Minimisation des temps d'attente pour un tournoi sportif joué sur un ...

Chapitre 1
Présentation des résultats de
l’article
Dans cette partie, nous allons présenter le travail effectué par Knust, S.
[2007]. Nous allons tout d’abord voir comment le problème des calendriers a
été modélisé en termes de graphes, puis nous verrons les résultats proposés.
1.1 Modélisation du problème
Le problème considéré peut être formulé ainsi. Etant donné un nombre
n = 2k + 1 impair d’équipes, où chacune doit jouer un match contre chaque
autre, il faut répartir ces n n(n−1)
2 = 2 matches en k rounds, de sorte que
– dans chaque round, les n matches soient joués consécutivement, et
– dans chaque round, chaque équipe joue exactement deux matches.
De plus, selon la discipline sportive, les équipes peuvent ou non jouer deux
matches à la suite. Soit donc α ≥ 0 le plus petit nombre de périodes d’attente
autorisé entre les deux matches d’une même équipe. L’objectif est de trouver
un calendrier qui minimise le total des temps d’attente de chaque équipe,
i.e. les périodes libres entre ses deux matches, ainsi que les longues attentes.
Soit fir le nombre de périodes libres entre les deux matches de l’équipe
i ∈ {1,... ,n} dans le round r ∈ {1,... ,k} et, pour d = 0,1,... ,n − 2, Wd,
qui indique le nombre de temps d’attente de longueur d. Deux fonctionsobjectif
sont considérées :
1. LW ω =
Wd pour une certaine valeur ω ∈ N, et
2. TW =
d≥ω
n
i=1 r=1
k
fir =
d · Wd,
d≥1
que l’on cherche à minimiser.
Une façon de résoudre ce problème est de
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