Pour les structures de six périodes qui peuvent se répéter dans le graphe,
il est impossible d’obtenir moins d’attentes. En effet, un maximum d’arêtes
représentant deux attentes est utilisé.
Pour couvrir l’ensemble des possibilités, il est maintenant nécessaire de
considérer trois cas séparément :
1. n mod 6 = 1 ;
2. n mod 6 = 3 ;
3. n mod 6 = 5.
Dans le cas où n = 6p + 1 (premier cas), la figure 2.2 illustre le 2-facteur
dans G 2,3
n . Il est nécessaire d’avoir au moins 43 équipes pour réaliser un tel
modèle.
En considérant les 22 dernières périodes uniquement, ce modèle engendre
38 attentes. Il est possible de trouver un 2-facteur générant moins de temps
14

Fig. 2.2: 2-facteur C∗ n dans G2,3 n lorsque n = 6p + 1, n ≥ 43.
d’attente, cependant il utilise 19 sommets. En le concaténant avec les 21+6t
premiers, on obtient un nombre pair d’équipes. On en déduit la nécessité de
composer le modèle de la figure 2.2. Il semble que ce soit la meilleure solution,
mais nous n’avons pas pu le prouver.
Dans le cas où n = 6p + 3, la figure 2.3 illustre le 2-facteur dans G 2,3
n . Il
est nécessaire d’avoir au moins 21 équipes pour réaliser un tel modèle.
Fig. 2.3: 2-facteur C ∗ n dans G 2,3
n lorsque n = 6p + 3, n ≥ 21.
Montrons que ce modèle est celui qui engendre le moins d’attentes. En
considérant les 13 derniers sommets uniquement, nous remarquons tout
d’abord que les arêtes (n,n − 3), (n,n − 4), (n − 1,n − 4), (n − 1,n − 5),
(n −2,n −5), (n −2,n −6), (n −8,n −11) et (n −8,n −12) sont obligatoires
pour obtenir un 2-facteur. Parmi celles-ci, quatre arêtes représentent des attentes
de trois. Le sommet n−7 peut être relié à n−3, n−10 et n−11. Parmi
ces trois arêtes possibles, deux représentent des attentes de trois périodes,
nous sommes donc contraints d’en choisir une. Ainsi, le modèle construit est
bien celui pour lequel le total des attentes est minimal. Pour ces 13 périodes,
nous obtenons TW = 7 · 2 + 5 · 3 = 29.
Considérons maintenant le troisième cas, celui où n = 6p+5, la figure 2.4
montre le 2-facteur dans G 2,3
n . Il est nécessaire d’avoir au moins 35 équipes
pour réaliser un tel modèle.
Fig. 2.4: 2-facteur C ∗ n
dans G2,3
n
lorsque n = 6p + 5, n ≥ 35.
Montrons qu’il est impossible de trouver un 2-facteur générant moins de
temps d’attente. En considérant les 14 derniers sommets du graphe, nous
remarquons que les arêtes (n,n−3), (n,n−4), (n − 1,n−4), (n − 1,n−5),
15

(n −2,n −5), (n −2,n −6), (n −8,n −11) et (n −8,n −12) sont obligatoires
pour que chaque sommet puisse être de degré deux. Ensuite, le sommet n−7
ne peut être relié qu’aux sommets n−3, n−10 et n−11. Parmi ces trois arêtes
possibles, deux représentent des attentes de trois. Il est donc inévitable d’en
choisir une. Ainsi nous avons obtenu un 2-facteur qui minimise le total des
attentes. Pour ces 14 périodes, nous obtenons TW = 31.
Maintenant que nous avons trouvé des 2-facteurs qui minimisent le total
des attentes, il reste à trouver une 2-factorisation du graphe complet Kn où
chaque 2-facteur respecte la même structure de cycles que C ∗ n
. Les modèles
obtenus consistent en des cycles hamiltoniens, nous pouvons donc utiliser
la 2-factorisation H telle qu’utilisée dans Knust, S. [2007] et montrée à la
figure 1.4. Nous pouvons ainsi composer un calendrier en répartissant les
équipes selon ce modèle.
