Minimisation des temps d'attente pour un tournoi sportif joué sur un ...

eprésente les matches du round et Eα n := {[s,t] | |t − s| > α} représente
l’ensemble des arêtes. Une arête [s,t] ∈ Eα n correspond à une équipe qui
joue ses deux matches du round aux périodes s et t (avec temps d’attente
|t − s| − 1 ≥ α).
Comme chaque match implique deux équipes, un calendrier pour le round
r induit donc une 2-factorisation ˆFr dans G α n
. De plus, considérant tous les
rounds r = 1,... ,k ensemble, chaque paire (i,j) d’équipes (i = j) doit être
incidente à un même sommet dans l’un des 2-facteurs ˆ Fr.
Pour l’exemple précédent, les 2-facteurs ˆ F1, ˆ F2 sont montrés dans la figure
1.2, où chaque arête est marquée de l’équipe assignée.
Fig. 1.2: 2-facteurs ˆ F1 et ˆ F2 pour G 0 5.
Le problème est ainsi décrit par
– une 2-factorisation F = (F1,...,Fk) ordonnée du graphe complet Kn,
qui détermine quelles équipes se rencontrent dans quel round, et où,
dans chaque Fr, les arêtes sont marquées avec les numéros des périodes
P1,...,Pn, ou
– une suite de 2-facteurs ( ˆ F1,..., ˆ Fk) dans Gα n , qui détermine quels
matches sont joués par une équipe dans un round, et où dans chaque
ˆFr, les arêtes sont marquées avec les numéros des équipes E1,... ,En,
telles que toute paire (Ei,Ej) d’équipes est incidente à un certain
sommet dans l’un des 2-facteurs exactement.
La première représentation est plus adaptée pour voir que chaque équipe
joue contre chacune des autres, alors que le second graphe est utilisé afin de
prouver l’optimalité des fonctions-objectif en respectant les temps d’attente.
La méthode utilisée dans l’article pour construire un calendrier optimal
est la suivante :
1. Trouver un 2-facteur optimal ˆ F dans Gα n qui peut être utilisé pour
chaque round, simplement en assignant les équipes différemment sur
les arêtes du graphe.
2. Trouver une 2-factorisation F = (F1,... ,Fk) de Kn, où chaque Fr a
la même structure de cycle que ˆ F.
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