Minimisation des temps d'attente pour un tournoi sportif joué sur un ...

3.3 Programmation en nombres entiers
Nous remarquons que selon les contraintes imposées, il devient extrêmement
difficile de trouver un modèle satisfaisant dans un cas général. Il serait
intéressant de pouvoir résoudre le problème numériquement. Pour cela, nous
pouvons utiliser la programmation en nombres entiers, en fixant des variables
qui peuvent prendre les valeurs 0 ou 1 uniquement. Dans le cas qui nous
intéresse, les variables utilisées sont
⎧
⎨ 1 si l’équipe i joue contre l’équipe j à la période p
xijpsr = sur le stade s dans le round r,
⎩
0 sinon,
où i,j ∈ {1,... ,n}, p ∈ {1,... ,n}, s ∈ {1,... ,ns} (où ns est égal au nombre
de stades à disposition) et r ∈ {1,... , n−1
2 } (dans le cas où n est impair).
Nous devons à présent modéliser les contraintes à satisfaire. Supposons
pour simplifier que les matches sont joués sur un stade unique, ainsi, nous
pouvons supprimer le paramètre s. Tout d’abord, il est exigé que chaque
paire d’équipe ne se rencontre qu’une fois dans tout le tournoi. Ceci peut
être représenté par
xijpr = 1, ∀i,j (i = j).
r
p
La deuxième contrainte est qu’à chaque période, deux équipes s’affrontent.
Ceci est obtenu par
xijpr = 1, ∀p,r.
i
j
Il faut ensuite que chaque équipe joue deux matches dans chaque round.
Cette contrainte est donnée par
xijpr = 2, ∀i,r.
j
p
Il reste ensuite à représenter les contraintes concernant les attentes des
équipes entre leurs deux matches d’un round. Dans le cas où α = 1, pour
s’assurer qu’aucune équipe ne joue ses deux matches successivement, on doit
avoir xijpr · x ik(p+1)r = 0 pour toute équipe i. Par contre, nous n’avons pas
modélisé les autres contraintes concernant les attentes ni celles dans le cas
où plusieurs stades sont à disposition.
Le problème ainsi posé compte un très grand nombre de contraintes,
certaines non linéaires, mais il est certainement possible de le résoudre et
ainsi trouver un calendrier quelles que soient les exigences fixées.
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