Nous obtenons les résultats suivants :
Théorème 5. Pour n = 6p+3, n ≥ 21, les calendriers basés sur le cycle C∗ n
dans G 2,3
n et la 2-factorisation H de Kn possèdent comme fonctions-objectif
LW 4 = 0 et TW = 1
3 (7n+6)k. Ils minimisent LW 4 et TW simultanément.
Théorème 6. Pour n = 6p+5, n ≥ 35, les calendriers basés sur le cycle C∗ n
dans G 2,3
n et la 2-factorisation H de Kn possèdent comme fonctions-objectif
LW 4 = 0 et TW = 1
3 (7n −2)k. Ils minimisent LW 4 et TW simultanément.
2.2 Tournoi joué sur deux stades
Le raisonnement de Knust, S. [2007] était basé sur le fait que tous les
matches doivent être joués sur un stade unique. Considérons à présent le
cas où deux stades sont disponibles. Comme précédemment, chaque équipe
doit jouer une fois contre chacune des autres et les matches sont répartis en
plusieurs rounds de sorte que chaque équipe joue exactement deux matches
par round. Le but est toujours de minimiser les attentes entre les deux
matches d’une même équipe. Afin d’avoir autant de matches sur chacun des
stades, il faut que chaque round compte un nombre pair de matches. Ceci
implique un nombre pair d’équipes. En effet, chaque round compte autant
de matches qu’il y a d’équipes, il y aura donc n
2 matches sur chaque stade.
Voyons comment traiter le cas d’un nombre pair d’équipes.
2.2.1 Tournoi avec un nombre pair d’équipes
Jusqu’à présent, nous nous sommes intéressés uniquement au cas avec
un nombre impair d’équipes. Ceci était motivé par le fait qu’ainsi, chacune
jouait un nombre pair de matches qui pouvaient facilement être répartis
sur plusieurs rounds. Considérons maintenant un tournoi comprenant un
nombre pair d’équipes. Nous souhaitons construire un calendrier respectant
16

les mêmes contraintes que précédemment. Dans Knust, S. [2007], l’auteur
envisage deux possibilités, sans les développer en détail.
La première est de considérer une équipe factice, ce qui ramène le pro-
blème au cas impair, et de partitionner les matches en n
2
rounds. En effet,
nous pouvons utiliser le même calendrier que dans le cas impair, ce qui
signifie que dans chaque round, deux équipes ne jouent qu’un seul match, le
deuxième étant contre l’équipe factice. Ainsi, les matches d’un même round
ne sont pas joués sans interruptions mais avec deux périodes de pause.
La deuxième possibilité, celle que nous allons utiliser pour la suite, est
de partitionner les matches en n−2
2 rounds dans lesquels chaque équipe joue
exactement deux matches et un round supplémentaire où les équipes ne
jouent qu’un seul match. L’avantage de cette méthode est que dans chaque
round, tous les matches sont joués à la suite, sans interruptions. Par contre,
les équipes doivent participer à un dernier round dans lequel elles ne jouent
qu’un seul match.
2.2.2 Problème avec attentes nulles interdites
Nous allons tout d’abord traiter le cas où α = 1. Nous allons chercher
un calendrier où tous les matches d’un round sont joués successivement et
avec un dernier round dans lequel les équipes ne jouent qu’un seul match.
