Minimisation des temps d'attente pour un tournoi sportif joué sur un ...

Ainsi, le modèle minimisant le total des attentes est obtenu en prenant autant
que possible de cycles de longueur six et un cycle de longueur huit ou
dix. La figure 2.9 illustre ces trois cycles.
Fig. 2.9: Cycles de 6 périodes (a), 8 périodes (b) et 10 périodes (c). Un sommet p.s
représente le match de la période p joué sur le stade s.
Ainsi, nous distinguons trois cas selon le nombre d’équipes :
1. si n mod 6 = 0, un 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n
3
cycles de longueur 6.
contient n
6
2. si n mod 6 = 2, un 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n+4
3 contient n−8
6
cycles de longueur 6 et un cycle de longueur 8.
3. si n mod 6 = 4, un 2-facteur optimal ˆ F ∗ avec TW = n+8
3 contient soit
(i) n−10
6 cycles de longueur 6 et un cycle de longueur 10, soit
(ii) n−16
6 cycles de longueur 6 et deux cycles de longueur 8.
Il reste à savoir si ces modèles peuvent être utilisés pour construire un
calendrier. Il faut donc trouver une 2-factorisation du graphe complet Kn où
chaque 2-facteur a la même structure de cycle que ˆ F ∗ . Appelons Kn − I le
graphe obtenu en retirant n
2 arêtes deux à deux disjointes de Kn. Les arêtes
ainsi retirées représentent les matches du dernier round du tournoi. Il faut
à présent résoudre un problème d’Oberwolfach dans le graphe Kn − I. Les
problèmes associés sont les suivants :
1. si n mod 6 = 0, OP(6,... ,6),
2. si n mod 6 = 2, OP(6,... ,6,8),
3. si n mod 6 = 4, soit
(i) OP(6,... ,6,10), soit
(ii) OP(6,... ,6,8,8).
Si de tels problèmes possèdent une solution, alors nous pouvons construire
un calendrier en assignant les équipes dans les différents rounds.
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