Minimisation des temps d'attente pour un tournoi sportif joué sur un ...

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3. Pour chaque round r = 1,... ,k et chaque λ = 1,... ,µr, considérer le cycle C λ r d’équipes dans Fr et assigner ces équipes aux arêtes du cycle correspondant Ĉλ r dans ˆ F. 1.2 Problème avec attentes nulles non autorisées L’auteur de l’article s’intéresse tout d’abord au problème où α = 1, c’est-à-dire que les équipes doivent obligatoirement avoir au minimum une période de repos entre leurs deux matches d’un même round. Nous voyons immédiatement que par exemple dans le cas où n = 3, il n’existe pas de solution ; en effet, il serait impossible de jouer tous les matches consécutivement. On remarque aisément qu’on ne pourra pas éviter des attentes d’au moins deux périodes, les équipes qui se sont affrontées ne peuvent pas jouer à nouveau l’une contre l’autre, ainsi, l’une d’elles devra nécessairement attendre une période supplémentaire. Le but sera donc d’essayer de ne pas avoir d’attentes plus longues, en minimisant la fonction-objectif LW ω pour ω = 3. Pour ceci, l’auteur considère G α,β n = (Vn,E α,β n ), le sous-graphe de G α n , où β ≥ α + 1 = 2 et E α,β n := {[s,t] | α ≤ |t − s| − 1 ≤ β} contient toutes les arêtes avec temps d’attente compris entre α et β. Si un 2-facteur dans G 1,2 n existe, alors cela permettra d’obtenir un calendrier optimisant LW 3 = 0. Tout d’abord, l’auteur étudie les valeurs n ≥ 11 car dans ces situa- tions, les attentes de 3 peuvent toujours être évitées. En effet, G 1,2 n contient un 2-facteur C ∗ n . Celui-ci est montré dans la figure 1.3, il est obtenu en concaténant les segments (1,3),(6,8,... ,n−5),(n−2,n),(n−3,n−1),(n− 4,n − 6,... ,5) et (2,4). Chacun de ces segments contient uniquement des arêtes représentant des attentes d’une seule période, ainsi, la construction de C ∗ n nécessite six arêtes avec deux périodes d’attente. Pour un round, les équipes doivent attendre au maximum deux périodes (LW 3 = 0) et le temps d’attente total est TW = n + 6. Fig. 1.3: Cycle C ∗ n dans G1,2 n pour n ≥ 11. Les sommets modélisent les périodes d’un round et les arêtes représentent les équipes. De plus, un tel 2-facteur C ∗ n peut être utilisé pour les attributions des matches de chaque round du tournoi, car pour tout entier n impair, le graphe Kn peut être décomposé en une réunion de cycles hamiltoniens H = (H1,...,Hk) où chacun a la même structure de cycle que C ∗ n (Fig. 9
1.4). Rappelons qu’un cycle hamiltonien est un cycle passant par tous les sommets du graphe une fois exactement. Ces cycles sont obtenus en fixant l’équipe n et en permutant les n − 1 autres. Fig. 1.4: 2-factorisation H consistant en k cycles hamiltoniens. Les sommets modélisent les équipes. Ainsi, l’auteur arrive à la conclusion suivante : Théorème 1. Pour n ≥ 11, les calendriers basés sur le cycle C ∗ n dans G1,2 n et la 2-factorisation hamiltonienne H de Kn possèdent comme fonctionsobjectif LW 3 = 0 et TW = (n + 6)k. Ils minimisent LW 3 et TW simultanément. La démonstration de ce résultat est effectuée dans Knust, S. [2007] aux pages 6 et 7. Les cas où n = 5,7,9 sont traités séparément. Il est parfois impossible d’éviter les attentes de trois périodes. Les résultats trouvés sont les suivants : Théorème 2. Pour n = 5, les calendriers basés sur le cycle C∗ 5 = (1,3,5,2,4) et sur la 2-factorisation hamiltonienne H de K5 possèdent comme fonctionsobjectif LW 3 = 0 et TW = 7k = 14. Ils minimisent LW 3 et TW simultanément. Théorème 3. Pour n = 7,9, les calendriers basés sur H dans Kn et sur les cycles C∗ 7 = (1,3,6,2,5,7,4) et C∗ 9 = (1,3,7,9,6,8,5,2,4) respectivement dans G 1,3 n possèdent comme fonctions-objectif LW 3 = k et TW = (n + 6)k. Ils minimisent LW 3 et TW simultanément. 1.3 Problème avec attentes nulles autorisées Dans la deuxième partie de son article, l’auteur considère le cas α = 0, c’est-à-dire que les équipes peuvent jouer deux matches consécutivement. Il est évident que dans chaque round, des équipes doivent forcément avoir des 10
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