Pour modéliser ce problème sous forme de graphe, nous appelons chaque
sommet p.s, ce qui représente le match joué à la période p, p ∈ {1,... , n
2 },
sur le stade s, s ∈ {1,2}. Une arête [p1.s1,p2.s2] représente une équipe qui
joue ses deux matches du round aux périodes p1 et p2 sur les stades s1 et
s2 respectivement. Comme dans Knust, S. [2007], nous allons tout d’abord
chercher un 2-facteur ˆ F dans le graphe G α n
qui minimise le total des attentes
pour un round, puis utiliser ce modèle pour chaque round. Nous trouverons
ensuite une 2-factorisation F de Kn qui respecte la même structure de cycles
que ˆ F afin de pouvoir attribuer les équipes aux différents matches.
Puisque deux stades sont disponibles, deux équipes ayant joué leur premier
match l’une contre l’autre peuvent jouer leur deuxième match simultanément,
mais sur un stade différent. Ainsi, les deux équipes auront une
seule période d’attente. Par contre, l’une d’elles jouera ses deux matches sur
le même stade. Pour pouvoir éviter les attentes de deux périodes, il faut que
le nombre d’équipes soit égal à un multiple de huit. La figure 2.5 montre le
2-facteur ˆ F ∗ dans G 1 n
qui ne génère que des attentes d’une seule période.
Le total des attentes sera évidemment minimal, par contre, la moitié des
équipes jouera ses deux matches d’un même round sur le même stade.
Si nous ajoutons la contrainte supplémentaire que toutes les équipes
doivent jouer leurs deux matches sur un stade différent, nous voyons qu’il
sera impossible d’éviter les attentes de deux périodes. Nous allons donc
considérer le sous-graphe G 1,2
n dans lequel les arêtes représentent uniquement
des attentes de une et deux périodes et y chercher un 2-facteur. Ceci
17

Fig. 2.5: 2-facteur ˆ F ∗ dans G 1 n minimisant le total des attentes pour n = 8t. Un
sommet p.s représente le match de la période p joué sur le stade s.
permettra de minimiser LW 3 . Pour un nombre d’équipes n ≥ 22, le 2-facteur
optimal C∗ n dans G 1,2
n est montré dans la figure 2.6. Il est obtenu à partir du
2-facteur de la figure 1.3 qui est celui minimisant le total des attentes pour
un seul stade. Chaque arête représente une équipe et relie deux sommets
représentant un stade différent. Ce modèle satisfait toutes les contraintes
souhaitées et minimise le total des attentes TW. Il n’utilise que 12 arêtes
représentant des attentes de deux périodes, nous obtenons alors un total
d’attentes TW = 12 · 2 + (n − 12) · 1 = n + 12 pour chaque round.
Fig. 2.6: 2-facteur C ∗ n dans G 1,2
n pour n ≥ 22. Un sommet p.s représente le match
de la période p joué sur le stade s.
Le 2-facteur que nous obtenons est un cycle hamiltonien, nous pouvons
donc utiliser la 2-factorisation H de Kn telle que représentée dans la figure
1.4. Ceci permet d’attribuer tous les matches des n−2
2 premiers rounds. Pour
le dernier round, chaque équipe ne joue qu’un seul match, il peut donc être
joué indifféremment sur l’un ou l’autre stade et n’engendre aucun temps
d’attente supplémentaire. Ceci nous permet d’aboutir au résultat suivant :
Théorème 7. Pour n ≥ 22, des calendriers basés sur le 2-facteur C∗ n dans
G 1,2
n et sur la 2-factorisation hamiltonienne H de Kn possèdent comme
fonctions-objectif LW 3 = 0 et TW = (n + 12) n−2
2 . Ils optimisent LW 3
et TW simultanément.
Voyons à présent s’il est possible de trouver un calendrier minimisant
LW 3 si le nombre d’équipes est inférieur à 22. En s’inspirant des résultats
de Knust, S. [2007], nous voyons que pour n = 10, un tel calendrier existe,
consiste en un cycle hamiltonien et est tel que TW = 14 · n−2
2 = 56, ce qui
est optimal. Ainsi, pour n = 20, nous pouvons également trouver un modèle
en reproduisant ce cycle deux fois, ce qui donne TW = 2 ·14 · n−2
2 = 252. Ce
modèle est meilleur qu’un unique cycle hamiltonien, car on obtiendrait dans
18

ce cas 288 périodes d’attente. Ceci est illustré sur la figure 2.7. En prenant
un seul cycle de 20 équipes, nous utilisons les arêtes en pointillés au lieu de
celles en traitillés, ainsi, nous augmentons le total d’attentes.
