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Minimisation des temps d'attente pour un tournoi sportif joué sur un ...

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3.3 Programmation en nombres entiers<br />

Nous remarquons que selon les contraintes imposées, il devient extrêmement<br />

difficile de trouver <strong>un</strong> modèle satisfaisant dans <strong>un</strong> cas général. Il serait<br />

intéressant de pouvoir résoudre le problème numériquement. Pour cela, nous<br />

pouvons utiliser la programmation en nombres entiers, en fixant <strong>des</strong> variables<br />

qui peuvent prendre les valeurs 0 ou 1 <strong>un</strong>iquement. Dans le cas qui nous<br />

intéresse, les variables utilisées sont<br />

⎧<br />

⎨ 1 si l’équipe i joue contre l’équipe j à la période p<br />

xijpsr = <strong>sur</strong> le stade s dans le ro<strong>un</strong>d r,<br />

⎩<br />

0 sinon,<br />

où i,j ∈ {1,... ,n}, p ∈ {1,... ,n}, s ∈ {1,... ,ns} (où ns est égal au nombre<br />

de sta<strong>des</strong> à disposition) et r ∈ {1,... , n−1<br />

2 } (dans le cas où n est impair).<br />

Nous devons à présent modéliser les contraintes à satisfaire. Supposons<br />

<strong>pour</strong> simplifier que les matches sont <strong>joué</strong>s <strong>sur</strong> <strong>un</strong> stade <strong>un</strong>ique, ainsi, nous<br />

pouvons supprimer le paramètre s. Tout d’abord, il est exigé que chaque<br />

paire d’équipe ne se rencontre qu’<strong>un</strong>e fois dans tout le <strong>tournoi</strong>. Ceci peut<br />

être représenté par<br />

<br />

xijpr = 1, ∀i,j (i = j).<br />

r<br />

p<br />

La deuxième contrainte est qu’à chaque période, deux équipes s’affrontent.<br />

Ceci est obtenu par <br />

xijpr = 1, ∀p,r.<br />

i<br />

j<br />

Il faut ensuite que chaque équipe joue deux matches dans chaque ro<strong>un</strong>d.<br />

Cette contrainte est donnée par<br />

<br />

xijpr = 2, ∀i,r.<br />

j<br />

p<br />

Il reste ensuite à représenter les contraintes concernant les attentes <strong>des</strong><br />

équipes entre leurs deux matches d’<strong>un</strong> ro<strong>un</strong>d. Dans le cas où α = 1, <strong>pour</strong><br />

s’as<strong>sur</strong>er qu’auc<strong>un</strong>e équipe ne joue ses deux matches successivement, on doit<br />

avoir xijpr · x ik(p+1)r = 0 <strong>pour</strong> toute équipe i. Par contre, nous n’avons pas<br />

modélisé les autres contraintes concernant les attentes ni celles dans le cas<br />

où plusieurs sta<strong>des</strong> sont à disposition.<br />

Le problème ainsi posé compte <strong>un</strong> très grand nombre de contraintes,<br />

certaines non linéaires, mais il est certainement possible de le résoudre et<br />

ainsi trouver <strong>un</strong> calendrier quelles que soient les exigences fixées.<br />

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