Minimisation des temps d'attente pour un tournoi sportif joué sur un ...

(n −2,n −5), (n −2,n −6), (n −8,n −11) et (n −8,n −12) sont obligatoires
pour que chaque sommet puisse être de degré deux. Ensuite, le sommet n−7
ne peut être relié qu’aux sommets n−3, n−10 et n−11. Parmi ces trois arêtes
possibles, deux représentent des attentes de trois. Il est donc inévitable d’en
choisir une. Ainsi nous avons obtenu un 2-facteur qui minimise le total des
attentes. Pour ces 14 périodes, nous obtenons TW = 31.
Maintenant que nous avons trouvé des 2-facteurs qui minimisent le total
des attentes, il reste à trouver une 2-factorisation du graphe complet Kn où
chaque 2-facteur respecte la même structure de cycles que C ∗ n
. Les modèles
obtenus consistent en des cycles hamiltoniens, nous pouvons donc utiliser
la 2-factorisation H telle qu’utilisée dans Knust, S. [2007] et montrée à la
figure 1.4. Nous pouvons ainsi composer un calendrier en répartissant les
équipes selon ce modèle.
Nous obtenons les résultats suivants :
Théorème 5. Pour n = 6p+3, n ≥ 21, les calendriers basés sur le cycle C∗ n
dans G 2,3
n et la 2-factorisation H de Kn possèdent comme fonctions-objectif
LW 4 = 0 et TW = 1
3 (7n+6)k. Ils minimisent LW 4 et TW simultanément.
Théorème 6. Pour n = 6p+5, n ≥ 35, les calendriers basés sur le cycle C∗ n
dans G 2,3
n et la 2-factorisation H de Kn possèdent comme fonctions-objectif
LW 4 = 0 et TW = 1
3 (7n −2)k. Ils minimisent LW 4 et TW simultanément.
2.2 Tournoi joué sur deux stades
Le raisonnement de Knust, S. [2007] était basé sur le fait que tous les
matches doivent être joués sur un stade unique. Considérons à présent le
cas où deux stades sont disponibles. Comme précédemment, chaque équipe
doit jouer une fois contre chacune des autres et les matches sont répartis en
plusieurs rounds de sorte que chaque équipe joue exactement deux matches
par round. Le but est toujours de minimiser les attentes entre les deux
matches d’une même équipe. Afin d’avoir autant de matches sur chacun des
stades, il faut que chaque round compte un nombre pair de matches. Ceci
implique un nombre pair d’équipes. En effet, chaque round compte autant
de matches qu’il y a d’équipes, il y aura donc n
2 matches sur chaque stade.
Voyons comment traiter le cas d’un nombre pair d’équipes.
2.2.1 Tournoi avec un nombre pair d’équipes
Jusqu’à présent, nous nous sommes intéressés uniquement au cas avec
un nombre impair d’équipes. Ceci était motivé par le fait qu’ainsi, chacune
jouait un nombre pair de matches qui pouvaient facilement être répartis
sur plusieurs rounds. Considérons maintenant un tournoi comprenant un
nombre pair d’équipes. Nous souhaitons construire un calendrier respectant
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