Fig. 2.7: 2-facteur dans G 1,2
20 . Les arêtes en pointillés sont utilisées pour former un
cycle de 20 équipes, celles en traitillés, pour créer deux cycles de dix.
Par contre, pour toutes les autres valeurs de n inférieures à 22, il est im-
possible de trouver un 2-facteur dans G 1,2
n . Ainsi, il n’existe aucun calendrier
tel que LW 3 = 0.
2.2.3 Problème avec attentes nulles autorisées
Nous souhaitons à présent traiter le cas où il est possible d’avoir aucune
attente entre les deux parties d’une même équipe (α = 0). Pour modéliser ce
problème, nous utilisons la même représentation sous forme de graphe que
ci-dessus. Si nous n’exigeons pas que les équipes doivent jouer leurs deux
matches d’un même round sur deux stades différents, nous voyons que si
le nombre d’équipes est un multiple de 4, il est possible de construire un
calendrier ne générant aucune attente. La figure 2.8 illustre ce cas. Nous
voyons cependant que la moitié des équipes joue leurs deux matches sur un
même stade.
Fig. 2.8: 2-facteur ˆ F ∗ dans G 0 n
minimisant le total des attentes pour n = 4t. Un
sommet p.s représente le match de la période p joué sur le stade s.
Si nous ajoutons maintenant la contrainte supplémentaire que chaque
équipe doit jouer ses deux matches sur un stade différent, nous pouvons reprendre
les arguments de Knust, S. [2007] et les adapter à ce cas-ci. Nous
remarquons que le total des attentes sera minimal si le 2-facteur ˆ F ∗ dans
G 0,1
n contient le plus possible de cycles de longueur six. En effet, ces cycles
ne génèrent que deux attentes. Toutefois, selon le nombre d’équipes participant
au tournoi, il sera obligatoire de considérer des cycles de différentes
longueurs. Nous pouvons également construire des cycles de huit périodes
générant quatre attentes, et des cycles de longueur dix générant six attentes.
19

Ainsi, le modèle minimisant le total des attentes est obtenu en prenant autant
que possible de cycles de longueur six et un cycle de longueur huit ou
dix. La figure 2.9 illustre ces trois cycles.
Fig. 2.9: Cycles de 6 périodes (a), 8 périodes (b) et 10 périodes (c). Un sommet p.s
représente le match de la période p joué sur le stade s.
Ainsi, nous distinguons trois cas selon le nombre d’équipes :
1. si n mod 6 = 0, un 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n
3
cycles de longueur 6.
contient n
6
2. si n mod 6 = 2, un 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n+4
3 contient n−8
6
cycles de longueur 6 et un cycle de longueur 8.
3. si n mod 6 = 4, un 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n+8
3 contient soit
(i) n−10
6 cycles de longueur 6 et un cycle de longueur 10, soit
(ii) n−16
6 cycles de longueur 6 et deux cycles de longueur 8.
Il reste à savoir si ces modèles peuvent être utilisés pour construire un
calendrier. Il faut donc trouver une 2-factorisation du graphe complet Kn où
chaque 2-facteur a la même structure de cycle que ˆ F ∗ . Appelons Kn − I le
graphe obtenu en retirant n
2 arêtes deux à deux disjointes de Kn. Les arêtes
ainsi retirées représentent les matches du dernier round du tournoi. Il faut
à présent résoudre un problème d’Oberwolfach dans le graphe Kn − I. Les
problèmes associés sont les suivants :
1. si n mod 6 = 0, OP(6,... ,6),
2. si n mod 6 = 2, OP(6,... ,6,8),
3. si n mod 6 = 4, soit
(i) OP(6,... ,6,10), soit
(ii) OP(6,... ,6,8,8).
