<strong>temps</strong> d’attente d’au moins <strong>un</strong>e période. Nous considérons donc la fonctionobjectif LW 2 . Comme précédemment, le sous-graphe G α,β n = (Vn,E α,β n ) de Gα n est utilisé. Si, <strong>pour</strong> β = 1, <strong>un</strong> 2-facteur existe, alors le calendrier correspondant aura la fonction-objectif optimale LW 2 = 0. Pour tout n ≥ 3, il existe <strong>un</strong> tel 2-facteur. Par contre, contrairement au cas précédent, <strong>un</strong> grand cycle ne minimise pas le total <strong>des</strong> <strong>temps</strong> d’attente, en effet, le cycle ˜ Cn contient n −2 arêtes avec <strong>des</strong> <strong>temps</strong> d’attente d’<strong>un</strong>e période. Il est préférable de prendre <strong>un</strong> ensemble de petits cycles. Il est clair que <strong>pour</strong> minimiser le total <strong>des</strong> attentes, il faut minimiser le nombre de <strong>temps</strong> d’attente de valeur 1, c’est- à-dire trouver <strong>un</strong> 2-facteur ˆ F ∗ dans G 0,1 n qui contient autant que possible de triangles (cycles de longueur trois), car dans chaque triangle, on a <strong>un</strong> seul <strong>temps</strong> d’attente. La figure 1.5 illustre <strong>un</strong> 2-facteur possible dans G 0,1 n avec <strong>des</strong> cycles de longueur trois, quatre et cinq. Fig. 1.5: Décomposition du graphe G 0,1 15 Il est cependant nécessaire de distinguer trois cas : en cycles de longueurs 3, 3, 4 et 5. 1. si n mod 6 = 3, <strong>un</strong> 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n 3 triangles (1,2,3),(4,5,6), etc. contient n 3 2. si n mod 6 = 1, <strong>un</strong> 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n+2 3 contient le cycle (1,2,4,3) de longueur 4 et n−4 3 triangles (5,6,7),(8,9,10), etc. 3. si n mod 6 = 5, <strong>un</strong> 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n+4 3 contient soit (i) le cycle (1,2,4,5,3) de longueur 5 et n−5 3 triangles (6,7,8), etc. (<strong>pour</strong> n ≥ 5), soit (ii) les deux cycles (1,2,4,3) et (5,6,8,7) de longueur 4 et n−8 3 triangles (9,10,11), etc. (<strong>pour</strong> n ≥ 11). De plus, l’auteur montre qu’il est possible de trouver <strong>un</strong>e 2-factorisation de Kn où chaque 2-facteur a la même structure de cycle que ˆ F ∗ en résolvant <strong>un</strong> problème d’Oberwolfach. Voici la définition de ce problème telle que donnée dans van Weert, A., Schreuder, J.A.M. [1998] : Définition 1. Le problème d’Oberwolfach est de trouver <strong>pour</strong> K2k+1 <strong>un</strong>e partition <strong>des</strong> arêtes en k 2-facteurs Fr isomorphes. Chaque Fr consiste en <strong>des</strong> cycles d’arêtes disjointes Ck1 ,Ck2 ,...,Cks où k1 +k2+...+ks = 2k+1, k1 à ks sont les longueurs <strong>des</strong> cycles. Le problème est noté OP(k1,... ,ks). L’auteur arrive ainsi au résultat suivant : 11
Théorème 4. Pour n ≥ 3, les calendriers basés <strong>sur</strong> le 2-facteur ˆ F ∗ dans G 0,1 n et <strong>un</strong>e solution du problème d’Oberwolfach associé ont les fonctionsobjectif LW 2 = 0 et TW = (2 n−3 6 + 1)k. Ils minimisent LW 2 et TW simultanément. 12