Minimisation des temps d'attente pour un tournoi sportif joué sur un ...

qui signifie que cette équipe aura le même nombre de périodes d’attente
dans chaque round. Ainsi, l’équipe n devra attendre soit k soit 2k périodes,
car les attentes sont de durée une ou deux périodes par round. Nous voyons
donc qu’il est impossible d’obtenir l’optimum avec ce modèle, mais nous
remarquons qu’il est préférable que l’équipe n attende k périodes, ce qui est
plus proche de la valeur moyenne k + 3. Nous décidons donc de faire jouer
l’équipe n aux périodes 1 et 3 dans chaque round, ainsi, elle aura un total
d’attentes égal à k. Il reste (n + 6)k − k = 2k(n + 3) attentes à répartir
entre les n − 1 = 2k autres équipes. Il serait donc possible que chacune
des équipes restantes possède un total d’attentes égal à n + 3 périodes. Or,
dans le modèle H proposé, les équipes avec des attentes de 2 périodes sont
réparties de façon telle qu’il est impossible de les permuter et d’équilibrer
leurs attentes.
Ainsi, nous voyons qu’il est préférable d’accorder une seule attente par
round à l’équipe n, par contre, les autres équipes n’auront pas toutes le même
nombre de périodes d’attente. Il serait intéressant de chercher s’il existe une
autre 2-factorisation de Kn en un cycle hamiltonien, car celle-ci répartirait
peut-être mieux les attentes.
Pour le cas α = 0, nous remarquons que le total des attentes est
n − 3 2n k − 1 n − 2 k + 2
TW = 2 + 1 k =
+
6
3 3 3 3
(voir le théorème 4 page 12). Ainsi, le cas idéal serait d’avoir
2n
3 équipes
qui attendent
k−1
n−2
k+2
3 périodes et 3 équipes qui attendent 3 périodes.
Ceci optimiserait EM = 1 qui serait optimal car le nombre total d’attentes
n’est pas un multiple du nombre d’équipes, ainsi il est impossible d’avoir
EM = 0.
3.2 Tournoi joué sur trois stades
Après avoir étudié les tournois joués sur un stade unique puis sur deux
stades, il paraissait intéressant de voir ce qui arrive si les équipes disposent
de trois stades pour le tournoi. Il semblerait a priori qu’il est possible de diminuer
les temps d’attente de chaque équipe tout en respectant la contrainte
de jouer les deux matches d’un même round sur des stades différents. En
effet, deux équipes qui viennent de s’affronter peuvent toutes les deux rejouer
simultanément sur un stade différent. Le premier problème rencontré
est que pour avoir autant de matches sur chacun des stades, il faut que le
nombre d’équipes soit un multiple de 3, ceci implique que n n’a pas toujours
la même parité.
Pour modéliser ce problème, construisons le graphe G α,β
n = (Vn,E α,β
n )
où Vn = {p.s | p = 1,... , n
3 et s ∈ {1,2,3}} est l’ensemble des sommets
qui représentent une période d’un round sur un certain stade et les arêtes
22