Si de tels problèmes possèdent une solution, alors nous pouvons construire
un calendrier en assignant les équipes dans les différents rounds.
20

Chapitre 3
Quelques problèmes non
résolus
Dans cette partie, nous présentons quelques points auxquels nous nous
sommes intéressés sans aboutir à des résultats concrets.
3.1 Répartition des attentes entre les équipes
Dans Knust, S. [2007], l’auteur a développé les modèles qui engendrent
le moins d’attentes au total. Cependant, seul le total de toutes les équipes
est minimisé. Si nous calculons les attentes individuelles pour chaque équipe,
nous remarquons qu’elles ne sont pas réparties uniformément ; certaines
équipes doivent attendre plus que d’autres. Lorsque nous avons trouvé le
2-facteur ˆ F dans G α,β
n ainsi qu’une 2-factorisation H de Kn, il existe de nombreuses
possibilités d’assigner les équipes aux différentes périodes de chaque
round. Il est clair que chaque assignation engendre un total d’attentes identique,
mais il se pourrait que certaines répartitions soient meilleures que
d’autres en ce qui concerne les attentes de chaque équipe.
Définissons TWe comme étant le nombre total d’attentes de l’équipe e,
n
e ∈ {1,... ,n}, avec TWe = TW. Le but serait de minimiser une nouvelle
fonction-objectif
e=1
EM = max
1≤i,j≤n |TWi − TWj|
représentant le plus grand écart d’attentes entre les équipes.
Intéressons-nous pour commencer au cas α = 1. L’auteur a montré (voir
le théorème 1 page 10) qu’un calendrier optimal minimisait LW 3 = 0 et
TW = (n + 6)k. Ceci signifie que pour minmiser EM, nous devrions avoir
n−3 équipes qui attendent k+3 périodes et 3 équipes avec k+2 attentes, en
effet, (n + 6)k = (n − 3)(k + 3)+3(k + 2). Nous obtiendrions ainsi EM = 1.
Cependant, la 2-factorisation H proposée fixe l’équipe n sur le graphe, ce
21

qui signifie que cette équipe aura le même nombre de périodes d’attente
dans chaque round. Ainsi, l’équipe n devra attendre soit k soit 2k périodes,
car les attentes sont de durée une ou deux périodes par round. Nous voyons
donc qu’il est impossible d’obtenir l’optimum avec ce modèle, mais nous
remarquons qu’il est préférable que l’équipe n attende k périodes, ce qui est
plus proche de la valeur moyenne k + 3. Nous décidons donc de faire jouer
l’équipe n aux périodes 1 et 3 dans chaque round, ainsi, elle aura un total
d’attentes égal à k. Il reste (n + 6)k − k = 2k(n + 3) attentes à répartir
entre les n − 1 = 2k autres équipes. Il serait donc possible que chacune
des équipes restantes possède un total d’attentes égal à n + 3 périodes. Or,
dans le modèle H proposé, les équipes avec des attentes de 2 périodes sont
réparties de façon telle qu’il est impossible de les permuter et d’équilibrer
leurs attentes.
Ainsi, nous voyons qu’il est préférable d’accorder une seule attente par
round à l’équipe n, par contre, les autres équipes n’auront pas toutes le même
nombre de périodes d’attente. Il serait intéressant de chercher s’il existe une
autre 2-factorisation de Kn en un cycle hamiltonien, car celle-ci répartirait
peut-être mieux les attentes.
Pour le cas α = 0, nous remarquons que le total des attentes est
n − 3 2n k − 1 n − 2 k + 2
TW = 2 + 1 k =
+
6
3 3 3 3
(voir le théorème 4 page 12). Ainsi, le cas idéal serait d’avoir
2n
3 équipes
qui attendent
k−1
n−2
k+2
3 périodes et 3 équipes qui attendent 3 périodes.
