Minimisation des temps d'attente pour un tournoi sportif joué sur un ...

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les mêmes contraintes que précédemment. Dans Knust, S. [2007], l’auteur envisage deux possibilités, sans les développer en détail. La première est de considérer une équipe factice, ce qui ramène le pro- blème au cas impair, et de partitionner les matches en n 2 rounds. En effet, nous pouvons utiliser le même calendrier que dans le cas impair, ce qui signifie que dans chaque round, deux équipes ne jouent qu’un seul match, le deuxième étant contre l’équipe factice. Ainsi, les matches d’un même round ne sont pas joués sans interruptions mais avec deux périodes de pause. La deuxième possibilité, celle que nous allons utiliser pour la suite, est de partitionner les matches en n−2 2 rounds dans lesquels chaque équipe joue exactement deux matches et un round supplémentaire où les équipes ne jouent qu’un seul match. L’avantage de cette méthode est que dans chaque round, tous les matches sont joués à la suite, sans interruptions. Par contre, les équipes doivent participer à un dernier round dans lequel elles ne jouent qu’un seul match. 2.2.2 Problème avec attentes nulles interdites Nous allons tout d’abord traiter le cas où α = 1. Nous allons chercher un calendrier où tous les matches d’un round sont joués successivement et avec un dernier round dans lequel les équipes ne jouent qu’un seul match. Pour modéliser ce problème sous forme de graphe, nous appelons chaque sommet p.s, ce qui représente le match joué à la période p, p ∈ {1,... , n 2 }, sur le stade s, s ∈ {1,2}. Une arête [p1.s1,p2.s2] représente une équipe qui joue ses deux matches du round aux périodes p1 et p2 sur les stades s1 et s2 respectivement. Comme dans Knust, S. [2007], nous allons tout d’abord chercher un 2-facteur ˆ F dans le graphe G α n qui minimise le total des attentes pour un round, puis utiliser ce modèle pour chaque round. Nous trouverons ensuite une 2-factorisation F de Kn qui respecte la même structure de cycles que ˆ F afin de pouvoir attribuer les équipes aux différents matches. Puisque deux stades sont disponibles, deux équipes ayant joué leur premier match l’une contre l’autre peuvent jouer leur deuxième match simultanément, mais sur un stade différent. Ainsi, les deux équipes auront une seule période d’attente. Par contre, l’une d’elles jouera ses deux matches sur le même stade. Pour pouvoir éviter les attentes de deux périodes, il faut que le nombre d’équipes soit égal à un multiple de huit. La figure 2.5 montre le 2-facteur ˆ F ∗ dans G 1 n qui ne génère que des attentes d’une seule période. Le total des attentes sera évidemment minimal, par contre, la moitié des équipes jouera ses deux matches d’un même round sur le même stade. Si nous ajoutons la contrainte supplémentaire que toutes les équipes doivent jouer leurs deux matches sur un stade différent, nous voyons qu’il sera impossible d’éviter les attentes de deux périodes. Nous allons donc considérer le sous-graphe G 1,2 n dans lequel les arêtes représentent uniquement des attentes de une et deux périodes et y chercher un 2-facteur. Ceci 17
Fig. 2.5: 2-facteur ˆ F ∗ dans G 1 n minimisant le total des attentes pour n = 8t. Un sommet p.s représente le match de la période p joué sur le stade s. permettra de minimiser LW 3 . Pour un nombre d’équipes n ≥ 22, le 2-facteur optimal C∗ n dans G 1,2 n est montré dans la figure 2.6. Il est obtenu à partir du 2-facteur de la figure 1.3 qui est celui minimisant le total des attentes pour un seul stade. Chaque arête représente une équipe et relie deux sommets représentant un stade différent. Ce modèle satisfait toutes les contraintes souhaitées et minimise le total des attentes TW. Il n’utilise que 12 arêtes représentant des attentes de deux périodes, nous obtenons alors un total d’attentes TW = 12 · 2 + (n − 12) · 1 = n + 12 pour chaque round. Fig. 2.6: 2-facteur C ∗ n dans G 1,2 n pour n ≥ 22. Un sommet p.s représente le match de la période p joué sur le stade s. Le 2-facteur que nous obtenons est un cycle hamiltonien, nous pouvons donc utiliser la 2-factorisation H de Kn telle que représentée dans la figure 1.4. Ceci permet d’attribuer tous les matches des n−2 2 premiers rounds. Pour le dernier round, chaque équipe ne joue qu’un seul match, il peut donc être joué indifféremment sur l’un ou l’autre stade et n’engendre aucun temps d’attente supplémentaire. Ceci nous permet d’aboutir au résultat suivant : Théorème 7. Pour n ≥ 22, des calendriers basés sur le 2-facteur C∗ n dans G 1,2 n et sur la 2-factorisation hamiltonienne H de Kn possèdent comme fonctions-objectif LW 3 = 0 et TW = (n + 12) n−2 2 . Ils optimisent LW 3 et TW simultanément. Voyons à présent s’il est possible de trouver un calendrier minimisant LW 3 si le nombre d’équipes est inférieur à 22. En s’inspirant des résultats de Knust, S. [2007], nous voyons que pour n = 10, un tel calendrier existe, consiste en un cycle hamiltonien et est tel que TW = 14 · n−2 2 = 56, ce qui est optimal. Ainsi, pour n = 20, nous pouvons également trouver un modèle en reproduisant ce cycle deux fois, ce qui donne TW = 2 ·14 · n−2 2 = 252. Ce modèle est meilleur qu’un unique cycle hamiltonien, car on obtiendrait dans 18
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