Minimisation des temps d'attente pour un tournoi sportif joué sur un ...

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temps d’attente d’au moins une période. Nous considérons donc la fonctionobjectif LW 2 . Comme précédemment, le sous-graphe G α,β n = (Vn,E α,β n ) de Gα n est utilisé. Si, pour β = 1, un 2-facteur existe, alors le calendrier correspondant aura la fonction-objectif optimale LW 2 = 0. Pour tout n ≥ 3, il existe un tel 2-facteur. Par contre, contrairement au cas précédent, un grand cycle ne minimise pas le total des temps d’attente, en effet, le cycle ˜ Cn contient n −2 arêtes avec des temps d’attente d’une période. Il est préférable de prendre un ensemble de petits cycles. Il est clair que pour minimiser le total des attentes, il faut minimiser le nombre de temps d’attente de valeur 1, c’est- à-dire trouver un 2-facteur ˆ F ∗ dans G 0,1 n qui contient autant que possible de triangles (cycles de longueur trois), car dans chaque triangle, on a un seul temps d’attente. La figure 1.5 illustre un 2-facteur possible dans G 0,1 n avec des cycles de longueur trois, quatre et cinq. Fig. 1.5: Décomposition du graphe G 0,1 15 Il est cependant nécessaire de distinguer trois cas : en cycles de longueurs 3, 3, 4 et 5. 1. si n mod 6 = 3, un 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n 3 triangles (1,2,3),(4,5,6), etc. contient n 3 2. si n mod 6 = 1, un 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n+2 3 contient le cycle (1,2,4,3) de longueur 4 et n−4 3 triangles (5,6,7),(8,9,10), etc. 3. si n mod 6 = 5, un 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n+4 3 contient soit (i) le cycle (1,2,4,5,3) de longueur 5 et n−5 3 triangles (6,7,8), etc. (pour n ≥ 5), soit (ii) les deux cycles (1,2,4,3) et (5,6,8,7) de longueur 4 et n−8 3 triangles (9,10,11), etc. (pour n ≥ 11). De plus, l’auteur montre qu’il est possible de trouver une 2-factorisation de Kn où chaque 2-facteur a la même structure de cycle que ˆ F ∗ en résolvant un problème d’Oberwolfach. Voici la définition de ce problème telle que donnée dans van Weert, A., Schreuder, J.A.M. [1998] : Définition 1. Le problème d’Oberwolfach est de trouver pour K2k+1 une partition des arêtes en k 2-facteurs Fr isomorphes. Chaque Fr consiste en des cycles d’arêtes disjointes Ck1 ,Ck2 ,...,Cks où k1 +k2+...+ks = 2k+1, k1 à ks sont les longueurs des cycles. Le problème est noté OP(k1,... ,ks). L’auteur arrive ainsi au résultat suivant : 11
Théorème 4. Pour n ≥ 3, les calendriers basés sur le 2-facteur ˆ F ∗ dans G 0,1 n et une solution du problème d’Oberwolfach associé ont les fonctionsobjectif LW 2 = 0 et TW = (2 n−3 6 + 1)k. Ils minimisent LW 2 et TW simultanément. 12
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