Ceci optimiserait EM = 1 qui serait optimal car le nombre total d’attentes
n’est pas un multiple du nombre d’équipes, ainsi il est impossible d’avoir
EM = 0.
3.2 Tournoi joué sur trois stades
Après avoir étudié les tournois joués sur un stade unique puis sur deux
stades, il paraissait intéressant de voir ce qui arrive si les équipes disposent
de trois stades pour le tournoi. Il semblerait a priori qu’il est possible de diminuer
les temps d’attente de chaque équipe tout en respectant la contrainte
de jouer les deux matches d’un même round sur des stades différents. En
effet, deux équipes qui viennent de s’affronter peuvent toutes les deux rejouer
simultanément sur un stade différent. Le premier problème rencontré
est que pour avoir autant de matches sur chacun des stades, il faut que le
nombre d’équipes soit un multiple de 3, ceci implique que n n’a pas toujours
la même parité.
Pour modéliser ce problème, construisons le graphe G α,β
n = (Vn,E α,β
n )
où Vn = {p.s | p = 1,... , n
3 et s ∈ {1,2,3}} est l’ensemble des sommets
qui représentent une période d’un round sur un certain stade et les arêtes
22

eprésentent uniquement les temps d’attente compris entre α et β et reliant
deux stades différents.
En nous intéressant tout d’abord au cas α = 1, nous remarquons que si
le nombre d’équipes est un multiple de 12, il est possible de construire un 2facteur
dans G 1 n qui ne génère aucune attente de longueur 2 et tel que chaque
arête relie deux stades différents. La figure 3.1 illustre un tel 2-facteur, il est
cycles de longueur 6.
composé de n
6
Fig. 3.1: 2-facteur dans G 1 n pour n = 12t.
Un calendrier basé sur un tel 2-facteur possède comme fonctions-objectif
LW 2 = 0 et TW = nk, ce qui est optimal.
Par contre, il devient très compliqué de trouver un 2-facteur dans un
cadre plus général. En effet, dans le graphe G 1,2
n , la plupart des sommets
étant de degré 8, il est difficile d’y trouver un 2-facteur.
Pour le cas où α = 0, il est possible de trouver un modèle ne générant
aucune attente si le nombre d’équipes est égal à un multiple de 6. Un calendrier
basé sur un tel modèle minimiserait LW 1 et TW. Ce modèle est
illustré dans la figure 3.2.
Fig. 3.2: 2-facteur dans G 0 n
pour n = 6t.
Pour trouver un modèle plus général, nous sommes confrontés au même
problème que lorsque α = 1.
23

3.3 Programmation en nombres entiers
Nous remarquons que selon les contraintes imposées, il devient extrêmement
difficile de trouver un modèle satisfaisant dans un cas général. Il serait
intéressant de pouvoir résoudre le problème numériquement. Pour cela, nous
pouvons utiliser la programmation en nombres entiers, en fixant des variables
qui peuvent prendre les valeurs 0 ou 1 uniquement. Dans le cas qui nous
intéresse, les variables utilisées sont
⎧
⎨ 1 si l’équipe i joue contre l’équipe j à la période p
xijpsr = sur le stade s dans le round r,
⎩
0 sinon,
où i,j ∈ {1,... ,n}, p ∈ {1,... ,n}, s ∈ {1,... ,ns} (où ns est égal au nombre
de stades à disposition) et r ∈ {1,... , n−1
2 } (dans le cas où n est impair).
Nous devons à présent modéliser les contraintes à satisfaire. Supposons
pour simplifier que les matches sont joués sur un stade unique, ainsi, nous
pouvons supprimer le paramètre s. Tout d’abord, il est exigé que chaque
paire d’équipe ne se rencontre qu’une fois dans tout le tournoi. Ceci peut
être représenté par
xijpr = 1, ∀i,j (i = j).
r
p
La deuxième contrainte est qu’à chaque période, deux équipes s’affrontent.
Ceci est obtenu par
xijpr = 1, ∀p,r.
i
j
Il faut ensuite que chaque équipe joue deux matches dans chaque round.
Cette contrainte est donnée par
xijpr = 2, ∀i,r.
j
p
Il reste ensuite à représenter les contraintes concernant les attentes des
équipes entre leurs deux matches d’un round. Dans le cas où α = 1, pour
s’assurer qu’aucune équipe ne joue ses deux matches successivement, on doit
avoir xijpr · x ik(p+1)r = 0 pour toute équipe i. Par contre, nous n’avons pas
modélisé les autres contraintes concernant les attentes ni celles dans le cas
où plusieurs stades sont à disposition.
Le problème ainsi posé compte un très grand nombre de contraintes,
certaines non linéaires, mais il est certainement possible de le résoudre et
ainsi trouver un calendrier quelles que soient les exigences fixées.
24

Conclusion
Arrivés au terme de ce travail, nous avons réussi à étendre quelque peu
le travail de Knust, S. [2007] pour les tournois joués sur un stade unique,
notamment pour le cas où deux périodes d’attente sont obligatoires. Nous
avons ensuite généralisé ce problème pour les tournois joués sur deux stades
et remarqué qu’il était possible de réutiliser les mêmes méthodes.
Dans la conclusion de son article, l’auteur suppose que pour toute valeur
de α il existe un nombre d’équipes nα tel que pour tout nombre n d’équipes
supérieur à nα, il est possible de construire un calendrier avec uniquement
des attentes de α et α + 1. En étudiant le cas α = 2, nous avons effectivement
trouvé un tel modèle. Toutefois, nous nous sommes aperçus que le
nombre d’équipes nécessaires pour obtenir un modèle général devient très
élevé. Nous supposons que pour une valeur de α plus grande, ce nombre
continuera d’augmenter. Ainsi, même si l’hypothèse émise par l’auteur est
vraisemblablement correcte, ces cas ne sont plus applicables en pratique. Il
serait alors plus intéressant d’étudier des tournois dans lesquels les équipes
jouent trois matches dans chaque round, voir plus. Ce problème est a priori
plus compliqué, car il nécessite une 2-factorisation du graphe complet Kn,
mais une 3-factorisation de G α n.
Quelques points intéressants restent encore à étudier :
– Dans le cas α = 0 pour un tournoi joué sur deux stades, nous ignorons
s’il est possible de trouver une solution aux problèmes d’Oberwolfach
associés.
– Pour répartir de façon plus équitable les attentes entre les équipes, il
serait intéressant de voir s’il existe une autre 2-factorisation de Kn en
un cycle hamiltonien.
– Dans le cas d’un tournoi joué sur trois stades, nous avons trouvé
quelques cas particuliers mais aucun modèle général.
– La programmation en nombres entiers semble être un moyen approprié
pour résoudre les problèmes plus compliqués. Ce sujet mériterait d’être
approfondi.
25

Bibliographie
Anderson, I. Combinatorial Designs and Tournaments. Oxford Lecture
Series in Mathematics and Its Applications, 1997.
Colbourn, C.J., Jungnickel, D., Rosa, A. Designs and Graphs. Topics
in Discrete Mathematics, 1992.
de Werra, D. Geography, games and graphs. Discrete Applied Mathematics
2, pages 327–337, 1980.
Knust, S. Scheduling sports tournaments on a single court minimizing
waiting times. Osnabrücker Schriften zur Mathematik, No. 268, to appear
in Operations Research Letters, 2007.
van Weert, A., Schreuder, J.A.M. Construction of basic match schedules
for sports competitions by using graph theory. Lecture Notes in
Computer Science 1408, pages 201–210, 1998.
26